determinante de Fredholm

En matemáticas , el determinante de Fredholm es una función de valores complejos que generaliza el determinante de un operador lineal de dimensión finita . Se define para operadores acotados en un espacio de Hilbert que difieren del operador de identidad por un operador de clase de seguimiento . La función lleva el nombre del matemático Erik Ivar Fredholm .

Los determinantes de Fredholm han tenido muchas aplicaciones en física matemática , siendo el ejemplo más famoso la fórmula límite de Gábor Szegő , demostrada en respuesta a una pregunta planteada por Lars Onsager y CN Yang sobre la magnetización espontánea del modelo de Ising .

Definición

Sea un espacio de Hilbert y el conjunto de operadores invertibles acotados de la forma , donde es un operador de clase de seguimiento . es un grupo porque ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I+T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle (I+T)^{-1}-I=-T(I+T)^{-1},}$$

también lo es la clase de seguimiento si es así. Tiene una métrica natural dada por , donde es la norma de clase de seguimiento. ${\displaystyle (I+T)^{-1}-I}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle d(X,Y)=\|X-Y\|_{1}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$

Si es un espacio de Hilbert con producto interno , entonces también lo es la potencia exterior con producto interno ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$

$${\displaystyle (v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge w_{2}\wedge \cdots \wedge w_{k})=\det(v_{i},w_{j}).}$$

En particular

$${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\qquad (i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k})}$$

da una base ortonormal de if es una base ortonormal de . Si es un operador acotado en , entonces define funcionalmente un operador acotado en por ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$ ${\displaystyle (e_{i})}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$

$${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=Av_{1}\wedge Av_{2}\wedge \cdots \wedge Av_{k}.}$$

Si es clase de seguimiento, entonces también es clase de seguimiento con ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)}$

$${\displaystyle \|\Lambda ^{k}(A)\|_{1}\leq \|A\|_{1}^{k}/k!.}$$

Esto muestra que la definición del determinante de Fredholm dada por

$${\displaystyle \det(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }\operatorname {Tr} \Lambda ^{k}(A)}$$

tiene sentido.

Propiedades

• Si es un operador de clase de seguimiento ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \det(I+zA)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}\operatorname {Tr} \Lambda ^{k}(A)}$$

función completa

$${\displaystyle \left|\det(I+zA)\right|\leq \exp(|z|\cdot \|A\|_{1}).}$$

• La función es continua en operadores de clase de seguimiento, con ${\displaystyle \det(I+A)}$

$${\displaystyle \left|\det(I+A)-\det(I+B)\right|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\|A\|_{1}+\|B\|_{1}+1).}$$

$${\displaystyle \left|\det(I+A)-\det(I+B)\right|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\max(\|A\|_{1},\|B\|_{1})+1).}$$

• Si y son de clase de seguimiento, entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle \det(I+A)\cdot \det(I+B)=\det(I+A)(I+B).}$$

• La función define un homomorfismo de en el grupo multiplicativo de números complejos distintos de cero (ya que los elementos de son invertibles). ${\displaystyle \det }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle G}$
• Si está dentro y es invertible, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \det XTX^{-1}=\det T.}$$

• Si es clase de seguimiento, entonces ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \det e^{A}=\exp \,\operatorname {Tr} (A).}$$

$${\displaystyle \log \det(I+zA)=\operatorname {Tr} (\log {(I+zA)})=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\operatorname {Tr} A^{k}}{k}}z^{k}}$$

Determinantes de Fredholm de los conmutadores.

Se dice que una función desde dentro es diferenciable si es diferenciable como un mapa en los operadores de clase de seguimiento, es decir, si el límite ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F(t)-I}$

$${\displaystyle {\dot {F}}(t)=\lim _{h\to 0}{F(t+h)-F(t) \over h}}$$

existe en la norma de clase de seguimiento.

Si es una función diferenciable con valores en operadores de clase de seguimiento, entonces también lo es y ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle \exp g(t)}$

$${\displaystyle F^{-1}{\dot {F}}={\operatorname {id} -\exp -\operatorname {ad} g(t) \over \operatorname {ad} g(t)}\cdot {\dot {g}}(t),}$$

dónde

$${\displaystyle \operatorname {ad} (X)\cdot Y=XY-YX.}$$

Israel Gohberg y Mark Kerin demostraron que si es una función diferenciable en , entonces es una función diferenciable en con ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f=\det F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

$${\displaystyle f^{-1}{\dot {f}}=\operatorname {Tr} F^{-1}{\dot {F}}.}$$

Este resultado fue utilizado por Joel Pincus, William Helton y Roger Howe para demostrar que si y son operadores acotados con conmutador de clase de traza , entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB-BA}$

$${\displaystyle \det e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \operatorname {Tr} (AB-BA).}$$

Fórmula del límite de Szegő

Sea y sea la proyección ortogonal sobre el espacio de Hardy . ${\displaystyle H=L^{2}(S^{1})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H^{2}(S^{1})}$

Si es una función suave en el círculo, denotemos el operador de multiplicación correspondiente en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m(f)}$ ${\displaystyle H}$

el conmutador

$${\displaystyle Pm(f)-m(f)P}$$

Sea el operador de Toeplitz definido por ${\displaystyle T(f)}$ ${\displaystyle H^{2}(S^{1})}$

$${\displaystyle T(f)=Pm(f)P,}$$

luego el conmutador aditivo

$${\displaystyle T(f)T(g)-T(g)T(f)}$$

${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Berger y Shaw demostraron que

$${\displaystyle \operatorname {tr} (T(f)T(g)-T(g)T(f))={1 \over 2\pi i}\int _{0}^{2\pi }f\,dg.}$$

Si y son suaves, entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle T(e^{f+g})T(e^{-f})T(e^{-g})}$$

${\displaystyle G}$

Harold Widom utilizó el resultado de Pincus-Helton-Howe para demostrar que

$${\displaystyle \det T(e^{f})T(e^{-f})=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},}$$

$${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}z^{n}.}$$

Utilizó esto para dar una nueva prueba de la célebre fórmula límite de Gábor Szegő :

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\det P_{N}m(e^{f})P_{N}=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},}$$

${\displaystyle P_{N}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 1,z,\ldots ,z^{N}}$ ${\displaystyle a_{0}=0}$

La fórmula límite de Szegő fue probada en 1951 en respuesta a una pregunta planteada por el trabajo de Lars Onsager y CN Yang sobre el cálculo de la magnetización espontánea para el modelo de Ising . La fórmula de Widom, que conduce bastante rápidamente a la fórmula límite de Szegő, también es equivalente a la dualidad entre bosones y fermiones en la teoría de campos conforme . Widom demostró una versión singular de la fórmula límite de Szegő para funciones apoyadas en un arco de círculo; se ha aplicado para establecer resultados probabilísticos sobre la distribución de valores propios de matrices unitarias aleatorias .

Presentación informal para el caso de operadores integrales

La siguiente sección proporciona una definición informal del determinante de Fredholm de cuándo el operador de clase de seguimiento es un operador integral dado por un núcleo . Una definición adecuada requiere una presentación que muestre que cada una de las manipulaciones está bien definida, es convergente, etc., para la situación dada para la cual se contempla el determinante de Fredholm. Dado que el núcleo puede definirse para una gran variedad de espacios de Hilbert y espacios de Banach , éste no es un ejercicio trivial. ${\displaystyle I-T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K(x,y)}$ ${\displaystyle K}$

El determinante de Fredholm se puede definir como

$${\displaystyle \det(I-\lambda T)=\sum _{n=0}^{\infty }(-\lambda )^{n}\operatorname {Tr} \Lambda ^{n}(T)=\exp {\left(-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Tr} (T^{n})}{n}}\lambda ^{n}\right)}}$$

donde es un operador integral . La traza del operador y sus poderes alternos está dada en términos del núcleo por ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle \operatorname {Tr} T=\int K(x,x)\,dx}$$

$${\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda ^{2}(T)={\frac {1}{2!}}\iint \left(K(x,x)K(y,y)-K(x,y)K(y,x)\right)dx\,dy}$$

$${\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda ^{n}(T)={\frac {1}{n!}}\int \cdots \int \det K(x_{i},x_{j})|_{1\leq i,j\leq n}\,dx_{1}\cdots dx_{n}.}$$

La traza está bien definida para estos núcleos, ya que son operadores nucleares o de clase de traza .

Aplicaciones

El determinante de Fredholm fue utilizado por el físico John A. Wheeler (1937, Phys. Rev. 52:1107) para ayudar a proporcionar una descripción matemática de la función de onda de un núcleo compuesto compuesto por una combinación antisimetrizada de funciones de onda parciales mediante el método de estructura de grupo resonante. Este método corresponde a las diversas formas posibles de distribuir la energía de neutrones y protones en grupos de nucleones de bosones y fermiones fundamentales o bloques de construcción como la partícula alfa, helio-3, deuterio, tritón, di-neutrón, etc. Para el método de estructura de grupo resonante para isótopos estables beta y alfa, el uso del determinante de Fredholm: (1) determina los valores de energía del sistema compuesto y (2) determina las secciones transversales de dispersión y desintegración. El método de estructura de grupo resonante de Wheeler proporciona las bases teóricas para todos los modelos de cúmulos de nucleones posteriores y la dinámica de energía de cúmulos asociados para todos los isótopos de masas ligeras y pesadas (consulte la revisión de los modelos de cúmulos en física en ND Cook, 2006).

Referencias

• Simon, Barry (2005), Trace Ideals y sus aplicaciones , Encuestas y monografías matemáticas, vol. 120, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-3581-5
• Wheeler, John A. (1 de diciembre de 1937). "Sobre la descripción matemática de los núcleos ligeros mediante el método de estructura de grupos resonantes". Revisión física . 52 (11). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 1107–1122. Código bibliográfico : 1937PhRv...52.1107W. doi :10.1103/physrev.52.1107. ISSN  0031-899X.
• Bornemann, Folkmar (2010), "Sobre la evaluación numérica de los determinantes de Fredholm", Math. comp. , 79 (270), Springer: 871–915, arXiv : 0804.2543 , doi : 10.1090/s0025-5718-09-02280-7