Georg Friedrich Bernhard Riemann ( alemán: [ˈɡeːɔʁk ˈfʁiːdʁɪç ˈbɛʁnhaʁt ˈʁiːman] ⓘ ; [1][2]17 de septiembre de 1826 - 20 de julio de 1866) fue unmatemáticoque hizo profundas contribuciones alanálisis,la teoría de númerosyla geometría diferencial. En el campo delanálisis real, es conocido principalmente por la primera formulación rigurosa de la integral, laintegral de Riemann, y su trabajo sobrelas series de Fourier. Sus contribuciones alanálisis complejoincluyen más notablemente la introducción delas superficies de Riemann, abriendo nuevos caminos en un tratamiento geométrico natural del análisis complejo. Suartículo de 1859sobre lafunción de conteo de primos, que contiene el enunciado original de lahipótesis de Riemann, se considera un artículo fundamental dela teoría analítica de números. A través de sus contribucionespioneras, Riemann sentó las bases de las matemáticas de larelatividad general. [3]Muchos lo consideran uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. [4][5]
Riemann nació el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz , un pueblo cerca de Dannenberg en el Reino de Hannover . Su padre, Friedrich Bernhard Riemann, era un pastor luterano pobre en Breselenz que luchó en las guerras napoleónicas . Su madre, Charlotte Ebell, murió antes de que sus hijos alcanzaran la edad adulta. Riemann era el segundo de seis hijos, era tímido y padecía numerosos ataques de nervios. Riemann exhibió un talento matemático excepcional, como capacidad de cálculo, desde una edad temprana, pero padecía timidez y miedo a hablar en público.
Durante 1840, Riemann fue a Hannover para vivir con su abuela y asistir al liceo (años de escuela secundaria). Tras la muerte de su abuela en 1842, asistió a la escuela secundaria en el Johanneum Lüneburg. En la escuela secundaria, Riemann estudió intensamente la Biblia , pero a menudo se distraía con las matemáticas. Sus profesores quedaron asombrados por su capacidad para realizar operaciones matemáticas complicadas, en las que a menudo superaba los conocimientos de su instructor. En 1846, a la edad de 19 años, comenzó a estudiar filología y teología cristiana para convertirse en pastor y ayudar en la economía familiar.
Durante la primavera de 1846, su padre, después de reunir suficiente dinero, envió a Riemann a la Universidad de Göttingen , donde planeaba estudiar una licenciatura en teología . Sin embargo, una vez allí, comenzó a estudiar matemáticas con Carl Friedrich Gauss (específicamente sus conferencias sobre el método de mínimos cuadrados ). Gauss recomendó que Riemann abandonara su trabajo teológico y entrara en el campo matemático; después de obtener la aprobación de su padre, Riemann se trasladó a la Universidad de Berlín en 1847. [6] Durante su tiempo de estudio, Carl Gustav Jacob Jacobi , Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Jakob Steiner y Gotthold Eisenstein estaban enseñando. Permaneció en Berlín durante dos años y regresó a Gotinga en 1849.
Riemann impartió sus primeras conferencias en 1854, que fundaron el campo de la geometría riemanniana y sentaron así las bases para la teoría general de la relatividad de Albert Einstein . [7] En 1857 hubo un intento de promover a Riemann a la categoría de profesor extraordinario en la Universidad de Göttingen . Aunque este intento fracasó, finalmente consiguió que Riemann obtuviera un salario regular. En 1859, tras la muerte de Dirichlet (que ocupaba la cátedra de Gauss en la Universidad de Göttingen), fue ascendido a jefe del departamento de matemáticas de la Universidad de Göttingen. También fue el primero en sugerir el uso de dimensiones superiores a tres o cuatro para describir la realidad física. [8] [7]
En 1862 se casó con Elise Koch; su hija Ida Schilling nació el 22 de diciembre de 1862. [9]
Riemann huyó de Gotinga cuando los ejércitos de Hannover y Prusia se enfrentaron allí en 1866. [10] Murió de tuberculosis durante su tercer viaje a Italia en Selasca (ahora una aldea de Verbania en el lago Maggiore ), donde fue enterrado en el cementerio de Biganzolo. (Verbania).
Riemann era un cristiano dedicado, hijo de un ministro protestante, y veía su vida como matemático como otra forma de servir a Dios. Durante su vida, se aferró estrechamente a su fe cristiana y la consideró el aspecto más importante de su vida. En el momento de su muerte, estaba recitando el Padrenuestro con su esposa y murió antes de que terminaran de decir la oración. [11] Mientras tanto, en Gotinga, su ama de llaves descartó algunos de los papeles de su oficina, incluidos muchos trabajos inéditos. Riemann se negó a publicar trabajos incompletos y es posible que se hayan perdido algunas ideas profundas. [10]
La lápida de Riemann en Biganzolo (Italia) hace referencia a Romanos 8:28: [12]
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Profesor en Göttingen
nacido en Breselenz el 17 de septiembre de 1826
fallecido en Selasca el 20 de julio de 1866
Los trabajos publicados de Riemann abrieron áreas de investigación que combinan el análisis con la geometría. Posteriormente se convertirían en partes importantes de las teorías de la geometría de Riemann , la geometría algebraica y la teoría de variedades complejas . La teoría de las superficies de Riemann fue elaborada por Felix Klein y particularmente por Adolf Hurwitz . Esta área de las matemáticas es parte de los fundamentos de la topología y todavía se aplica de formas novedosas a la física matemática .
En 1853, Gauss pidió a Riemann, su alumno, que preparara un Habilitationsschrift sobre los fundamentos de la geometría. Durante muchos meses, Riemann desarrolló su teoría de las dimensiones superiores y pronunció su conferencia en Gotinga en 1854 titulada Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen . [13] [14] No fue publicado hasta doce años después, en 1868, por Dedekind, dos años después de su muerte. Su recepción inicial parece haber sido lenta, pero ahora se reconoce como una de las obras de geometría más importantes.
El tema fundado por este trabajo es la geometría riemanniana . Riemann encontró la forma correcta de extender a n dimensiones la geometría diferencial de las superficies, lo que el propio Gauss demostró en su teorema egregium . Los objetos fundamentales se denominan métrica de Riemann y tensor de curvatura de Riemann . Para el caso de la superficie (bidimensional), la curvatura en cada punto se puede reducir a un número (escalar), siendo las superficies de curvatura positiva o negativa constante modelos de geometrías no euclidianas .
La métrica de Riemann es una colección de números en cada punto del espacio (es decir, un tensor ) que permite medir la velocidad en cualquier trayectoria, cuya integral da la distancia entre los puntos finales de la trayectoria. Por ejemplo, Riemann descubrió que en cuatro dimensiones espaciales, se necesitan diez números en cada punto para describir distancias y curvaturas en una variedad , sin importar cuán distorsionada esté.
En su disertación, estableció una base geométrica para el análisis complejo a través de superficies de Riemann , mediante las cuales funciones multivaluadas como el logaritmo (con infinitas hojas) o la raíz cuadrada (con dos hojas) podrían convertirse en funciones uno a uno . Las funciones complejas son funciones armónicas [ cita necesaria ] (es decir, satisfacen la ecuación de Laplace y, por tanto, las ecuaciones de Cauchy-Riemann ) en estas superficies y se describen por la ubicación de sus singularidades y la topología de las superficies. El "género" topológico de las superficies de Riemann viene dado por , donde la superficie tiene hojas que se juntan en puntos de ramificación. Pues la superficie de Riemann tiene parámetros (los " módulos ").
Sus aportaciones en este ámbito son numerosas. El famoso teorema de mapeo de Riemann dice que un dominio simplemente conexo en el plano complejo es "biholomórficamente equivalente" (es decir, hay una biyección entre ellos que es holomorfa con un inverso holomórfico) a uno o al interior del círculo unitario. La generalización del teorema a superficies de Riemann es el famoso teorema de uniformización , demostrado en el siglo XIX por Henri Poincaré y Felix Klein . También en este caso se dieron pruebas rigurosas por primera vez después del desarrollo de herramientas matemáticas más ricas (en este caso, la topología). Para demostrar la existencia de funciones en las superficies de Riemann utilizó una condición de minimalidad, a la que llamó principio de Dirichlet . Karl Weierstrass encontró un vacío en la prueba: Riemann no se había dado cuenta de que su supuesto de trabajo (que el mínimo existía) podría no funcionar; el espacio funcional podría no estar completo y, por tanto, no se garantizaba la existencia de un mínimo. Gracias al trabajo de David Hilbert en el Cálculo de variaciones, finalmente se estableció el principio de Dirichlet. Por lo demás, Weierstrass quedó muy impresionado con Riemann, especialmente con su teoría de las funciones abelianas . Cuando apareció el trabajo de Riemann, Weierstrass retiró su artículo del Crelle's Journal y no lo publicó. Se entendieron bien cuando Riemann lo visitó en Berlín en 1859. Weierstrass animó a su alumno Hermann Amandus Schwarz a encontrar alternativas al principio de Dirichlet en el análisis complejo, en lo que tuvo éxito. Una anécdota de Arnold Sommerfeld [15] muestra las dificultades que tuvieron los matemáticos contemporáneos con las nuevas ideas de Riemann. En 1870, Weierstrass se llevó la tesis de Riemann de vacaciones a Rigi y se quejó de que era difícil de entender. El físico Hermann von Helmholtz le ayudó en el trabajo durante la noche y regresó comentando que era "natural" y "muy comprensible".
Otros aspectos destacados incluyen su trabajo sobre funciones abelianas y funciones theta en superficies de Riemann. Riemann había estado compitiendo con Weierstrass desde 1857 para resolver los problemas inversos jacobianos para integrales abelianas, una generalización de integrales elípticas . Riemann utilizó funciones theta en varias variables y redujo el problema a la determinación de los ceros de estas funciones theta. Riemann también investigó matrices de período y las caracterizó mediante las "relaciones de período de Riemann" (simétricas, parte real negativa). Según Ferdinand Georg Frobenius y Solomon Lefschetz, la validez de esta relación es equivalente a la incrustación de (donde está la red de la matriz del período) en un espacio proyectivo mediante funciones theta. Para ciertos valores de , esta es la variedad jacobiana de la superficie de Riemann, un ejemplo de variedad abeliana.
Muchos matemáticos como Alfred Clebsch impulsaron el trabajo de Riemann sobre curvas algebraicas. Estas teorías dependían de las propiedades de una función definida en superficies de Riemann. Por ejemplo, el teorema de Riemann-Roch (Roch fue alumno de Riemann) dice algo sobre el número de diferenciales linealmente independientes (con condiciones conocidas en los ceros y los polos) de una superficie de Riemann.
Según Detlef Laugwitz , [16] las funciones automorfas aparecieron por primera vez en un ensayo sobre la ecuación de Laplace en cilindros cargados eléctricamente. Sin embargo, Riemann utilizó tales funciones para mapas conformes (como mapear triángulos topológicos al círculo) en su conferencia de 1859 sobre funciones hipergeométricas o en su tratado sobre superficies mínimas .
En el campo del análisis real , descubrió en su habilitación la integral de Riemann . Entre otras cosas, demostró que toda función continua por tramos es integrable. De manera similar, la integral de Stieltjes se remonta al matemático Göttinger, por lo que se denominan juntas integral de Riemann-Stieltjes .
En su trabajo de habilitación sobre series de Fourier , donde siguió el trabajo de su maestro Dirichlet, demostró que las funciones integrables de Riemann son "representables" por series de Fourier. Dirichlet ha demostrado esto para funciones continuas, diferenciables por partes (por lo tanto, con muchos puntos no diferenciables). Riemann dio un ejemplo de una serie de Fourier que representa una función continua, casi no diferenciable en ninguna parte, un caso no cubierto por Dirichlet. También demostró el lema de Riemann-Lebesgue : si una función es representable mediante una serie de Fourier, entonces los coeficientes de Fourier llegan a cero para n grande .
El ensayo de Riemann también fue el punto de partida para el trabajo de Georg Cantor con las series de Fourier, que impulsaron la teoría de conjuntos .
También trabajó con ecuaciones diferenciales hipergeométricas en 1857 utilizando métodos analíticos complejos y presentó las soluciones a través del comportamiento de caminos cerrados sobre singularidades (descritas por la matriz de monodromía ). La prueba de la existencia de tales ecuaciones diferenciales mediante matrices monodromías previamente conocidas es uno de los problemas de Hilbert.
Riemann hizo algunas contribuciones famosas a la teoría analítica de números moderna . En un único artículo breve , el único que publicó sobre el tema de la teoría de números, investigó la función zeta que ahora lleva su nombre, estableciendo su importancia para comprender la distribución de los números primos . La hipótesis de Riemann fue una de una serie de conjeturas que hizo sobre las propiedades de la función.
En la obra de Riemann hay muchos más desarrollos interesantes. Demostró la ecuación funcional de la función zeta (ya conocida por Leonhard Euler ), detrás de la cual se encuentra una función theta. A través de la suma de esta función de aproximación sobre los ceros no triviales en la línea con la porción real 1/2, dio una "fórmula explícita" exacta para .
Riemann conocía el trabajo de Pafnuty Chebyshev sobre el teorema de los números primos . Había visitado a Dirichlet en 1852.
Las obras de Riemann incluyen:
