La topología del espacio-tiempo es la estructura topológica del espacio-tiempo , un tema estudiado principalmente en la relatividad general . Esta teoría física modela la gravitación como la curvatura de una variedad lorentziana de cuatro dimensiones (un espacio-tiempo) y, por lo tanto, los conceptos de topología se vuelven importantes para analizar los aspectos locales y globales del espacio-tiempo. El estudio de la topología del espacio-tiempo es especialmente importante en la cosmología física .
Hay dos tipos principales de topología para un espaciotiempo M.
Como cualquier variedad, un espacio-tiempo posee una topología de variedad natural . Aquí los conjuntos abiertos son la imagen de los conjuntos abiertos en .
Definición : [1] La topología en la que un subconjunto es abierto si para cada curva temporal hay un conjunto en la topología de la variedad tal que .
Es la topología más fina que induce la misma topología que en las curvas temporales. [2]
Estrictamente más fina que la topología de variedades. Por lo tanto, es de Hausdorff , separable pero no localmente compacta .
Una base para la topología son conjuntos de la forma para algún punto y algún vecindario normal convexo .
( denota el pasado y el futuro cronológico ).
La topología de Alexandrov en el espacio-tiempo es la topología más burda, de modo que tanto como están abiertos para todos los subconjuntos .
Aquí la base de los conjuntos abiertos para la topología son conjuntos de la forma para algunos puntos .
Esta topología coincide con la topología de variedad si y sólo si la variedad es fuertemente causal, pero es más burda en general. [3]
Tenga en cuenta que, en matemáticas, una topología de Alexandrov de orden parcial suele considerarse la topología más burda en la que solo se requiere que los conjuntos superiores sean abiertos. Esta topología se remonta a Pavel Alexandrov .
Hoy en día, el término matemático correcto para la topología de Alexandrov en el espacio-tiempo (que se remonta a Alexandr D. Alexandrov ) sería topología de intervalo , pero cuando Kronheimer y Penrose introdujeron el término esta diferencia en la nomenclatura no era tan clara [ cita requerida ] , y en física el término topología de Alexandrov sigue utilizándose.
Los eventos conectados por la luz tienen una separación cero. El espacio-tiempo pleno en el plano se divide en cuatro cuadrantes, cada uno de los cuales tiene la topología de R 2 . Las líneas divisorias son la trayectoria de los fotones entrantes y salientes en (0,0). La segmentación topológica de la cosmología planar es el futuro F, el pasado P, el espacio a la izquierda L y el espacio a la derecha D. El homeomorfismo de F con R 2 equivale a la descomposición polar de números complejos divididos :
F está en correspondencia biyectiva con cada uno de P, L y D bajo las aplicaciones z → – z , z → j z y z → – j z , por lo que cada uno adquiere la misma topología. La unión U = F ∪ P ∪ L ∪ D tiene entonces una topología que casi cubre el plano, dejando fuera solo el cono nulo en (0,0). La rotación hiperbólica del plano no mezcla los cuadrantes, de hecho, cada uno es un conjunto invariante bajo el grupo de hipérbolas unitarias .
