Máxima uniformidad

Concepto en teoría musical.

La escala mayor es máximamente uniforme. Por ejemplo, para cada intervalo genérico de un segundo sólo hay dos posibles intervalos específicos: 1 semitono (un segundo menor) o 2 semitonos (un segundo mayor).

La escala menor armónica no es máximamente uniforme. Para el intervalo genérico de un segundo en lugar de sólo dos intervalos específicos, la escala contiene tres: 1, 2 y 3 ( segundo aumentado ) semitonos.

En teoría de escalas (música) , un conjunto (escala) máximamente par es aquel en el que cada intervalo genérico tiene uno o dos intervalos específicos enteros consecutivos ; en otras palabras, una escala cuyas notas (pcs) están "esparcidas tanto como sea posible". " Esta propiedad fue descrita por primera vez por John Clough y Jack Douthett. ^[1] Clough y Douthett también introdujeron el algoritmo de máxima paridad. Para una cardinalidad cromática c y una cardinalidad del conjunto de PC d, un conjunto máximamente uniforme es

${\displaystyle D={\left\lfloor {\frac {ck+m}{d}}\right\rfloor }}$

donde k varía de 0 a d − 1 y m , 0 ≤ m ≤ c − 1 es fijo y el par de soportes es la función de piso . Se puede encontrar una discusión sobre estos conceptos en el libro de Timothy Johnson sobre los fundamentos matemáticos de la teoría de la escala diatónica. ^[2] Jack Douthett y Richard Krantz introdujeron conjuntos máximamente pares en la literatura matemática. ^{[3] [4]}

Se dice que una escala tiene la propiedad de Myhill si cada intervalo genérico viene en dos tamaños de intervalo específicos , y se dice que una escala con la propiedad de Myhill es una escala bien formada . ^[5] La colección diatónica es a la vez una escala bien formada y máximamente uniforme. La escala de tonos completos también es máximamente uniforme, pero no está bien formada ya que cada intervalo genérico tiene un solo tamaño.

La uniformidad máxima de segundo orden es la uniformidad máxima de una subcolección de una colección más grande que es máximamente uniforme. Las tríadas diatónicas y los acordes de séptima poseen uniformidad máxima de segundo orden, siendo máximamente uniformes con respecto a la escala diatónica máximamente uniforme, pero no son máximamente uniformes con respecto a la escala cromática. (ibid, p.115) Esta cualidad anidada se asemeja al "formato reduccional" de Fred Lerdahl ^{[6] para} el espacio de tono de abajo hacia arriba:

(Lerdahl, 1992)

En un enfoque dinámico , se han construido círculos concéntricos giratorios y conjuntos iterados máximamente pares. Este enfoque tiene implicaciones en la teoría neoriemanniana y conduce a algunas conexiones interesantes entre la teoría diatónica y cromática . ^[7] Emmanuel Amiot ha descubierto otra forma de definir conjuntos máximamente pares empleando transformadas discretas de Fourier . ^{[8] [9]}

Carey, Norman y Clampitt, David (1989). "Aspectos de escalas bien formadas", Music Theory Spectrum 11: 187–206.

Referencias

1. Clough, Juan; Douthett, Jack (1991). "Conjuntos máximamente uniformes". Revista de Teoría de la Música . 35 (35): 93-173. doi :10.2307/843811. JSTOR  843811.
2. Johnson, Timoteo (2003). Fundamentos de la teoría diatónica: un enfoque matemático de los fundamentos musicales . Publicaciones universitarias clave. ISBN 1-930190-80-8.
3. Douthett, Jack; Krantz, Richard (2007). "Configuraciones y conjuntos máximamente uniformes: hilos comunes en matemáticas, física y música". Revista de optimización combinatoria . 14 (4): 385-410. doi :10.1007/s10878-006-9041-5. S2CID  41964397.
4. Douthett, Jack; Krantz, Richard (2007). "Mesas de cena y círculos concéntricos: una armonía de matemáticas, música y física". Revista universitaria de matemáticas . 39 (3): 203-211. doi :10.1080/07468342.2008.11922294. S2CID  117686406.
5. Carey, normando; Clampitt, David (1989). "Aspectos de escalas bien formadas". Espectro de teoría musical . 11 (2): 187–206. doi :10.2307/745935. JSTOR  745935.
6. Lerdahl, Fred (1992). "Restricciones cognitivas de los sistemas compositivos". Revista de Música Contemporánea . 6 (2): 97-121. CiteSeerX 10.1.1.168.1343 . doi :10.1080/07494469200640161. 
7. Douthett, Jack (2008). "Simetría de puntos de filtro y dirección de voz dinámica". Música y Matemáticas: Acordes, Colecciones y Transformaciones . Estudios Eastman en Música: 72-106. Ed. J. Douthett, M. Hyde y C. Smith. Prensa de la Universidad de Rochester, Nueva York. doi :10.1017/9781580467476.006. ISBN 9781580467476. ISBN  1-58046-266-9 .
8. Armiot, Emmanuel (2007). "David Lewin y conjuntos máximamente uniformes". Revista de Matemáticas y Música . 1 (3): 157-172. doi :10.1080/17459730701654990. S2CID  120481485.
9. Armiot, Emmanuel (2016). Música a través del espacio de Fourier: transformada discreta de Fourier en teoría musical . Saltador. ISBN 9783319455808.