Topología equivalente

Estudio de espacios con acciones grupales.

En matemáticas , la topología equivariante es el estudio de espacios topológicos que poseen ciertas simetrías. Al estudiar espacios topológicos, a menudo se consideran mapas continuos , y aunque la topología equivariante también considera dichos mapas, existe la restricción adicional de que cada mapa "respeta la simetría" tanto en su dominio como en su espacio objetivo . ${\displaystyle f:X\to Y}$

La noción de simetría generalmente se capta considerando una acción grupal de un grupo sobre y y requiriendo que sea equivariante bajo esta acción, de modo que para todos , una propiedad generalmente denotada por . Heurísticamente hablando, la topología estándar considera dos espacios como equivalentes "hasta la deformación", mientras que la topología equivariante considera los espacios equivalentes hasta la deformación siempre que preste atención a cualquier simetría que posean ambos espacios. Un famoso teorema de topología equivariante es el teorema de Borsuk-Ulam , que afirma que todo mapa equivalente necesariamente desaparece. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(g\cdot x)=g\cdot f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f:X\to _{G}Y}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

Paquetes G inducidos

Una construcción importante utilizada en cohomología equivariante y otras aplicaciones incluye un paquete de grupo que ocurre naturalmente (ver paquete principal para más detalles).

Consideremos primero el caso en el que actúa libremente sobre . Luego, dado un mapa equivalente , obtenemos secciones dadas por , donde obtiene la acción diagonal , y el paquete es , con fibra y proyección dadas por . A menudo, se escribe el espacio total . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:X\to _{G}Y}$ ${\displaystyle s_{f}:X/G\to (X\times Y)/G}$ ${\displaystyle [x]\mapsto [x,f(x)]}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle g(x,y)=(gx,gy)}$ ${\displaystyle p:(X\times Y)/G\to X/G}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p([x,y])=[x]}$ ${\displaystyle X\times _{G}Y}$

En términos más generales, la tarea en realidad no se corresponde con lo general. Dado que es equivariante, si (el subgrupo de isotropía), entonces, por equivarianza, tenemos eso , por lo que de hecho se asignará a la colección de . En este caso, se puede reemplazar el paquete por un cociente de homotopía donde actúa libremente y es homotópico del paquete inducido por . ${\displaystyle s_{f}}$ ${\displaystyle (X\times Y)/G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in G_{x}}$ ${\displaystyle g\cdot f(x)=f(g\cdot x)=f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{[x,y]\in (X\times Y)/G\mid G_{x}\subset G_{y}\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Aplicaciones a la geometría discreta

De la misma manera que se puede deducir el teorema del sándwich de jamón a partir del teorema de Borsuk-Ulam, se pueden encontrar muchas aplicaciones de topología equivariante a problemas de geometría discreta . ^{[1] [2]} Esto se logra utilizando el paradigma del mapa de prueba del espacio de configuración:

Dado un problema geométrico , definimos el espacio de configuración , que parametriza todas las soluciones asociadas al problema (como puntos, líneas o arcos). Además, consideramos un espacio de prueba y un mapa donde hay una solución a un problema si y sólo si . Finalmente, es habitual considerar simetrías naturales en un problema discreto por algún grupo que actúa sobre ellas y que es equivariante bajo estas acciones. El problema se resuelve si podemos demostrar la inexistencia de un mapa equivariante . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\subset V}$ ${\displaystyle f:X\to V}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle f(p)\in Z}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\to V\setminus Z}$

Las obstrucciones a la existencia de tales mapas a menudo se formulan algebraicamente a partir de los datos topológicos de y . ^[3] Se puede derivar un ejemplo arquetípico de tal obstrucción que tiene un espacio vectorial y . En este caso, un mapa que no desaparece también induciría una sección que no desaparece de la discusión anterior, por lo que la clase superior de Stiefel-Whitney tendría que desaparecer. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V\setminus Z}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Z=\{0\}}$ ${\displaystyle s_{f}:x\mapsto [x,f(x)]}$ ${\displaystyle \omega _{n}(X\times _{G}Y)}$

Ejemplos

• El mapa de identidad siempre será equivariante. ${\displaystyle i:X\to X}$
• Si dejamos actuar en antípoda sobre el círculo unitario, entonces es equivariante, ya que es una función impar . ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{3}}$
• Cualquier aplicación es equivariante cuando actúa trivialmente sobre el cociente, ya que para todos . ${\displaystyle h:X\to X/G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h(g\cdot x)=h(x)}$ ${\displaystyle x}$

Ver también

• Cohomología equivalente
• Teoría de la homotopía estable equivalente
• espectro G

Referencias

1. Matoušek, Jiří (2003). Uso del teorema de Borsuk-Ulam: conferencias sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría . Texto universitario. Saltador.
2. Buen hombre, Jacob E.; O'Rourke, Joseph, eds. (15 de abril de 2004). Manual de geometría discreta y computacional, segunda edición (2ª ed.). Boca Ratón: Chapman y Hall/CRC. ISBN 9781584883012.
3. Matschke, Benjamín. "Métodos de topología equivariante en geometría discreta" (PDF) .