En matemáticas , la topología (de las palabras griegas τόπος , 'lugar, ubicación' y λόγος , 'estudio') se ocupa de las propiedades de un objeto geométrico que se conservan bajo deformaciones continuas , como estiramiento , torsión , arrugamiento y flexión. ; es decir, sin cerrar agujeros, abrir agujeros, rasgarse, pegarse o atravesarse.
Un espacio topológico es un conjunto dotado de una estructura, denominada topología , que permite definir deformaciones continuas de subespacios, y, de manera más general, todo tipo de continuidad . Los espacios euclidianos y, de manera más general, los espacios métricos son ejemplos de espacios topológicos, ya que cualquier distancia o métrica define una topología. Las deformaciones que se consideran en topología son los homeomorfismos y las homotopías . Una propiedad que es invariante bajo tales deformaciones es una propiedad topológica . Son ejemplos básicos de propiedades topológicas los siguientes: la dimensión , que permite distinguir entre una línea y una superficie ; compacidad , que permite distinguir entre una línea y un círculo; Conectividad , que permite distinguir un círculo de dos círculos que no se cruzan.
Las ideas subyacentes a la topología se remontan a Gottfried Wilhelm Leibniz , quien en el siglo XVII imaginó la geometria situs y el análisis situs . El problema de los siete puentes de Königsberg y la fórmula del poliedro de Leonhard Euler son posiblemente los primeros teoremas de este campo. El término topología fue introducido por Johann Benedict Listing en el siglo XIX; aunque no fue hasta las primeras décadas del siglo XX que se desarrolló la idea de espacio topológico.
La idea motivadora detrás de la topología es que algunos problemas geométricos no dependen de la forma exacta de los objetos involucrados, sino más bien de la forma en que se ensamblan. Por ejemplo, el cuadrado y el círculo tienen muchas propiedades en común: ambos son objetos unidimensionales (desde un punto de vista topológico) y ambos separan el plano en dos partes, la parte interior y la parte exterior.
En uno de los primeros artículos sobre topología, Leonhard Euler demostró que era imposible encontrar una ruta a través de la ciudad de Königsberg (hoy Kaliningrado ) que cruzara cada uno de sus siete puentes exactamente una vez. Este resultado no dependió de la longitud de los puentes ni de su distancia entre sí, sino sólo de las propiedades de conectividad: qué puentes conectan con qué islas o riberas de los ríos. Este problema de los Siete Puentes de Königsberg dio lugar a la rama de las matemáticas conocida como teoría de grafos .
De manera similar, el teorema de la topología algebraica de la bola peluda dice que "no se puede peinar el cabello sobre una bola peluda sin crear un mechón ". Este hecho resulta inmediatamente convincente para la mayoría de las personas, aunque no reconozcan el enunciado más formal del teorema, de que no existe ningún campo vectorial tangente continuo que no desaparezca en la esfera. Como ocurre con los Puentes de Königsberg , el resultado no depende de la forma de la esfera; se aplica a cualquier tipo de masa lisa, siempre que no tenga agujeros.
Para abordar estos problemas que no dependen de la forma exacta de los objetos, se debe tener claro en qué propiedades se basan estos problemas. De esta necesidad surge la noción de homeomorfismo . La imposibilidad de cruzar cada puente una sola vez se aplica a cualquier disposición de puentes homeomórficos a los de Königsberg, y el teorema de la bola peluda se aplica a cualquier espacio homeomórfico a una esfera.
Intuitivamente, dos espacios son homeomórficos si uno puede deformarse en el otro sin cortarlo ni pegarlo. Un chiste tradicional es que un topólogo no puede distinguir una taza de café de un donut, ya que un donut suficientemente flexible podría transformarse en una taza de café creando un hoyuelo y agrandándolo progresivamente, mientras se reduce el agujero para convertirlo en un asa. [1]
El homeomorfismo puede considerarse la equivalencia topológica más básica . Otra es la equivalencia de homotopía . Esto es más difícil de describir sin entrar en aspectos técnicos, pero la noción esencial es que dos objetos son equivalentes en homotopía si ambos resultan de "aplastar" algún objeto más grande.
La topología, como disciplina matemática bien definida, se origina a principios del siglo XX, pero algunos resultados aislados se remontan a varios siglos atrás. [2] Entre ellas se encuentran ciertas cuestiones de geometría investigadas por Leonhard Euler . Su artículo de 1736 sobre los Siete Puentes de Königsberg se considera una de las primeras aplicaciones prácticas de la topología. [2] El 14 de noviembre de 1750, Euler le escribió a un amigo que se había dado cuenta de la importancia de las aristas de un poliedro . Esto llevó a su fórmula del poliedro , V − E + F = 2 (donde V , E y F indican respectivamente el número de vértices, aristas y caras del poliedro). Algunas autoridades consideran este análisis como el primer teorema, que señala el nacimiento de la topología. [3]
Augustin-Louis Cauchy , Ludwig Schläfli , Johann Benedict Listing , Bernhard Riemann y Enrico Betti realizaron otras contribuciones . [4] Listing introdujo el término "Topologie" en Vorstudien zur Topologie , escrito en su alemán nativo, en 1847, habiendo utilizado la palabra durante diez años en correspondencia antes de su primera aparición impresa. [5] La forma inglesa "topología" se utilizó en 1883 en el obituario de Listing en la revista Nature para distinguir "la geometría cualitativa de la geometría ordinaria en la que se tratan principalmente las relaciones cuantitativas". [6]
Su obra fue corregida, consolidada y ampliamente ampliada por Henri Poincaré . En 1895, publicó su innovador artículo sobre Análisis Situs , que introdujo los conceptos ahora conocidos como homotopía y homología , que ahora se consideran parte de la topología algebraica . [4]
Unificando el trabajo sobre espacios funcionales de Georg Cantor , Vito Volterra , Cesare Arzelà , Jacques Hadamard , Giulio Ascoli y otros, Maurice Fréchet introdujo el espacio métrico en 1906. [7] Un espacio métrico ahora se considera un caso especial de un espacio topológico general , y cualquier espacio topológico dado puede dar lugar a muchos espacios métricos distintos. En 1914, Felix Hausdorff acuñó el término "espacio topológico" y dio la definición de lo que ahora se llama espacio de Hausdorff . [8] Actualmente, un espacio topológico es una ligera generalización de los espacios de Hausdorff, dada en 1922 por Kazimierz Kuratowski . [9]
La topología moderna depende en gran medida de las ideas de la teoría de conjuntos, desarrollada por Georg Cantor a finales del siglo XIX. Además de establecer las ideas básicas de la teoría de conjuntos, Cantor consideró los conjuntos de puntos en el espacio euclidiano como parte de su estudio de las series de Fourier . Para conocer más desarrollos, consulte topología de conjunto de puntos y topología algebraica.
El Premio Abel 2022 fue otorgado a Dennis Sullivan "por sus innovadoras contribuciones a la topología en su sentido más amplio, y en particular a sus aspectos algebraicos, geométricos y dinámicos". [10]
El término topología también se refiere a una idea matemática específica central en el área de las matemáticas llamada topología. De manera informal, una topología describe cómo los elementos de un conjunto se relacionan espacialmente entre sí. Un mismo conjunto puede tener diferentes topologías. Por ejemplo, la línea real , el plano complejo y el conjunto de Cantor pueden considerarse como el mismo conjunto con diferentes topologías.
Formalmente, sea X un conjunto y sea τ una familia de subconjuntos de X. Entonces τ se llama topología en X si:
Si τ es una topología en X , entonces el par ( X , τ ) se llama espacio topológico. La notación X τ puede usarse para denotar un conjunto X dotado de la topología particular τ . Por definición, toda topología es un sistema π .
Los miembros de τ se llaman conjuntos abiertos en X. Se dice que un subconjunto de X es cerrado si su complemento está en τ (es decir, su complemento es abierto). Un subconjunto de X puede ser abierto, cerrado, ambos (un conjunto abierto ) o ninguno. El conjunto vacío y el propio X están siempre cerrados y abiertos. Un subconjunto abierto de X que contiene un punto x se llama vecindad de x .
Una función o mapa de un espacio topológico a otro se llama continuo si la imagen inversa de cualquier conjunto abierto es abierta. Si la función asigna los números reales a los números reales (ambos espacios con la topología estándar), entonces esta definición de continuo es equivalente a la definición de continuo en cálculo . Si una función continua es uno a uno y sobre , y si la inversa de la función también es continua, entonces la función se llama homeomorfismo y se dice que el dominio de la función es homeomorfo al rango. Otra forma de decir esto es que la función tiene una extensión natural a la topología. Si dos espacios son homeomórficos, tienen propiedades topológicas idénticas y se consideran topológicamente iguales. El cubo y la esfera son homeomórficos, al igual que la taza de café y el donut. Sin embargo, la esfera no es homeomórfica con respecto al donut.
Si bien los espacios topológicos pueden ser extremadamente variados y exóticos, muchas áreas de la topología se centran en la clase más familiar de espacios conocidos como variedades. Una variedad es un espacio topológico que se asemeja al espacio euclidiano cerca de cada punto. Más precisamente, cada punto de una variedad de n dimensiones tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio euclidiano de dimensión n . Las líneas y los círculos , pero no los ochos , son variedades unidimensionales. Las variedades bidimensionales también se llaman superficies , aunque no todas las superficies son variedades. Los ejemplos incluyen el plano , la esfera y el toro, que pueden realizarse sin autointersección en tres dimensiones, y la botella de Klein y el plano proyectivo real , que no pueden (es decir, todas sus realizaciones son superficies que no son variedades). .
La topología general es la rama de la topología que se ocupa de las definiciones y construcciones básicas de la teoría de conjuntos utilizadas en topología. [11] [12] Es la base de la mayoría de las otras ramas de la topología, incluida la topología diferencial, la topología geométrica y la topología algebraica. Otro nombre para la topología general es topología de conjuntos de puntos.
El objeto básico de estudio son los espacios topológicos , que son conjuntos dotados de una topología , es decir, una familia de subconjuntos , llamados conjuntos abiertos , que se cierra bajo intersecciones finitas y uniones (finitas o infinitas) . Los conceptos fundamentales de la topología, como continuidad , compacidad y conectividad , se pueden definir en términos de conjuntos abiertos. De manera intuitiva, las funciones continuas llevan puntos cercanos a puntos cercanos. Los conjuntos compactos son aquellos que pueden estar cubiertos por un número finito de conjuntos de tamaño arbitrariamente pequeño. Los conjuntos conexos son conjuntos que no se pueden dividir en dos partes que estén muy separadas. Las palabras near , arbitraryly small y far apart pueden precisarse mediante el uso de conjuntos abiertos. Se pueden definir varias topologías en un espacio determinado. Cambiar una topología consiste en cambiar la colección de conjuntos abiertos. Esto cambia qué funciones son continuas y qué subconjuntos son compactos o conectados.
Los espacios métricos son una clase importante de espacios topológicos donde la distancia entre dos puntos cualesquiera está definida por una función llamada métrica . En un espacio métrico, un conjunto abierto es una unión de discos abiertos, donde un disco abierto de radio r centrado en x es el conjunto de todos los puntos cuya distancia a x es menor que r . Muchos espacios comunes son espacios topológicos cuya topología puede definirse mediante una métrica. Es el caso de la recta real , el plano complejo , los espacios vectoriales reales y complejos y los espacios euclidianos . Tener una métrica simplifica muchas pruebas.
La topología algebraica es una rama de las matemáticas que utiliza herramientas del álgebra para estudiar espacios topológicos. [13] El objetivo básico es encontrar invariantes algebraicos que clasifiquen espacios topológicos hasta el homeomorfismo, aunque normalmente la mayoría clasifica hasta la equivalencia de homotopía.
Los más importantes de estos invariantes son los grupos de homotopía , la homología y la cohomología .
Aunque la topología algebraica utiliza principalmente el álgebra para estudiar problemas topológicos, a veces también es posible utilizar la topología para resolver problemas algebraicos. La topología algebraica, por ejemplo, permite demostrar cómodamente que cualquier subgrupo de un grupo libre es nuevamente un grupo libre.
La topología diferencial es el campo que se ocupa de funciones diferenciables en variedades diferenciables . [14] Está estrechamente relacionado con la geometría diferencial y juntos conforman la teoría geométrica de variedades diferenciables.
Más específicamente, la topología diferencial considera las propiedades y estructuras que requieren que solo se defina una estructura suave en una variedad. Las variedades suaves son "más suaves" que las variedades con estructuras geométricas adicionales, que pueden actuar como obstrucciones para ciertos tipos de equivalencias y deformaciones que existen en la topología diferencial. Por ejemplo, el volumen y la curvatura de Riemann son invariantes que pueden distinguir diferentes estructuras geométricas en la misma variedad suave, es decir, se pueden "aplanar" suavemente ciertas variedades, pero podría requerir distorsionar el espacio y afectar la curvatura o el volumen.
La topología geométrica es una rama de la topología que se centra principalmente en variedades de baja dimensión (es decir, espacios de dimensiones 2, 3 y 4) y su interacción con la geometría, pero también incluye alguna topología de dimensiones superiores. [15] Algunos ejemplos de temas en topología geométrica son la orientabilidad , las descomposiciones de manejo , la planitud local , el arrugamiento y el teorema de Schönflies plano y de dimensiones superiores .
En topología de alta dimensión, las clases características son una invariante básica y la teoría quirúrgica es una teoría clave.
La topología de baja dimensión es fuertemente geométrica, como se refleja en el teorema de uniformización en 2 dimensiones: cada superficie admite una métrica de curvatura constante; geométricamente, tiene una de 3 geometrías posibles: curvatura positiva /esférica, curvatura cero/plana y curvatura negativa/hiperbólica – y la conjetura de geometrización (ahora teorema) en 3 dimensiones – cada 3 variedades se puede cortar en pedazos, cada uno de que tiene una de ocho geometrías posibles.
La topología bidimensional se puede estudiar como geometría compleja en una variable ( las superficies de Riemann son curvas complejas); según el teorema de uniformización, cada clase conforme de métricas es equivalente a una única compleja, y la topología tetradimensional se puede estudiar desde el punto de vista de geometría compleja en dos variables (superficies complejas), aunque no todas las variedades 4 admiten una estructura compleja.
Ocasionalmente, es necesario utilizar las herramientas de topología pero no se dispone de un "conjunto de puntos". En la topología sin sentido se considera, en cambio, la red de conjuntos abiertos como la noción básica de la teoría, [16] mientras que las topologías de Grothendieck son estructuras definidas en categorías arbitrarias que permiten la definición de haces en esas categorías, y con ello la definición de teorías de cohomología generales. . [17]
La topología se ha utilizado para estudiar varios sistemas biológicos, incluidas moléculas y nanoestructuras (p. ej., objetos membranosos). En particular, la topología de circuitos y la teoría de nudos se han aplicado ampliamente para clasificar y comparar la topología de proteínas y ácidos nucleicos plegados. La topología de circuitos clasifica las cadenas moleculares plegadas según la disposición por pares de sus contactos intracadena y los cruces de cadenas. La teoría de nudos , una rama de la topología, se utiliza en biología para estudiar los efectos de determinadas enzimas sobre el ADN. Estas enzimas cortan, tuercen y reconectan el ADN, provocando nudos con efectos observables como una electroforesis más lenta . [18] En neurociencia, cantidades topológicas como la característica de Euler y el número de Betti se han utilizado para medir la complejidad de los patrones de actividad en las redes neuronales. [ cita necesaria ]
El análisis de datos topológicos utiliza técnicas de topología algebraica para determinar la estructura a gran escala de un conjunto (por ejemplo, determinar si una nube de puntos es esférica o toroidal ). El principal método utilizado por el análisis de datos topológicos es:
Varias ramas de la semántica del lenguaje de programación , como la teoría de dominios , se formalizan mediante la topología. En este contexto, Steve Vickers , basándose en el trabajo de Samson Abramsky y Michael B. Smyth, caracteriza los espacios topológicos como álgebras booleanas o de Heyting sobre conjuntos abiertos, que se caracterizan como propiedades semidecidibles (equivalentemente, finitamente observables). [20]
La topología es relevante para la física en áreas como la física de la materia condensada , [21] la teoría cuántica de campos y la cosmología física .
La dependencia topológica de las propiedades mecánicas de los sólidos es de interés en las disciplinas de la ingeniería mecánica y la ciencia de los materiales . Las propiedades eléctricas y mecánicas dependen de la disposición y las estructuras de red de las moléculas y unidades elementales de los materiales. [22] La resistencia a la compresión de topologías arrugadas se estudia en un intento de comprender la alta resistencia al peso de tales estructuras que son en su mayoría espacio vacío. [23] La topología tiene mayor importancia en la mecánica de contacto , donde la dependencia de la rigidez y la fricción de la dimensionalidad de las estructuras superficiales es un tema de interés con aplicaciones en la física de múltiples cuerpos.
Una teoría de campos cuánticos topológicos (o teoría de campos topológicos o TQFT) es una teoría de campos cuánticos que calcula invariantes topológicos .
Aunque los TQFT fueron inventados por físicos, también son de interés matemático, ya que están relacionados, entre otras cosas, con la teoría de nudos , la teoría de las cuatro variedades en topología algebraica y con la teoría de los espacios de módulos en geometría algebraica. Donaldson , Jones , Witten y Kontsevich han ganado medallas Fields por trabajos relacionados con la teoría de campos topológicos.
La clasificación topológica de las variedades Calabi-Yau tiene implicaciones importantes en la teoría de cuerdas , ya que diferentes variedades pueden sostener diferentes tipos de cuerdas. [24]
En cosmología, la topología se puede utilizar para describir la forma general del universo . [25] Esta área de investigación se conoce comúnmente como topología del espacio-tiempo .
En materia condensada, una aplicación relevante a la física topológica proviene de la posibilidad de obtener corriente unidireccional, que es una corriente protegida de la retrodispersión. Fue descubierto por primera vez en la electrónica con el famoso efecto Hall cuántico y luego generalizado en otras áreas de la física, por ejemplo en la fotónica [26] por FDM Haldane .
Las posibles posiciones de un robot se pueden describir mediante una variedad llamada espacio de configuración . [27] En el área de la planificación del movimiento , se encuentran caminos entre dos puntos en el espacio de configuración. Estos caminos representan un movimiento de las articulaciones del robot y otras partes hacia la postura deseada. [28]
Los rompecabezas de desenredo se basan en aspectos topológicos de las formas y componentes del rompecabezas. [29] [30] [31]
Para crear una unión continua de piezas en una construcción modular, es necesario crear un camino ininterrumpido en un orden que rodee cada pieza y atraviese cada borde solo una vez. Este proceso es una aplicación del camino euleriano . [32]
