Toro

En geometría , un toro ( pl.: toros o toros ) es una superficie de revolución generada al hacer girar un círculo en un espacio tridimensional una revolución completa alrededor de un eje que es coplanar con el círculo. Los principales tipos de toros incluyen toros de anillo, toros de cuerno y toros de huso. A un toro anular a veces se le denomina coloquialmente donut o donut .

Si el eje de revolución no toca el círculo, la superficie tiene forma de anillo y se llama toro de revolución , también conocido como toro de anillo . Si el eje de revolución es tangente al círculo, la superficie es un toroide de cuerno . Si el eje de revolución pasa dos veces por el círculo, la superficie es un toro de huso (o un toro que se cruza solo o un toro que se cruza solo ). Si el eje de revolución pasa por el centro del círculo, la superficie es un toro degenerado, una esfera de doble cubierta . Si la curva girada no es un círculo, la superficie se llama toroide , como en un toroide cuadrado.

Los objetos del mundo real que se aproximan a un toro de revolución incluyen anillos de natación , cámaras de aire y anillos ringette .

Un toroide no debe confundirse con un toro sólido , que se forma al girar un disco , en lugar de un círculo, alrededor de un eje. Un toro sólido es un toro más el volumen dentro del toro. Los objetos del mundo real que se aproximan a un toro sólido incluyen juntas tóricas , aros salvavidas no inflables , donuts con aros y bagels .

En topología , un toro de anillo es homeomorfo al producto cartesiano de dos círculos :, y este último se considera la definición en ese contexto. Es una variedad compacta de género 1. El toro anular es una forma de incrustar este espacio en el espacio euclidiano , pero otra forma de hacerlo es el producto cartesiano de la incrustación de en el plano consigo mismo. Esto produce un objeto geométrico llamado toro de Clifford , una superficie en 4 espacios . $S^{1}\times S^{1}$ $S^{1}$

En el campo de la topología , un toro es cualquier espacio topológico que sea homeomorfo a un toro. ^[1] La superficie de una taza de café y un donut son toros topológicos de género uno.

Se puede construir un ejemplo de toroide tomando una tira rectangular de material flexible, como caucho, y uniendo el borde superior con el borde inferior, y el borde izquierdo con el borde derecho, sin medias vueltas (compárese con la botella de Klein ).

Etimología

Toro es una palabra latina que significa "una protuberancia redonda, hinchada, elevada".

Geometría

Mitades inferiores y
secciones transversales verticales.

Un toro se puede parametrizar como: ^[2]

{\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r \cos \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \\\end{alineado}}

utilizando coordenadas angulares que representan la rotación alrededor del tubo y la rotación alrededor del eje de revolución del toro, respectivamente, donde el radio mayor es la distancia desde el centro del tubo al centro del toro y el radio menor es el radio del tubo. ^[3] $\theta,\varphi \en [0,2\pi),$ $R$ $r$

La relación se llama relación de aspecto del toroide. El dulce típico de rosquilla tiene una relación de aspecto de aproximadamente 3 a 2. $R/r$

Una ecuación implícita en coordenadas cartesianas para un toro radialmente simétrico con respecto al eje - es $z$

{\textstyle {\bigl (}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R{\bigr )}^{2}}+z^{2}=r^{ 2}.

Al eliminar algebraicamente la raíz cuadrada se obtiene una ecuación de cuarto grado ,

\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left (x^{2}+y^{2}\derecha).

Las tres clases de tori estándar corresponden a las tres posibles relaciones de aspecto entre $R$ y $r$ :

Cuando $R > r$ , la superficie será el familiar toroide o anillo de anclaje.
$R = r$ corresponde al toroide del cuerno, que en efecto es un toroide sin "agujero".
$R < r$ describe el toroide del husillo que se interseca a sí mismo; su cáscara interior es un limón y su cáscara exterior es una manzana
Cuando $R = 0$ , el toroide degenera a la esfera.

Cuando $R \geq r$ , el interior

{\textstyle {\bigl (}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R{\bigr )}^{2}}+z^{2}<r^{ 2}

difeomorfo producto disco abierto euclidiano volumen área de superficie el teorema del centroide de Pappus^[4]

{\begin{aligned}A&=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr,\\[5mu]V&=\left (\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)=2\pi ^{2}Rr^{2}.\end{aligned}}

Estas fórmulas son las mismas que para un cilindro de longitud $2π R$ y radio $r$ , obtenidas cortando el tubo a lo largo del plano de un círculo pequeño y desenrollándolo enderezando (rectificando) la línea que recorre el centro del tubo. Las pérdidas de superficie y volumen en el lado interior del tubo anulan exactamente las ganancias en el lado exterior.

Expresar el área de la superficie y el volumen por la distancia $p$ de un punto más externo de la superficie del toro al centro, y la distancia $q$ de un punto más interno al centro (de modo que $R =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}p + q/2$ yr $=$ $_pag - q / 2$ ), rendimientos

{\begin{aligned}A&=4\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {p-q}{2}}\right)=\pi ^{2}(p+q)(p-q),\\[5mu]V&=2\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {p-q}{2}}\right)^{2}={\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}(p+q)(p-q)^{2}.\end{aligned}}

Como un toro es el producto de dos círculos, a veces se utiliza una versión modificada del sistema de coordenadas esféricas . En las coordenadas esféricas tradicionales hay tres medidas, $R$ , la distancia desde el centro del sistema de coordenadas, y $θ$ y $φ$ , ángulos medidos desde el punto central.

Como un toro tiene, efectivamente, dos puntos centrales, los puntos centrales de los ángulos se mueven; $φ$ mide el mismo ángulo que en el sistema esférico, pero se conoce como dirección "toroidal". El punto central de $θ$ se mueve al centro de $r$ y se conoce como dirección "poloidal". Estos términos se utilizaron por primera vez en una discusión sobre el campo magnético de la Tierra, donde se utilizó "poloidal" para denotar "la dirección hacia los polos". ^[5]

En el uso moderno, toroidal y poloidal se utilizan más comúnmente para hablar de dispositivos de fusión por confinamiento magnético .

Topología

Topológicamente , un toro es una superficie cerrada definida como el producto de dos círculos : S ¹ × S ¹ . Se puede considerar que se encuentra en C 2 y es un subconjunto de las 3 esferas S ³ de radio √2. Este toro topológico también suele denominarse toro de Clifford . De hecho, S ³ se completa con una familia de toros anidados de esta manera (con dos círculos degenerados), un hecho que es importante en el estudio de S ³ como un haz de fibras sobre S ² (el haz de Hopf ).

La superficie descrita anteriormente, dada la topología relativa de , es homeomorfa a un toro topológico siempre que no cruce su propio eje. Un homeomorfismo particular se obtiene al proyectar estereográficamente el toro topológico desde el polo norte de S ³ . $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$

El toro también se puede describir como un cociente del plano cartesiano bajo las identificaciones

(x,y)\sim (x+1,y)\sim (x,y+1),\,

o, de manera equivalente, como el cociente del cuadrado unitario pegando los bordes opuestos, descrito como un polígono fundamental ABA ⁻¹B ⁻¹ .

Dar la vuelta a un toroide perforado

El grupo fundamental del toro es simplemente el producto directo del grupo fundamental del círculo consigo mismo:

\pi _{1}(\mathbb {T} ^{2})=\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\times \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .

Intuitivamente hablando, esto significa que un camino cerrado que rodea el "agujero" del toroide (por ejemplo, un círculo que traza una latitud particular) y luego rodea el "cuerpo" del toroide (por ejemplo, un círculo que traza una longitud particular) se puede deformar a un camino que rodea el cuerpo y luego el agujero. Por lo tanto, los caminos estrictamente "latitudinales" y estrictamente "longitudinales" conmutan. Se puede imaginar una afirmación equivalente como dos cordones de zapatos que se cruzan, luego se desenrollan y luego se rebobinan.

Si se perfora un toroide y se le da la vuelta, se produce otro toroide, con líneas de latitud y longitud intercambiadas. Esto equivale a construir un toroide a partir de un cilindro, uniendo los extremos circulares, de dos maneras: alrededor del exterior, como unir dos extremos de una manguera de jardín, o por dentro, como enrollar un calcetín (con la punta cortada). Además, si el cilindro se hizo pegando dos lados opuestos de un rectángulo, elegir los otros dos lados provocará la misma inversión de orientación.

El primer grupo de homología del toro es isomorfo al grupo fundamental (esto se desprende del teorema de Hurewicz ya que el grupo fundamental es abeliano ).

Cubierta de dos hojas

El 2 toro cubre doblemente la 2 esfera, con cuatro puntos de ramificación . Cada estructura conforme en el 2-toro se puede representar como una cubierta de dos láminas de la 2-esfera. Los puntos del toroide correspondientes a los puntos de ramificación son los puntos de Weierstrass . De hecho, el tipo conforme del toro está determinado por la relación cruzada de los cuatro puntos.

toro n -dimensional

Una proyección estereográfica de un toro de Clifford en cuatro dimensiones realizando una rotación simple a través del plano xz

El toroide tiene una generalización a dimensiones superiores, elToro n-dimensional , a menudo llamado n -toroohipertoropara abreviar. (Este es el significado más típico del término "n-toro", el otro se refiere anagujeros o de géneron.^[6]) Recordando que el toro es el espacio producto de dos círculos, eltoronproducto dencírculos. Eso es:

\mathbb {T} ^{n}=\underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}} _{n}.

El 1-toro estándar es solo el círculo: . El toroide analizado anteriormente es el toroide estándar de 2 . Y similar al toro 2, el toro n puede describirse como un cociente de cambios integrales en cualquier coordenada. Es decir, el n -toro es módulo de la acción de la red de números enteros (tomando la acción como una suma de vectores). De manera equivalente, el n -toro se obtiene del hipercubo n -dimensional pegando las caras opuestas. $\mathbb {T} ^{1}=\mathbb {S} ^{1}$ $\mathbb {T} ^{2}$ $\mathbb {T} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {Z} ^{n}$

Un n -toro en este sentido es un ejemplo de una variedad compacta de n dimensiones . También es un ejemplo de grupo de Lie abeliano compacto . Esto se desprende del hecho de que el círculo unitario es un grupo de Lie abeliano compacto (cuando se identifica con los números complejos unitarios mediante multiplicación). La multiplicación de grupos en el toro se define mediante la multiplicación por coordenadas.

Los grupos toroidales juegan un papel importante en la teoría de los grupos compactos de Lie . Esto se debe en parte al hecho de que en cualquier grupo G de Lie compacto siempre se puede encontrar un toro máximo ; es decir, un subgrupo cerrado que es un toro de la mayor dimensión posible. Tales tori máximos T tienen un papel de control que desempeñar en la teoría de G conexo . Los grupos toroidales son ejemplos de protori , que (como los tori) son grupos abelianos conectados compactos, que no necesitan ser múltiples .

Los automorfismos de T se construyen fácilmente a partir de automorfismos de la red , que se clasifican mediante matrices integrales invertibles de tamaño n con una inversa integral; estas son solo las matrices integrales con determinante ±1. Haciéndolos actuar de la forma habitual, se tiene el típico automorfismo toral en el cociente. $\mathbb {Z} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

El grupo fundamental de un n -toro es un grupo abeliano libre de rango n . El k -ésimo grupo de homología de un n -toro es un grupo abeliano libre de rango n elige k . De ello se deduce que la característica de Euler del n -toro es 0 para todo n . El anillo de cohomología H • ( , Z ) se puede identificar con el álgebra exterior sobre el módulo Z ^cuyos generadores son los duales de los n ciclos no triviales . $\mathbb {T} ^{n}$ $\mathbb {Z} ^{n}$

Espacio de configuración

El espacio de configuración de 2 puntos no necesariamente distintos en el círculo es el cociente orbital del 2-toro, T ² / S ₂ , que es la cinta de Möbius .

Como el n -toro es el producto n -veces del círculo, el n -toro es el espacio de configuración de n puntos ordenados, no necesariamente distintos, en el círculo. Simbólicamente, . El espacio de configuración de puntos desordenados , no necesariamente distintos, es, en consecuencia, el orbifold , que es el cociente del toro por el grupo simétrico de n letras (permutando las coordenadas). $\mathbb {T} ^{n}=(\mathbb {S} ^{1})^{n}$ $\mathbb {T} ^{n}/\mathbb {S} _{n}$

Para n = 2, el cociente es la cinta de Möbius , la arista correspondiente a los puntos orbifold donde coinciden las dos coordenadas. Para n = 3, este cociente puede describirse como un toro sólido con sección transversal de un triángulo equilátero , con una torsión ; de manera equivalente, como un prisma triangular cuyas caras superior e inferior están conectadas con un giro de 1/3 (120°): el interior tridimensional corresponde a los puntos del 3 toro donde las 3 coordenadas son distintas, la cara bidimensional Corresponde a puntos con 2 coordenadas iguales y la tercera diferente, mientras que la arista unidimensional corresponde a puntos con las 3 coordenadas idénticas.

Estos orbifolds han encontrado aplicaciones significativas en la teoría musical en el trabajo de Dmitri Tymoczko y sus colaboradores (Felipe Posada, Michael Kolinas, et al.), utilizándose para modelar tríadas musicales . ^[7]^[8]

toro plano

Visto en proyección estereográfica , un toroide plano 4D se puede proyectar en 3 dimensiones y girar sobre un eje fijo.

Un toro plano es un toro con la métrica heredada de su representación como el cociente , / L , donde L es un subgrupo discreto de isomorfo to . Esto le da al cociente la estructura de una variedad de Riemann . Quizás el ejemplo más simple de esto es cuando L = : , que también puede describirse como el plano cartesiano bajo las identificaciones ( x , y ) ~ ( x + 1, y ) ~ ( x , y + 1) . Este toro plano en particular (y cualquier versión del mismo con escala uniforme) se conoce como toro plano "cuadrado". $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {Z} ^{2}$ $\mathbb {Z} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$

Esta métrica del toro cuadrado plano también se puede realizar mediante incrustaciones específicas del familiar 2 toros en 4 espacios euclidianos o dimensiones superiores. Su superficie tiene curvatura gaussiana cero en todas partes. Su superficie es plana en el mismo sentido que la superficie de un cilindro es plana. En 3 dimensiones, se puede doblar una hoja plana de papel hasta formar un cilindro sin estirar el papel, pero este cilindro no se puede doblar hasta formar un toro sin estirar el papel (a menos que se abandonen algunas condiciones de regularidad y diferenciabilidad, ver más abajo).

Una incrustación euclidiana simple de 4 dimensiones de un toro plano rectangular (más general que el cuadrado) es la siguiente:

(x,y,z,w)=(R\cos u,R\sin u,P\cos v,P\sin v)

donde R y P son constantes positivas que determinan la relación de aspecto. Es difeomorfo a un toro regular pero no isométrico . No se puede incrustar analíticamente ( suave de clase C ^k , 2 ≤ k ≤ ∞ ) en el espacio tridimensional euclidiano. Mapearlo en 3 espacios requiere que uno lo estire, en cuyo caso parece un toroide normal. Por ejemplo, en el siguiente mapa:

(x,y,z)=((R+P\sin v)\cos u,(R+P\sin v)\sin u,P\cos v).

Si R y P en la parametrización del toro plano anterior forman un vector unitario ( R , P ) = (cos( η ), sin( η )) entonces u , v y 0 < η < $π$ /2 parametrizan la unidad de 3 esferas como coordenadas de Hopf . En particular, para ciertas elecciones muy específicas de un toro plano cuadrado en las 3 esferas S ³ , donde η = $π$ /4 arriba, el toro dividirá las 3 esferas en dos subconjuntos de toros sólidos congruentes con la superficie del toro plano antes mencionada como su frontera común . Un ejemplo es el toro T definido por

T=\left\{(x,y,z,w)\in \mathbb {S} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}={\frac {1}{2}},\ z^{2}+w^{2}={\frac {1}{2}}\right\}.

Otros toros en S ³ que tienen esta propiedad de partición incluyen los toros cuadrados de la forma Q ⋅ T , donde Q es una rotación del espacio de 4 dimensiones o, en otras palabras, Q es un miembro del grupo de Lie SO(4). $\mathbb {R} ^{4}$

Se sabe que no existe ninguna incrustación C ² (dos veces continuamente diferenciable) de un toro plano en 3 espacios. (La idea de la prueba es tomar una esfera grande que contenga un toro plano en su interior y reducir el radio de la esfera hasta que toque el toro por primera vez. Tal punto de contacto debe ser una tangencia. Pero eso implicaría que parte del toro, dado que tiene curvatura cero en todas partes, debe estar estrictamente fuera de la esfera, lo cual es una contradicción). Por otro lado, según el teorema de Nash-Kuiper , que fue probado en la década de 1950, un Existe incrustación isométrica C ¹ . Esto es únicamente una prueba de existencia y no proporciona ecuaciones explícitas para dicha incorporación.

En abril de 2012, se encontró una incrustación explícita C ¹ (continuamente diferenciable) de un toro plano en un espacio euclidiano tridimensional . ^[9]^[10]^[11]^[12] Es un toroide plano en el sentido de que, como espacios métricos, es isométrico a un toroide cuadrado plano. Tiene una estructura similar a un fractal , ya que se construye corrugando repetidamente un toro ordinario. Al igual que los fractales, no tiene una curvatura gaussiana definida. Sin embargo, a diferencia de los fractales, tiene normales de superficie definidas , lo que produce el llamado "fractal suave". La clave para obtener la suavidad de este toro corrugado es hacer que las amplitudes de las corrugaciones sucesivas disminuyan más rápido que sus "longitudes de onda". ^[13] (Estas corrugaciones infinitamente recursivas se utilizan sólo para incrustaciones en tres dimensiones; no son una característica intrínseca del toro plano). Esta es la primera vez que dicha incrustación se define mediante ecuaciones explícitas o se representa mediante gráficos por computadora. $\mathbb {R} ^{3}$

Clasificación conforme de tori planos.

En el estudio de las superficies de Riemann , se dice que dos superficies geométricas compactas y lisas son "conformemente equivalentes" cuando existe un homeomorfismo suave entre ellas que preserva tanto el ángulo como la orientación. El teorema de uniformización garantiza que cada superficie de Riemann es conformemente equivalente a una que tiene curvatura gaussiana constante. En el caso de un toro, la curvatura constante debe ser cero. Luego se define el "espacio de módulos" del toro para que contenga un punto para cada clase de equivalencia conforme, con la topología adecuada. Resulta que este espacio de módulos M puede identificarse con una esfera perforada que es lisa excepto por dos puntos que tienen un ángulo menor que 2π (radianes) a su alrededor: uno tiene π y el otro tiene 2π/3.

M puede convertirse en un espacio compacto M* agregando un punto adicional que represente el caso límite cuando un toro rectangular se acerca a una relación de aspecto de 0 en el límite. El resultado es que este espacio de módulos compactado es una esfera con tres puntos, cada uno de los cuales tiene un ángulo inferior a 2π alrededor de ellos. (Dichos puntos se denominan "cúspides"). Este punto adicional tendrá un ángulo cero a su alrededor. Debido a la simetría, M* se puede construir pegando dos triángulos geodésicos congruentes en el plano hiperbólico a lo largo de sus límites (idénticos), donde cada triángulo tiene ángulos de π/2, π/3 y 0. Como resultado, el área de cada triángulo se puede calcular como π - (π/2 + π/3 + 0) = π/6, por lo que se deduce que el espacio de módulos compactados M* tiene un área igual a π/3.

Las otras dos cúspides ocurren en los puntos correspondientes en M* a a) el toro cuadrado (π) y b) el toro hexagonal (2π/3). Estas son las únicas clases de equivalencia conforme de toros planos que tienen automorfismos conformes distintos de los generados por traducciones y negación.

Superficie género g

En la teoría de superficies existe una familia de objetos más general, el " género " g de superficies. Una superficie de género g es la suma conexa de g dos tori. (Y entonces el toro en sí es la superficie del género 1.) Para formar una suma conectada de dos superficies, retire de cada una el interior de un disco y "pegue" las superficies a lo largo de los círculos límite. (Es decir, fusiona los dos círculos límite para que se conviertan en un solo círculo). Para formar la suma conectada de más de dos superficies, toma sucesivamente la suma conectada de dos de ellas a la vez hasta que todas estén conectadas. En este sentido, una superficie de género g se asemeja a la superficie de g donuts pegados uno al lado del otro, o una esfera de 2 con asas g adjuntas.

Como ejemplo, una superficie de género cero (sin límite) es la de dos esferas , mientras que una superficie de género uno (sin límite) es el toro ordinario. Las superficies de género superior a veces se denominan toros con n agujeros (o, raramente, toros con n pliegues). Ocasionalmente también se utilizan los términos doble toro y triple toro .

El teorema de clasificación de superficies establece que cada superficie compacta conectada es topológicamente equivalente a la esfera o a la suma conectada de algún número de toros, discos y planos proyectivos reales .

Poliedros toroidales

Los poliedros con el tipo topológico de un toro se llaman poliedros toroidales y tienen la característica de Euler V − E + F = 0. Para cualquier número de agujeros, la fórmula se generaliza a V − E + F = 2 − 2 N , donde N es el número de agujeros.

El término "poliedro toroidal" también se utiliza para poliedros de género superior y para inmersiones de poliedros toroidales.

Automorfismos

El grupo de homeomorfismos (o el subgrupo de difeomorfismos) del toro se estudia en topología geométrica . Su grupo de clases de mapeo (los componentes conectados del grupo de homeomorfismo) es sobreyectivo sobre el grupo de matrices enteras invertibles, que se pueden realizar como mapas lineales en el espacio de cobertura universal que preservan la red estándar (esto corresponde a coeficientes enteros) y, por lo tanto, descienden. al cociente. $\operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {Z} ^{n}$

En el nivel de homotopía y homología , el grupo de clases de mapeo se puede identificar como la acción sobre la primera homología (o equivalentemente, la primera cohomología, o sobre el grupo fundamental , ya que todos ellos son naturalmente isomórficos; además, el primer grupo de cohomología genera la cohomología álgebra:

\operatorname {MCG} _{\operatorname {Ho} }(\mathbb {T} ^{n})=\operatorname {Aut} (\pi _{1}(X))=\operatorname {Aut} (\mathbb {Z} ^{n})=\operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} ).

Dado que el toro es un espacio de Eilenberg-MacLane K ( GRAMO , 1), sus equivalencias de homotopía, hasta la homotopía, pueden identificarse con automorfismos del grupo fundamental); Todas las equivalencias de homotopía del toro pueden realizarse mediante homeomorfismos; cada equivalencia de homotopía es homotópica a un homeomorfismo.

Por lo tanto, la secuencia corta y exacta del grupo de clases de mapeo se divide (una identificación del toro como el cociente de da una división, a través de los mapas lineales, como arriba): $\mathbb {R} ^{n}$

1\to \operatorname {Homeo} _{0}(\mathbb {T} ^{n})\to \operatorname {Homeo} (\mathbb {T} ^{n})\to \operatorname {MCG} _{\operatorname {TOP} }(\mathbb {T} ^{n})\to 1.

El grupo de clases de mapeo de superficies de géneros superiores es mucho más complicado y un área de investigación activa.

colorear un toroide

El número de Heawood del toroide es siete, lo que significa que cada gráfico que se puede incrustar en el toroide tiene un número cromático de como máximo siete. (Dado que el gráfico completo se puede incrustar en el toro, y , el límite superior es ajustado). De manera equivalente, en un toro dividido en regiones, siempre es posible colorear las regiones usando no más de siete colores para que no queden regiones vecinas. el mismo color. (Compárese con el teorema de los cuatro colores para el avión ). ${\mathsf {K_{7}}}$ $\chi ({\mathsf {K_{7}}})=7$

toro de Bruijn

Modelo STL del toro de De Bruijn (16,32;3,3) ₂ con 1 como paneles y 0 como agujeros en la malla; con una orientación consistente, cada matriz de 3 × 3 aparece exactamente una vez

En matemáticas combinatorias , un toro de De Bruijn es una matriz de símbolos de un alfabeto (a menudo solo 0 y 1) que contiene cada matriz m por n exactamente una vez. Es un toro porque los bordes se consideran envolventes a los efectos de encontrar matrices. Su nombre proviene de la secuencia de De Bruijn , que puede considerarse un caso especial donde n es 1 (una dimensión).

Cortando un toro

Un toro de revolución sólido puede cortarse mediante n (> 0) planos como máximo

{\begin{pmatrix}n+2\\n-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}}={\tfrac {1}{6}}(n^{3}+3n^{2}+8n)

partes. ^[14] (Esto supone que las piezas no se pueden reorganizar, pero deben permanecer en su lugar para todos los cortes).

Los primeros 11 números de partes, para 0 ≤ n ≤ 10 (incluido el caso de n = 0, no cubierto por las fórmulas anteriores), son los siguientes:

1, 2, 6, 13, 24, 40, 62, 91, 128, 174, 230,... (secuencia A003600 en el OEIS ).

Conjetura de Poincaré

Ver más detalles en el artículo Conjetura de Poincaré y Grigori Perelman .

La conjetura de Poincaré , propuesta por Henri Poincaré en 1904, es un teorema importante en el campo de la topología , particularmente en lo que respecta al estudio de variedades tridimensionales . Postula que cualquier variedad tridimensional cerrada y simplemente conectada es topológicamente equivalente a una esfera tridimensional . Esto implica que si dicha forma carece de agujeros, se puede transformar suavemente en una esfera mediante deformación , sin necesidad de cortarla ni pegarla.

Por el contrario, un toroide , que tiene forma de donut , no satisface la conjetura de Poincaré . La razón clave es su falta de conectividad simple. Un espacio está simplemente conectado si cualquier bucle dentro de él puede contraerse continuamente hasta un punto sin salir del espacio. En el caso de un toroide , existen bucles que rodean el agujero central, que no pueden reducirse a un punto mientras permanecen en la superficie del toroide. Por lo tanto, a diferencia de las variedades descritas por la conjetura de Poincaré , un toro no puede transformarse en una esfera mediante una simple deformación , distinguiéndolo de los tipos de formas que aborda la conjetura.

Ver también

Notas

Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal , ISBN 978-970-10-6596-9 , Autor: Kozak Ana Maria, Pompeya Pastorelli Sonia, Verdanega Pedro Emilio, Editorial: McGraw-Hill, Edición 2007, 744 páginas, idioma: español
Allen Hatcher. Topología algebraica. Prensa de la Universidad de Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0 .
VV Nikulin, IR Shafarevich. Geometrías y Grupos . Springer, 1987. ISBN 3-540-15281-4 , ISBN 978-3-540-15281-1 .
"Tore (noción géométrique)" en la Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Referencias

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^ Weisstein, Eric W. "Corte de toroide". MundoMatemático .

enlaces externos

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Toro (categoría)

Creación de un toroide al cortar el nudo.
"Toro 4D" Secciones aéreas de un toro de cuatro dimensiones
"Mapa de perspectiva relacional" Visualización de datos de alta dimensión con toroide plano
Polydoes, polígonos en forma de donut
Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: Séquin, Carlo H (27 de enero de 2014). "Topología de un toro torcido - Numéfilo" (vídeo) . Brady Harán .
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