Construcción de una cadena de Markov irreducible en el modelo de Ising

La construcción de una cadena de Markov irreducible en el modelo de Ising es un método matemático para probar resultados.

El modelo de Ising , un modelo matemático en mecánica estadística, se utiliza para estudiar las transiciones de fase magnética y es un modelo fundamental de sistemas que interactúan. ^[1] La construcción de una cadena de Markov irreducible dentro del modelo de Ising es esencial para superar los desafíos computacionales encontrados al emplear métodos Monte Carlo de cadena de Markov (MCMC) para lograr pruebas exactas de bondad de ajuste para modelos finitos de Ising.

bases de markov

En el contexto del modelo de Ising, una base de Markov es un conjunto de vectores enteros que permite la construcción de una cadena de Markov irreducible. Cada vector entero se puede descomponer de forma única como , donde y son vectores no negativos . Una base de Markov satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle z\in Z^{N_{1}\times \cdots \times N_{d}}}$ ${\displaystyle z=z^{+}-z^{-}}$ ${\displaystyle z^{+}}$ ${\displaystyle z^{-}}$ ${\displaystyle {\widetilde {Z}}\subset Z^{N_{1}\times \cdots \times N_{d}}}$

(i) Para todos , debe haber y . ${\displaystyle z\in {\widetilde {Z}}}$ ${\displaystyle T_{1}(z^{+})=T_{1}(z^{-})}$ ${\displaystyle T_{2}(z^{+})=T_{2}(z^{-})}$

(ii) Para cualquiera y cualquiera , siempre existe satisfacer: ${\displaystyle a,b\in Z_{>0}}$ ${\displaystyle x,y\in S(a,b)}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}\in {\widetilde {Z}}}$

${\displaystyle y=x+\sum _{i=1}^{k}z_{i}}$

y

${\displaystyle x+\sum _{i=1}^{l}z_{i}\in S(a,b)}$

para l = 1,..., k .

El elemento de se mueve. Luego se puede obtener una cadena de Markov aperiódica, reversible e irreducible utilizando el algoritmo de Metropolis-Hastings . ${\displaystyle {\widetilde {Z}}}$

Persi Diaconis y Bernd Sturmfels demostraron que (1) una base de Markov puede definirse algebraicamente como un modelo de Ising ^[2] y (2) cualquier conjunto generador ideal es una base de Markov para el modelo de Ising. ^[3] ${\displaystyle I:=\ker({\psi }*{\phi })}$

Construcción de una cadena de Markov irreducible

Para obtener muestras uniformes y evitar valores p inexactos , es necesario construir una cadena de Markov irreducible sin modificar el algoritmo propuesto por Diaconis y Sturmfels. ${\displaystyle S(a,b)}$

Un simple intercambio de la forma , donde es el vector de base canónica, cambia los estados de dos puntos de la red en y . El conjunto Z denota la colección de swaps simples. Dos configuraciones están conectadas por Z si existe un camino entre y e y′ que consta de intercambios simples . ${\displaystyle z\in Z^{N_{1}\times \cdots \times N_{d}}}$ ${\displaystyle z=e_{i}-e_{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle y',y\in S(a,b)}$ ${\displaystyle S(a,b)}$ ${\displaystyle z\in Z}$

El algoritmo procede como sigue:

${\displaystyle y'=y+\sum _{i=1}^{k}z_{i}}$

con

${\displaystyle y+\sum _{i=1}^{l}z_{i}\in S(a,b)}$

para ${\displaystyle l=1\ldots k}$

El algoritmo ahora se puede describir como:

(i) Comience con la cadena de Markov en una configuración ${\displaystyle y\in S(a,b)}$

(ii) Seleccione al azar y deje . ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle y'=y+z}$

(iii) Aceptar si ; de lo contrario permanezca en y . ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y'\in S(a,b)}$

Aunque la Cadena de Markov resultante posiblemente no pueda abandonar el estado inicial, el problema no surge para un modelo de Ising unidimensional. En dimensiones superiores, este problema se puede superar utilizando el algoritmo de Metropolis-Hastings en el espacio muestral expandido más pequeño . ^[4] ${\displaystyle S^{\star }(a,b)}$

Irreductibilidad en el modelo Ising unidimensional

La prueba de irreductibilidad en el modelo de Ising unidimensional requiere dos lemas .

Lema 1: La configuración max-singleton para el modelo Ising unidimensional es única (hasta la ubicación de sus componentes conectados) y consta de singletons y un componente conectado de size . ${\displaystyle S(a,b)}$ ${\displaystyle {\frac {b}{2}}-1}$ ${\displaystyle a-{\frac {b}{2}}+1}$

Lema 2: Para y , denotemos la configuración única max-singleton. Existe una secuencia tal que: ${\displaystyle a,b\in N}$ ${\displaystyle y\in S(a,b)}$ ${\displaystyle y^{\star }S(a,b)}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}\in Z}$

${\displaystyle y^{\star }=y+\sum _{i=1}^{k}z_{i}}$

y

${\displaystyle y+\sum _{i=1}^{l}z_{i}\in S(a,b)}$

para ${\displaystyle l=1\ldots k}$

Dado que es el espacio muestral expandido más pequeño que contiene , dos configuraciones cualesquiera se pueden conectar mediante intercambios simples Z sin salir . Esto lo demuestra el Lema 2, por lo que se puede lograr la irreductibilidad de una cadena de Markov basada en intercambios simples para el modelo de Ising unidimensional. ^[5] ${\displaystyle S^{\star }(a,b)}$ ${\displaystyle S(a,b)}$ ${\displaystyle S(a,b)}$ ${\displaystyle S^{\star }(a,b)}$

También es posible llegar a la misma conclusión para un modelo Ising de dimensión 2 o superior siguiendo los mismos pasos descritos anteriormente.

Referencias

1. Kannan, Ravi ; Mahoney, Michael W.; Montenegro, Ravi (2003). "Mezcla rápida de varias cadenas de Markov para un modelo básico". En Ibaraki, Toshihide ; Katoh, Naoki; Ono, Hirotaka (eds.). Algoritmos y Computación, 14º Simposio Internacional, ISAAC 2003, Kyoto, Japón, 15 al 17 de diciembre de 2003, Actas . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 2906. Saltador. págs. 663–675. doi :10.1007/978-3-540-24587-2_68.
2. Diaconis, Persi; Sturmfels, Bernd (febrero de 1998). "Algoritmos algebraicos para muestreo a partir de distribuciones condicionales". Los anales de la estadística . 26 (1): 363–397. CiteSeerX 10.1.1.28.6847 . doi :10.1214/aos/1030563990. ISSN  0090-5364 . Consultado el 16 de noviembre de 2023 . 
3. Robert, Christian P.; Casella, George (2004). "Métodos estadísticos de Montecarlo". Textos Springer en Estadística . doi :10.1007/978-1-4757-4145-2. ISSN  1431-875X.
4. Levin, David; Peres, Yuval; Wilmer, Elizabeth (9 de diciembre de 2008). Cadenas de Markov y tiempos de mezcla. Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-4739-8.
5. PESKUN, PH (1973). "Muestreo óptimo de Monte-Carlo utilizando cadenas de Markov". Biometrika . 60 (3): 607–612. doi :10.1093/biomet/60.3.607. ISSN  0006-3444.