Dimensión fractal

Relación que proporciona un índice estadístico de variación de la complejidad con la escala.

Figura 1. A medida que la longitud de la vara de medir se hace cada vez más pequeña, la longitud total de la costa medida aumenta (consulte la paradoja de la costa ).

En matemáticas , una dimensión fractal es un término invocado en la ciencia de la geometría para proporcionar un índice estadístico racional de detalle de complejidad en un patrón . Un patrón fractal cambia con la escala en la que se mide. También es una medida de la capacidad de un patrón para llenar el espacio , e indica cómo un fractal escala de manera diferente, en una dimensión fractal (no entera). ^{[1] [2] [3]}

La idea principal de dimensiones "fracturadas" tiene una larga historia en matemáticas, pero el término en sí fue puesto en primer plano por Benoit Mandelbrot basándose en su artículo de 1967 sobre autosimilitud en el que analizaba las dimensiones fraccionarias . ^[4] En ese artículo, Mandelbrot citó trabajos previos de Lewis Fry Richardson que describen la noción contraria a la intuición de que la longitud medida de una costa cambia con la longitud de la vara de medir utilizada (ver Fig. 1). En términos de esa noción, la dimensión fractal de una línea costera cuantifica cómo cambia el número de varas de medir a escala necesarias para medir la costa con la escala aplicada a la vara. ^[5] Existen varias definiciones matemáticas formales de dimensión fractal que se basan en este concepto básico de cambio en detalle con el cambio de escala: consulte la sección Ejemplos.

Al final, el término dimensión fractal se convirtió en la frase con la que el propio Mandelbrot se sintió más cómodo con respecto a encapsular el significado de la palabra fractal , término que él mismo creó. Después de varias iteraciones a lo largo de años, Mandelbrot se decidió por este uso del lenguaje: "...usar fractal sin una definición pedante, usar dimensión fractal como un término genérico aplicable a todas las variantes". ^[6]

Un ejemplo no trivial es la dimensión fractal de un copo de nieve de Koch . Tiene una dimensión topológica de 1, pero de ninguna manera es rectificable : la longitud de la curva entre dos puntos cualesquiera del copo de nieve de Koch es infinita . Ninguna pequeña porción tiene forma de línea, sino que está compuesta por un número infinito de segmentos unidos en diferentes ángulos. La dimensión fractal de una curva se puede explicar intuitivamente pensando en una línea fractal como un objeto demasiado detallado para ser unidimensional, pero demasiado simple para ser bidimensional. ^[7] Por lo tanto, su dimensión podría describirse mejor no por su dimensión topológica habitual de 1 sino por su dimensión fractal, que a menudo es un número entre uno y dos; en el caso del copo de nieve de Koch, es aproximadamente 1,2619.

Introducción

Figura 2. Un fractal cuádrico de 32 segmentos escalado y visto a través de cajas de diferentes tamaños. El patrón ilustra la autosemejanza . La dimensión fractal teórica para este fractal es 5/3 ≈ 1,67; su dimensión fractal empírica a partir del análisis de conteo de cajas es ±1% ^[8] utilizando software de análisis fractal .

Una dimensión fractal es un índice para caracterizar patrones o conjuntos fractales cuantificando su complejidad como una relación entre el cambio en detalle y el cambio en escala. ^{[5] : 1} Se pueden medir teórica y empíricamente varios tipos de dimensiones fractales (ver Fig. 2). ^{[3] [9]} Las dimensiones fractales se utilizan para caracterizar un amplio espectro de objetos que van desde lo abstracto ^{[1] [3]} hasta fenómenos prácticos, incluida la turbulencia, ^{[5] : 97–104} redes fluviales, ^{: 246–247} crecimiento urbano , ^{[10] [11]} fisiología humana, ^{[12] [13]} medicina, ^[9] y tendencias del mercado. ^[14] La idea esencial de dimensiones fraccionarias o fractales tiene una larga historia en matemáticas que se remonta al siglo XVII, ^{[5] : 19  [15]} pero los términos fractal y dimensión fractal fueron acuñados por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975. ^{[1] [2] [5] [9] [14] [16]}

Las dimensiones fractales se aplicaron por primera vez como índice que caracterizaba formas geométricas complicadas para las cuales los detalles parecían más importantes que la imagen general. ^[16] Para conjuntos que describen formas geométricas ordinarias, la dimensión fractal teórica es igual a la familiar dimensión euclidiana o topológica del conjunto . Por tanto, es 0 para conjuntos que describen puntos (conjuntos de dimensión 0); 1 para conjuntos que describen líneas (conjuntos unidimensionales que tienen longitud únicamente); 2 para conjuntos que describen superficies (conjuntos bidimensionales que tienen largo y ancho); y 3 para conjuntos que describen volúmenes (conjuntos tridimensionales que tienen largo, ancho y alto). Pero esto cambia para los conjuntos fractales. Si la dimensión fractal teórica de un conjunto excede su dimensión topológica, se considera que el conjunto tiene geometría fractal. ^[17]

A diferencia de las dimensiones topológicas, el índice fractal puede tomar valores no enteros , ^[18] lo que indica que un conjunto llena su espacio cualitativa y cuantitativamente de manera diferente a como lo hace un conjunto geométrico ordinario. ^{[1] [2] [3]} Por ejemplo, una curva con una dimensión fractal muy cercana a 1, digamos 1,10, se comporta bastante como una línea ordinaria, pero una curva con una dimensión fractal de 1,9 serpentea enrevesadamente a través del espacio casi como una superficie. De manera similar, una superficie con una dimensión fractal de 2,1 llena el espacio de manera muy parecida a una superficie ordinaria, pero una con una dimensión fractal de 2,9 se pliega y fluye para llenar el espacio casi como un volumen. ^{[17] : 48  [notas 1]} Esta relación general se puede ver en las dos imágenes de curvas fractales en la Fig.2 y la Fig.3: el contorno de 32 segmentos en la Fig.2, intrincado y que llena el espacio, tiene una dimensión fractal. de 1,67, en comparación con la curva de Koch perceptiblemente menos compleja de la Fig. 3, que tiene una dimensión fractal de aproximadamente 1,2619.

Figura 3. La curva de Koch es una curva fractal iterada clásica . Es una construcción teórica que se realiza escalando iterativamente un segmento inicial. Como se muestra, cada nuevo segmento se escala en 1/3 en 4 nuevas piezas colocadas de extremo a extremo con 2 piezas intermedias inclinadas entre sí entre las otras dos piezas, de modo que si fueran un triángulo, su base sería la longitud del segmento medio. pieza, de modo que todo el nuevo segmento encaje a lo largo de la longitud medida tradicionalmente entre los puntos finales del segmento anterior. Mientras que la animación sólo muestra algunas iteraciones, la curva teórica se escala de esta manera infinitamente. Más allá de aproximadamente 6 iteraciones en una imagen tan pequeña, se pierde el detalle.

Se podría interpretar que la relación entre una dimensión fractal creciente y el llenado del espacio significa que las dimensiones fractales miden la densidad, pero no es así; los dos no están estrictamente correlacionados. ^[8] En cambio, una dimensión fractal mide la complejidad, un concepto relacionado con ciertas características clave de los fractales: autosimilitud y detalle o irregularidad . ^{[notas 2]} Estas características son evidentes en los dos ejemplos de curvas fractales. Ambas son curvas con dimensión topológica de 1, por lo que se podría esperar poder medir su longitud y derivada de la misma manera que con las curvas ordinarias. Pero no podemos hacer ninguna de estas cosas, porque las curvas fractales tienen una complejidad en forma de autosemejanza y detalles de los que carecen las curvas ordinarias. ^[5] La autosemejanza radica en la escala infinita y el detalle en los elementos definitorios de cada conjunto. La longitud entre dos puntos cualesquiera de estas curvas es infinita, sin importar qué tan cerca estén los dos puntos, lo que significa que es imposible aproximar la longitud de dicha curva dividiéndola en muchos segmentos pequeños. ^[19] Cada pieza más pequeña se compone de un número infinito de segmentos escalados que se ven exactamente como la primera iteración. Estas no son curvas rectificables , lo que significa que no se pueden medir dividiéndolas en muchos segmentos que se aproximan a sus respectivas longitudes. No se pueden caracterizar de manera significativa encontrando sus longitudes y derivadas. Sin embargo, se pueden determinar sus dimensiones fractales, lo que muestra que ambas llenan el espacio más que las líneas ordinarias pero menos que las superficies, y permite compararlas a este respecto.

Las dos curvas fractales descritas anteriormente muestran un tipo de autosimilitud que es exacta con una unidad de detalle repetida que se visualiza fácilmente. Este tipo de estructura se puede extender a otros espacios (por ejemplo, un fractal que extiende la curva de Koch al espacio tridimensional tiene un valor teórico D=2,5849). Sin embargo, una complejidad tan claramente contable es sólo un ejemplo de la autosemejanza y el detalle que están presentes en los fractales. ^{[3] [14]} El ejemplo de la línea costera de Gran Bretaña, por ejemplo, muestra autosimilitud de un patrón aproximado con una escala aproximada. ^{[5] : 26} En general, los fractales muestran varios tipos y grados de autosemejanza y detalle que pueden no ser fácilmente visualizados. Estos incluyen, como ejemplos, atractores extraños cuyos detalles se han descrito en esencia como porciones suaves que se acumulan, ^{[17] : 49} el conjunto de Julia , que puede verse como complejos remolinos sobre remolinos, y ritmos cardíacos, que son patrones de picos ásperos repetidos y escalados en el tiempo. ^[20] Es posible que la complejidad fractal no siempre se pueda resolver en unidades de detalle y escala fácilmente comprensibles sin métodos analíticos complejos, pero aún así es cuantificable a través de dimensiones fractales. ^{[5] : 197, 262}

Historia

Los términos dimensión fractal y fractal fueron acuñados por Mandelbrot en 1975, ^[16] aproximadamente una década después de que publicara su artículo sobre la autosimilitud en la costa de Gran Bretaña. Varias autoridades históricas le atribuyen también el mérito de sintetizar siglos de complicados trabajos teóricos de matemáticas e ingeniería y aplicarlos de una nueva manera para estudiar geometrías complejas que desafiaban la descripción en términos lineales habituales. ^{[15] [21] [22]} Las primeras raíces de lo que Mandelbrot sintetizó como la dimensión fractal se remontan claramente a escritos sobre funciones no diferenciables e infinitamente autosemejantes, que son importantes en la definición matemática de fractales, alrededor de la época en que El cálculo fue descubierto a mediados del siglo XVII. ^{[5] : 405} Hubo una pausa en los trabajos publicados sobre tales funciones durante un tiempo después, luego una renovación que comenzó a finales del siglo XIX con la publicación de funciones y conjuntos matemáticos que hoy se denominan fractales canónicos (como las obras epónimas de von Koch , ^[19] Sierpiński y Julia ), pero en el momento de su formulación a menudo se los consideraba "monstruos" matemáticos antitéticos. ^{[15] [22]} Estos trabajos estuvieron acompañados por quizás el punto más crucial en el desarrollo del concepto de dimensión fractal a través del trabajo de Hausdorff a principios del siglo XX, quien definió una dimensión "fraccional" que ha llegado a llevar su nombre. y se invoca con frecuencia para definir fractales modernos . ^{[4] [5] : 44  [17] [21]}

Ver Historia de los fractales para más información.

Papel de la escala

Figura 4. Nociones tradicionales de geometría para definir escala y dimensión. , , , , , , ^[23]
${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1^{2}{=}1}$ ${\displaystyle 1^{3}{=}1}$
${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2^{2}{=}4}$ ${\displaystyle 2^{3}{=}8}$
${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3^{2}{=}9}$ ${\displaystyle 3^{3}{=}27}$

El concepto de dimensión fractal se basa en visiones no convencionales de escala y dimensión. ^[24] Como ilustra la Fig. 4, las nociones tradicionales de geometría dictan que las formas escalan de manera predecible de acuerdo con ideas intuitivas y familiares sobre el espacio en el que están contenidas, de modo que, por ejemplo, medir una línea usando primero una vara de medir y luego otra 1/ 3 de su tamaño, dará al segundo palo una longitud total 3 veces mayor que el del primero. Esto también es válido en 2 dimensiones. Si uno mide el área de un cuadrado y luego vuelve a medir con una caja de lado 1/3 del tamaño del original, encontrará 9 veces más cuadrados que con la primera medida. Estas familiares relaciones de escala pueden definirse matemáticamente mediante la regla de escala general de la Ecuación 1, donde la variable representa el número de unidades de medida (palos, cuadrados, etc.), el factor de escala y la dimensión fractal: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle D}$

Esta regla de escala tipifica las reglas convencionales sobre geometría y dimensión; en referencia a los ejemplos anteriores, cuantifica eso para las líneas porque cuando y para los cuadrados porque cuando ${\displaystyle D=1}$ ${\displaystyle N=3}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle D=2}$ ${\displaystyle N=9}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}}.}$

Figura 5. Las primeras cuatro iteraciones del copo de nieve de Koch , que tiene una dimensión de Hausdorff de aproximadamente 1,2619.

La misma regla se aplica a la geometría fractal pero de manera menos intuitiva. Para elaborar, una línea fractal medida al principio como una longitud, cuando se vuelve a medir usando un palo nuevo escalado por 1/3 del viejo puede tener 4 veces más palos escalados de largo en lugar de los 3 esperados (ver Fig. 5). En este caso, cuándo y el valor de se pueden encontrar reorganizando la Ecuación 1: ${\displaystyle N=4}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}},}$ ${\displaystyle D}$

Es decir, para un fractal descrito por cuando , como el copo de nieve de Koch , un valor no entero que sugiere que el fractal tiene una dimensión no igual al espacio en el que reside. ^[3] ${\displaystyle N=4}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle D=1.26185\ldots }$

Es de destacar que las imágenes que se muestran en esta página no son verdaderos fractales porque la escala descrita por no puede continuar más allá del punto de su componente más pequeño, un píxel. Sin embargo, los patrones teóricos que representan las imágenes no tienen piezas discretas similares a píxeles, sino que están compuestos por un número infinito de segmentos infinitamente escalados y, de hecho, tienen las dimensiones fractales reivindicadas. ^{[5] [24]} ${\displaystyle D}$

D no es un descriptor único

Figura 6 . Dos fractales ramificados de sistemas L que se crean produciendo 4 piezas nuevas por cada 1/3 de escala , tienen la misma teoría que la curva de Koch y para los cuales el conteo empírico de cajas se ha demostrado con una precisión del 2%. ^[8] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Como es el caso de las dimensiones determinadas para líneas, cuadrados y cubos, las dimensiones fractales son descriptores generales que no definen patrones de forma única. ^{[24] [25]} El valor de D para el fractal de Koch discutido anteriormente, por ejemplo, cuantifica la escala inherente del patrón, pero no lo describe de manera única ni proporciona suficiente información para reconstruirlo. Se podrían construir muchas estructuras o patrones fractales que tengan la misma relación de escala pero que sean dramáticamente diferentes de la curva de Koch, como se ilustra en la Figura 6.

Para ver ejemplos de cómo se pueden construir patrones fractales, consulte Fractal , Triángulo de Sierpinski , Conjunto de Mandelbrot , Agregación limitada por difusión , Sistema L.

Estructuras de superficie fractales

El concepto de fractalidad se aplica cada vez más en el campo de la ciencia de superficies , proporcionando un puente entre las características de la superficie y las propiedades funcionales. ^[26] Se utilizan numerosos descriptores de superficie para interpretar la estructura de superficies nominalmente planas, que a menudo exhiben características autoafines en múltiples escalas de longitud. La rugosidad media de la superficie , generalmente denominada R _A , es el descriptor de superficie más comúnmente aplicado; sin embargo, se aplican regularmente muchos otros descriptores que incluyen la pendiente media, la rugosidad cuadrática media (R _{RMS ) y otros.} Sin embargo, se ha descubierto que muchos fenómenos físicos de la superficie no pueden interpretarse fácilmente con referencia a tales descriptores, por lo que la dimensión fractal se aplica cada vez más para establecer correlaciones entre la estructura de la superficie en términos de comportamiento de escala y rendimiento. ^[27] Las dimensiones fractales de las superficies se han empleado para explicar y comprender mejor los fenómenos en áreas de la mecánica de contacto , ^[28] el comportamiento de fricción , ^[29] la resistencia eléctrica del contacto, ^[30] y los óxidos conductores transparentes . ^[31]

Figura 7: Ilustración de una fractalidad superficial creciente. Superficies autoafines (izquierda) y perfiles de superficie correspondientes (derecha) que muestran una dimensión fractal creciente D _f

Ejemplos

El concepto de dimensión fractal descrito en este artículo es una visión básica de una construcción complicada. Los ejemplos analizados aquí se eligieron para mayor claridad y la unidad de escala y las proporciones se conocían de antemano. En la práctica, sin embargo, las dimensiones fractales se pueden determinar utilizando técnicas que aproximan la escala y el detalle a partir de límites estimados a partir de líneas de regresión sobre gráficos log vs log de tamaño vs escala. A continuación se enumeran varias definiciones matemáticas formales de diferentes tipos de dimensión fractal. Aunque para conjuntos compactos con autosemejanza afín exacta todas estas dimensiones coinciden, en general no son equivalentes:

• Dimensión de conteo de cajas : D se estima como el exponente de una ley potencial .

${\displaystyle D_{0}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.}$

• Dimensión de información : D considera cómo la información promedio necesaria para identificar una caja ocupada escala con el tamaño de la caja; es una probabilidad. ${\displaystyle p}$

${\displaystyle D_{1}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-\langle \log p_{\varepsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}}$

• Dimensión de correlación : D se basa en el número de puntos utilizados para generar una representación de un fractal y g _ε , el número de pares de puntos más cercanos que ε entre sí. ${\displaystyle M}$

${\displaystyle D_{2}=\lim _{M\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log(g_{\varepsilon }/M^{2})}{\log \varepsilon }}}$^{[ cita necesaria ]}

• Dimensiones generalizadas o de Rényi: las dimensiones de recuento de cajas, información y correlación pueden verse como casos especiales de un espectro continuo de dimensiones generalizadas de orden α, definidas por:

${\displaystyle D_{\alpha }=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {{\frac {1}{\alpha -1}}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log \varepsilon }}}$

• Dimensión Higuchi ^[32]

${\displaystyle D={\frac {d\ \log(L(k))}{d\ \log(k)}}}$

• Dimensión de Lyapunov
• Dimensiones multifractales : un caso especial de dimensiones de Rényi donde el comportamiento de escala varía en diferentes partes del patrón.
• Exponente de incertidumbre
• Dimensión de Hausdorff : Para cualquier subconjunto de un espacio métrico y , el contenido d -dimensional de Hausdorff de S se define por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d\geq 0}$

${\displaystyle C_{H}^{d}(S):=\inf {\Bigl \{}\sum _{i}r_{i}^{d}:{\text{ there is a cover of }}S{\text{ by balls with radii }}r_{i}>0{\Bigr \}}.}$

La dimensión de Hausdorff de S está definida por

${\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}$

• Dimensión de embalaje
• Dimensión asuad
• Dimensión conectada local ^[33]
• Dimensión de grados: describe la naturaleza fractal de la distribución de grados de las gráficas. ^[34]

Estimación a partir de datos del mundo real

Muchos fenómenos del mundo real exhiben propiedades fractales y dimensiones fractales limitadas o estadísticas que se han estimado a partir de datos muestreados utilizando técnicas de análisis fractal basadas en computadora . En la práctica, las mediciones de la dimensión fractal se ven afectadas por diversas cuestiones metodológicas y son sensibles al ruido numérico o experimental y a las limitaciones en la cantidad de datos. No obstante, el campo está creciendo rápidamente ya que las dimensiones fractales estimadas para fenómenos estadísticamente autosimilares pueden tener muchas aplicaciones prácticas en diversos campos, incluyendo astronomía, ^[35] acústica, ^{[36] [37]} geología y ciencias de la tierra, ^[38] diagnóstico por imágenes, ^{[39] [40] [41]} ecología, ^[42] procesos electroquímicos, ^[43] análisis de imágenes, ^{[44] [45] [46] [47]} biología y medicina, ^{[48] [49] [50]} neurociencia, ^{[51] [13]} análisis de redes , fisiología, ^[12] física, ^{[52] [53]} y ceros zeta de Riemann. ^[54] También se ha demostrado que las estimaciones de dimensiones fractales se correlacionan con la complejidad de Lempel-Ziv en conjuntos de datos del mundo real procedentes de psicoacústica y neurociencia. ^{[55] [36]}

Una alternativa a la medición directa es considerar un modelo matemático que se asemeje a la formación de un objeto fractal del mundo real. En este caso, también se puede realizar una validación comparando propiedades distintas a las fractales implícitas en el modelo con datos medidos. En la física coloidal surgen sistemas compuestos por partículas con diversas dimensiones fractales. Para describir estos sistemas, es conveniente hablar de una distribución de dimensiones fractales y, eventualmente, de una evolución temporal de estas últimas: un proceso impulsado por una interacción compleja entre agregación y coalescencia . ^[56]

Ver también

• Lista de fractales por dimensión de Hausdorff
• Lacunaridad  - Término en geometría y análisis fractal
• Derivada fractal  - Generalización de derivada a fractales

Notas

1. Ver una representación gráfica de diferentes dimensiones fractales.
2. Ver características fractales

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Otras lecturas

• Mandelbrot, Benoît B .; Hudson, Richard L. (2010). El (mal) comportamiento de los mercados: una visión fractal del riesgo, la ruina y la recompensa. Libros de perfil. ISBN 978-1-84765-155-6.

enlaces externos

• Benoit, producto de software de análisis fractal de TruSoft, calcula dimensiones fractales y exponentes de hurst.
• Un subprograma de Java para calcular dimensiones fractales
• Introducción al análisis fractal
• Bowley, Roger (2009). "Dimensión fractal". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .
• "Los fractales no suelen ser autosemejantes". 3Azul1Marrón .