Teorema de la bola peluda

Teorema en topología diferencial

Un intento fallido de peinar un mechón peludo de 3 bolas (2 esferas), dejando un mechón en cada polo

Por otro lado, un donut peludo (de 2 toros) se peina con bastante facilidad.

Un campo vectorial tangente continuo en una 2-esfera con un solo polo, en este caso un campo dipolar con índice 2. Véase también una versión animada de este gráfico .

Un remolino de cabello

El teorema de la bola peluda de la topología algebraica (a veces llamado teorema del erizo en Europa) ^[1] establece que no existe ningún campo vectorial tangente continuo no nulo en n- esferas de dimensión par . ^{[2] [3]} Para la esfera ordinaria, o 2-esfera, si f es una función continua que asigna un vector en R ³ a cada punto p en una esfera tal que f ( p ) siempre es tangente a la esfera en p , entonces hay al menos un polo, un punto donde el campo se desvanece (un p tal que f ( p ) = ).

El teorema fue demostrado por primera vez por Henri Poincaré para la 2-esfera en 1885, ^[4] y extendido a dimensiones pares superiores en 1912 por Luitzen Egbertus Jan Brouwer . ^[5]

El teorema se ha expresado coloquialmente como "no se puede peinar una bola de pelo sin crear un remolino de pelo " o "no se puede peinar el pelo de un coco". ^[6]

Contando ceros

Cada cero de un campo vectorial tiene un " índice " (distinto de cero) , y se puede demostrar que la suma de todos los índices en todos los ceros debe ser dos, porque la característica de Euler de la 2-esfera es dos. Por lo tanto, debe haber al menos un cero. Esto es una consecuencia del teorema de Poincaré-Hopf . En el caso del toro , la característica de Euler es 0; y es posible "peinar una rosquilla peluda hasta dejarla plana". A este respecto, se deduce que para cualquier variedad regular compacta de 2 dimensiones con característica de Euler distinta de cero, cualquier campo vectorial tangente continuo tiene al menos un cero.

Aplicación a gráficos por ordenador

Un problema común en los gráficos por computadora es generar un vector distinto de cero en R ³ que sea ortogonal a un vector distinto de cero dado. No existe una única función continua que pueda hacer esto para todas las entradas de vector distintas de cero. Este es un corolario del teorema de la bola peluda. Para ver esto, considere el vector dado como el radio de una esfera y observe que encontrar un vector distinto de cero ortogonal al dado es equivalente a encontrar un vector distinto de cero que sea tangente a la superficie de esa esfera donde toca el radio. Sin embargo, el teorema de la bola peluda dice que no existe una función continua que pueda hacer esto para cada punto de la esfera (equivalentemente, para cada vector dado).

Conexión Lefschetz

Existe un argumento estrechamente relacionado de la topología algebraica , que utiliza el teorema de punto fijo de Lefschetz . Dado que los números de Betti de una 2-esfera son 1, 0, 1, 0, 0, ... el número de Lefschetz (traza total en homología ) de la aplicación de identidad es 2. Al integrar un campo vectorial obtenemos (al menos una pequeña parte de) un grupo de un parámetro de difeomorfismos en la esfera; y todas las aplicaciones en él son homotópicas a la identidad. Por lo tanto, todos tienen también el número de Lefschetz 2. Por lo tanto, tienen puntos fijos (ya que el número de Lefschetz no es cero). Se necesitaría algo más de trabajo para demostrar que esto implica que en realidad debe haber un cero del campo vectorial. Sugiere la declaración correcta del teorema del índice de Poincaré-Hopf más general .

Corolario

Una consecuencia del teorema de la bola peluda es que cualquier función continua que mapea una esfera de dimensión par en sí misma tiene un punto fijo o un punto que mapea en su propio punto antípoda . Esto se puede ver transformando la función en un campo vectorial tangencial de la siguiente manera.

Sea s la función que mapea la esfera sobre sí misma, y ​​sea v la función vectorial tangencial que se va a construir. Para cada punto p , construya la proyección estereográfica de s ( p ) con p como punto de tangencia. Entonces v ( p ) es el vector de desplazamiento de este punto proyectado con respecto a p . De acuerdo con el teorema de la bola peluda, existe una p tal que v ( p ) = 0 , de modo que s ( p ) = p .

Este argumento sólo se rompe si existe un punto p para el cual s ( p ) es el punto antípoda de p , ya que dicho punto es el único que no puede proyectarse estereográficamente sobre el plano tangente de p .

Un corolario adicional es que cualquier espacio proyectivo de dimensión par tiene la propiedad de punto fijo . Esto se deduce del resultado anterior al elevar funciones continuas de en sí mismas a funciones de en sí mismas. ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2n}}$ ${\displaystyle S^{2n}}$

Dimensiones superiores

La conexión con la característica de Euler χ sugiere la generalización correcta: la 2 n -esfera no tiene un campo vectorial no nulo para n ≥ 1 . La diferencia entre las dimensiones pares e impares es que, debido a que los únicos números de Betti distintos de cero de la m -esfera son b ₀ y b _m , su suma alternada χ es 2 para m par y 0 para m impar.

De hecho, es fácil ver que una esfera de dimensión impar admite un campo vectorial tangente no nulo mediante un proceso simple de considerar las coordenadas del espacio euclidiano de dimensión par del entorno en pares. Es decir, se puede definir un campo vectorial tangente especificando un campo vectorial dado por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle S^{2n-1}}$ ${\displaystyle v:\mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle v(x_{1},\dots ,x_{2n})=(x_{2},-x_{1},\dots ,x_{2n},-x_{2n-1}).}$

Para que este campo vectorial se restrinja a un campo vectorial tangente a la esfera unitaria, basta con verificar que el producto escalar con un vector unitario de la forma que satisface se anula. Debido al emparejamiento de coordenadas, se ve ${\displaystyle S^{2n-1}\subset \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{2n})}$ ${\displaystyle \|x\|=1}$

${\displaystyle v(x_{1},\dots ,x_{2n})\bullet (x_{1},\dots ,x_{2n})=(x_{2}x_{1}-x_{1}x_{2})+\cdots +(x_{2n}x_{2n-1}-x_{2n-1}x_{2n})=0.}$

Para una esfera de 2 n , el espacio euclidiano ambiental es , que es de dimensión impar, por lo que este simple proceso de emparejamiento de coordenadas no es posible. Si bien esto no excluye la posibilidad de que aún pueda existir un campo vectorial tangente a la esfera de dimensión par que no se anule, el teorema de la bola peluda demuestra que, de hecho, no hay forma de construir un campo vectorial de ese tipo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$

Ejemplificaciones físicas

El teorema de la bola peluda tiene numerosas ejemplificaciones físicas. Por ejemplo, la rotación de una bola rígida alrededor de su eje fijo da lugar a un campo vectorial tangencial continuo de velocidades de los puntos ubicados en su superficie. Este campo tiene dos puntos de velocidad cero, que desaparecen después de perforar la bola completamente a través de su centro, convirtiendo así la bola en el equivalente topológico de un toro, un cuerpo al que no se aplica el teorema de la "bola peluda". ^[7] El teorema de la bola peluda puede aplicarse con éxito para el análisis de la propagación de ondas electromagnéticas , en el caso en que el frente de onda forme una superficie, topológicamente equivalente a una esfera (la superficie que posee la característica de Euler χ = 2). Al menos un punto en la superficie en el que los vectores de los campos eléctrico y magnético sean iguales a cero aparecerá necesariamente. ^[8] En ciertas 2-esferas del espacio de parámetros para ondas electromagnéticas en plasmas (u otros medios complejos), también aparecen este tipo de "remolinos" o "puntos calvos", lo que indica que existe excitación topológica, es decir, ondas robustas que son inmunes a la dispersión y las reflexiones, en los sistemas. ^[9] Si uno idealiza el viento en la atmósfera de la Tierra como un campo de vector tangente, entonces el teorema de la bola peluda implica que dado cualquier viento en la superficie de la Tierra, debe haber en todo momento un ciclón en alguna parte. Sin embargo, tenga en cuenta que el viento puede moverse verticalmente en la atmósfera, por lo que el caso idealizado no es meteorológicamente sólido. (Lo que es cierto es que para cada "capa" de atmósfera alrededor de la Tierra, debe haber un punto en la capa donde el viento no se mueva horizontalmente). El teorema también tiene implicaciones en el modelado por computadora (incluido el diseño de videojuegos ), en el que un problema común es calcular un vector 3-D distinto de cero que sea ortogonal (es decir, perpendicular) a uno dado; El teorema de la bola peluda implica que no existe una única función continua que realice esta tarea. ^[10]

Véase también

• Teorema del punto fijo
• Teorema del valor intermedio
• Campos vectoriales sobre esferas

Notas

1. Renteln, Paul (2013). Variedades, tensores y formas: una introducción para matemáticos y físicos. Cambridge Univ. Press. p. 253. ISBN 978-1107659698.
2. Burns, Keith; Gidea, Marian (2005). Geometría diferencial y topología: con vistas a los sistemas dinámicos. CRC Press. pág. 77. ISBN 1584882530.
3. Schwartz, Richard Evan (2011). Mostly Surfaces. Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 113-114. ISBN 978-0821853689.
4. Poincaré, H. (1885), "Sur les courbes définies par les équations différentielles", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 4 : 167–244
5. Georg-August-Universität Göttingen Archivado el 26 de mayo de 2006 en la Wayback Machine - LEJ Brouwer. Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten / Mathematische Annalen (1912) Volumen: 71, páginas 97-115; ISSN: 0025-5831; 1432-1807/e, texto completo
6. Richeson, David S. (23 de julio de 2019). La joya de Euler: la fórmula del poliedro y el nacimiento de la topología (New Princeton Science Library ed.). Princeton. p. 5. ISBN 978-0691191997.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
7. Bormashenko, Edward; Kazachkov, Alexander (junio de 2017). "Cuerpos rígidos giratorios y rodantes y el teorema de la "bola peluda"". American Journal of Physics . 85 (6): 447–453. Bibcode :2017AmJPh..85..447B. doi :10.1119/1.4979343. ISSN  0002-9505.
8. Bormashenko, Edward (23 de mayo de 2016). "Obstrucciones impuestas por el teorema de Poincaré–Brouwer ("bola peluda") en la propagación de ondas electromagnéticas". Revista de ondas electromagnéticas y aplicaciones . 30 (8): 1049–1053. Bibcode :2016JEWA...30.1049B. doi :10.1080/09205071.2016.1169226. ISSN  0920-5071. S2CID  124221302.
9. Qin, Hong; Fu, Yichen (31 de marzo de 2023). "Onda de ciclotrón de Langmuir topológica". Science Advances . 9 (13): eadd8041. doi :10.1126/sciadv.add8041. ISSN  2375-2548. PMC 10065437 . PMID  37000869. 
10. Kohulák, Rudolf (2016-09-02). «Bolas peludas, ciclones y gráficos por ordenador». Chalkdust . Consultado el 14 de agosto de 2023 .

Referencias

• Eisenberg, Murray; Guy, Robert (1979), "Una prueba del teorema de la bola peluda", The American Mathematical Monthly , 86 (7): 571–574, doi :10.2307/2320587, JSTOR  2320587

Lectura adicional

• Jarvis, Tyler; Tanton, James (2004), "El teorema de la bola peluda a través del lema de Sperner", American Mathematical Monthly , 111 (7): 599–603, doi :10.1080/00029890.2004.11920120, JSTOR  4145162, S2CID  29784803
• Richeson, David S. (2008), "Peinando el pelo de un coco", La joya de Euler: la fórmula del poliedro y el nacimiento de la topología , Princeton University Press, págs. 202-218, ISBN 978-0-691-12677-7

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de la bola peluda". MathWorld .