En matemáticas , y más específicamente en topología algebraica y combinatoria poliédrica , la característica de Euler (o número de Euler , o característica de Euler-Poincaré ) es una invariante topológica , un número que describe la forma o estructura de un espacio topológico independientemente de la forma en que esté. doblado. Comúnmente se denota por ( letra griega minúscula chi ).
La característica de Euler se definió originalmente para los poliedros y se utilizó para demostrar varios teoremas sobre ellos, incluida la clasificación de los sólidos platónicos . Fue afirmado para los sólidos platónicos en 1537 en un manuscrito inédito de Francesco Maurolico . [1] Leonhard Euler , que da nombre al concepto, lo introdujo para los poliedros convexos de manera más general, pero no logró demostrar rigurosamente que sea un invariante. En las matemáticas modernas, la característica de Euler surge de la homología y, de manera más abstracta, del álgebra homológica .
La característica de Euler χ se definió clásicamente para las superficies de poliedros, según la fórmula
donde V , E y F son , respectivamente, el número de vértices ( esquinas ) , aristas y caras en el poliedro dado. La superficie de cualquier poliedro convexo tiene la característica de Euler.
Esta ecuación, enunciada por Euler en 1758, [2] se conoce como fórmula del poliedro de Euler . [3] Corresponde a la característica de Euler de la esfera (es decir ), y se aplica idénticamente a los poliedros esféricos . A continuación se ofrece una ilustración de la fórmula de todos los poliedros platónicos.
Las superficies de los poliedros no convexos pueden tener varias características de Euler:
Para poliedros regulares, Arthur Cayley derivó una forma modificada de la fórmula de Euler usando la densidad D , la densidad de figuras de vértices y la densidad de caras.
Esta versión es válida tanto para los poliedros convexos (donde las densidades son todas 1) como para los poliedros no convexos de Kepler-Poinsot .
Todos los poliedros proyectivos tienen la característica de Euler 1, como el plano proyectivo real , mientras que todas las superficies de los poliedros toroidales tienen la característica de Euler 0, como el toroide .
La característica de Euler se puede definir para gráficos planos conectados mediante la misma fórmula que para superficies poliédricas, donde F es el número de caras en el gráfico, incluida la cara exterior.
La característica de Euler de cualquier gráfico plano conectado G es 2. Esto se prueba fácilmente por inducción en el número de caras determinado por G , comenzando con un árbol como caso base. Para árboles, y si G tiene componentes C (gráficos desconectados), el mismo argumento por inducción en F muestra que uno de los pocos artículos de teoría de grafos de Cauchy también prueba este resultado.
Mediante proyección estereográfica, el plano se asigna a la 2 esferas, de modo que un gráfico conectado se asigna a una descomposición poligonal de la esfera, que tiene la característica 2 de Euler. Este punto de vista está implícito en la prueba de Cauchy de la fórmula de Euler que se proporciona a continuación.
Hay muchas pruebas de la fórmula de Euler. Cauchy dio uno en 1811, como sigue. Se aplica a cualquier poliedro convexo y, más generalmente, a cualquier poliedro cuyo límite sea topológicamente equivalente a una esfera y cuyas caras sean topológicamente equivalentes a discos.
Retire una cara de la superficie poliédrica. Al separar los bordes de la cara faltante entre sí, deforma todo el resto en una gráfica plana de puntos y curvas, de tal manera que el perímetro de la cara faltante quede colocado externamente, rodeando la gráfica obtenida, como se ilustra en la imagen. primero de los tres gráficos para el caso especial del cubo. (La suposición de que la superficie poliédrica es homeomorfa a la esfera al principio es lo que hace esto posible). Después de esta deformación, las caras regulares generalmente ya no lo son. El número de vértices y aristas sigue siendo el mismo, pero el número de caras se ha reducido en 1. Por lo tanto, demostrar la fórmula de Euler para el poliedro se reduce a demostrar este objeto plano y deformado.
Si hay una cara con más de tres lados, dibuja una diagonal, es decir, una curva a través de la cara que conecta dos vértices que aún no están conectados. Cada nueva diagonal agrega una arista y una cara y no cambia el número de vértices, por lo que no cambia la cantidad (aquí se necesita la suposición de que todas las caras son discos, para demostrar mediante el teorema de la curva de Jordan que esta operación aumenta el número de caras por una.) Continúe agregando aristas de esta manera hasta que todas las caras sean triangulares.
Aplicar repetidamente cualquiera de las dos transformaciones siguientes, manteniendo la invariante de que el límite exterior es siempre un ciclo simple :
Estas transformaciones eventualmente reducen el gráfico plano a un solo triángulo. (Sin la invariante de ciclo simple, eliminar un triángulo podría desconectar los triángulos restantes, invalidando el resto del argumento. Una orden de eliminación válida es un ejemplo elemental de bombardeo ) .
En este punto, el triángulo solitario tiene y de modo que Dado que cada uno de los dos pasos de transformación anteriores conservó esta cantidad, hemos demostrado para el objeto plano deformado y así demostramos para el poliedro. Esto prueba el teorema.
Para pruebas adicionales, consulte Eppstein (2013). [4] Múltiples pruebas, incluidos sus defectos y limitaciones, se utilizan como ejemplos en Pruebas y refutaciones de Lakatos (1976). [5]
Las superficies poliédricas discutidas anteriormente son, en lenguaje moderno, complejos CW finitos bidimensionales . (Cuando solo se utilizan caras triangulares, son complejos simpliciales finitos bidimensionales ). En general, para cualquier complejo CW finito, la característica de Euler se puede definir como la suma alterna
donde k n denota el número de celdas de dimensión n en el complejo.
De manera similar, para un complejo simplicial , la característica de Euler es igual a la suma alterna
donde k n denota el número de n -simplex en el complejo.
De manera más general aún, para cualquier espacio topológico , podemos definir el n -ésimo número de Betti b n como el rango del n -ésimo grupo de homología singular . La característica de Euler se puede definir entonces como la suma alterna
Esta cantidad está bien definida si los números de Betti son todos finitos y si son cero más allá de un cierto índice n 0 . Para complejos simpliciales, esta no es la misma definición que en el párrafo anterior, pero un cálculo de homología muestra que las dos definiciones darán el mismo valor para .
La característica de Euler se comporta bien con respecto a muchas operaciones básicas en espacios topológicos, como sigue.
La homología es una invariante topológica y, además, una invariante de homotopía : dos espacios topológicos que son equivalentes de homotopía tienen grupos de homología isomórficos . De ello se deduce que la característica de Euler es también una invariante de homotopía.
Por ejemplo, cualquier espacio contráctil (es decir, una homotopía equivalente a un punto) tiene homología trivial, lo que significa que el número 0 de Betti es 1 y los demás 0. Por lo tanto, su característica de Euler es 1. Este caso incluye el espacio euclidiano de cualquier dimensión. , así como la bola unitaria sólida en cualquier espacio euclidiano: el intervalo unidimensional, el disco bidimensional, la bola tridimensional, etc.
Para otro ejemplo, cualquier poliedro convexo es homeomorfo a la bola tridimensional , por lo que su superficie es homeomorfa (por lo tanto equivalente de homotopía) a la esfera bidimensional , que tiene la característica 2 de Euler. Esto explica por qué los poliedros convexos tienen la característica 2 de Euler.
Si M y N son dos espacios topológicos cualesquiera, entonces la característica de Euler de su unión disjunta es la suma de sus características de Euler, ya que la homología es aditiva en una unión disjunta:
De manera más general, si M y N son subespacios de un espacio X mayor , entonces también lo son su unión e intersección. En algunos casos, la característica de Euler obedece a una versión del principio de inclusión-exclusión :
Esto es cierto en los siguientes casos:
En general, el principio de inclusión-exclusión es falso. Un contraejemplo se da tomando X como la recta real , M como un subconjunto formado por un punto y N como complemento de M.
Para dos n-colectores cerrados conectados, se puede obtener un nuevo colector conectado mediante la operación de suma conectada . La característica de Euler está relacionada por la fórmula [8]
Además, la característica de Euler de cualquier espacio producto M × N es
Estas propiedades de suma y multiplicación también las disfruta la cardinalidad de conjuntos . De esta manera, la característica de Euler puede verse como una generalización de la cardinalidad; ver [1].
De manera similar, para un espacio de cobertura con láminas k se tiene
De manera más general, para un espacio de cobertura ramificado , la característica de Euler de la cobertura se puede calcular a partir de lo anterior, con un factor de corrección para los puntos de ramificación, lo que produce la fórmula de Riemann-Hurwitz .
La propiedad del producto es mucho más generalizada para fibraciones con ciertas condiciones.
Si se trata de una fibración con fibra F, con la base B conectada por trayectoria , y la fibración es orientable sobre un campo K, entonces la característica de Euler con coeficientes en el campo K satisface la propiedad del producto: [9]
Esto incluye espacios de producto y espacios de cobertura como casos especiales, y puede probarse mediante la secuencia espectral de Serre sobre la homología de una fibración.
Para los haces de fibras, esto también puede entenderse en términos de un mapa de transferencia – nótese que se trata de un levantamiento y va "en el sentido equivocado" – cuya composición con el mapa de proyección es la multiplicación por la clase de Euler de la fibra: [10]
La característica de Euler se puede calcular fácilmente para superficies generales encontrando una poligonización de la superficie (es decir, una descripción como complejo CW ) y utilizando las definiciones anteriores.
Es común construir balones de fútbol uniendo piezas pentagonales y hexagonales, con tres piezas unidas en cada vértice (ver, por ejemplo, Adidas Telstar ). Si se utilizan pentágonos P y hexágonos H , entonces hay caras, vértices y aristas. La característica de Euler es así
Como la esfera tiene la característica de Euler 2, se deduce que es decir, un balón de fútbol construido de esta manera siempre tiene 12 pentágonos. El número de hexágonos puede ser cualquier número entero no negativo excepto 1. [11] Este resultado es aplicable a fullerenos y poliedros de Goldberg .
La esfera k dimensional tiene grupos de homología singulares iguales a
por lo tanto, tiene el número 1 de Betti en dimensiones 0 y n , y todos los demás números de Betti son 0. Su característica de Euler es entonces χ = 1 + (−1) n ; es decir, 0 si n es impar o 2 si n es par .
El espacio proyectivo real de n dimensiones es el cociente de la n esfera por el mapa antípoda . De ello se deduce que su característica de Euler es exactamente la mitad que la de la esfera correspondiente: 0 o 1.
El toro de n dimensiones es el espacio producto de n círculos. Su característica de Euler es 0, por la propiedad del producto. De manera más general, cualquier variedad compacta paralelizable , incluido cualquier grupo de Lie compacto , tiene la característica de Euler 0. [12]
La característica de Euler de cualquier variedad cerrada de dimensiones impares también es 0. [13] El caso de los ejemplos orientables es un corolario de la dualidad de Poincaré . Esta propiedad se aplica de manera más general a cualquier espacio estratificado compacto cuyos estratos tengan dimensiones impares. También se aplica a colectores cerrados de dimensiones impares no orientables, mediante la doble tapa orientable dos a uno .
La característica de Euler de una superficie orientable cerrada se puede calcular a partir de su género g (el número de toros en una descomposición sumaria conectada de la superficie; intuitivamente, el número de "asas") como
La característica de Euler de una superficie cerrada no orientable se puede calcular a partir de su género no orientable k (el número de planos proyectivos reales en una descomposición suma conectada de la superficie) como
Para variedades suaves cerradas, la característica de Euler coincide con el número de Euler , es decir, la clase de Euler de su fibrado tangente evaluada en la clase fundamental de una variedad. La clase de Euler, a su vez, se relaciona con todas las demás clases características de haces de vectores .
Para variedades de Riemann cerradas , la característica de Euler también se puede encontrar integrando la curvatura; consulte el teorema de Gauss-Bonnet para el caso bidimensional y el teorema generalizado de Gauss-Bonnet para el caso general.
Un análogo discreto del teorema de Gauss-Bonnet es el teorema de Descartes de que el " defecto total " de un poliedro , medido en círculos completos, es la característica de Euler del poliedro.
El teorema de Hadwiger caracteriza la característica de Euler como la función de conjunto única ( hasta la multiplicación escalar ), invariante de traducción, finitamente aditiva, no necesariamente no negativa, definida en uniones finitas de conjuntos convexos compactos en ℝ n que es "homogénea de grado 0".
Para cada complejo combinatorio de celdas , se define la característica de Euler como el número de celdas 0, menos el número de celdas 1, más el número de celdas 2, etc., si esta suma alterna es finita. En particular, la característica de Euler de un conjunto finito es simplemente su cardinalidad, y la característica de Euler de un gráfico es el número de vértices menos el número de aristas. (Olaf Post llama a esto una "fórmula bien conocida". [14] )
De manera más general, se puede definir la característica de Euler de cualquier complejo de cadena como la suma alterna de los rangos de los grupos de homología del complejo de cadena, asumiendo que todos estos rangos son finitos. [15]
Una versión de la característica de Euler utilizada en geometría algebraica es la siguiente. Para cualquier haz coherente en un esquema adecuado X , se define su característica de Euler como
¿ Dónde está la dimensión del grupo de cohomología de la i - ésima gavilla de ? En este caso, todas las dimensiones son finitas según el teorema de finitud de Grothendieck . Este es un ejemplo de la característica de Euler de un complejo de cadenas, donde el complejo de cadenas es una resolución finita de haces acíclicos.
Otra generalización del concepto de característica de Euler en variedades proviene de orbifolds (ver Característica de Euler de un orbifold ). Si bien cada variedad tiene una característica de Euler entera, una orbifold puede tener una característica de Euler fraccionaria. Por ejemplo, el orbifold en forma de lágrima tiene la característica de Euler 1 +1/ pag , donde p es un número primo correspondiente al ángulo del cono 2 π / pag .
El concepto de característica de Euler de la homología reducida de un poset finito acotado es otra generalización, importante en combinatoria . Un poset está "acotado" si tiene elementos más pequeños y más grandes; llámelos 0 y 1. La característica de Euler de tal poset se define como el número entero μ (0,1) , donde μ es la función de Möbius en el álgebra de incidencia de ese poset .
Esto se puede generalizar aún más definiendo una característica de Euler con valor racional para ciertas categorías finitas , una noción compatible con las características de Euler de gráficos, orbifolds y posets mencionados anteriormente. En este contexto, la característica de Euler de un grupo finito o monoide G es1/ | GRAMO | , y la característica de Euler de un grupoide finito es la suma de1/ | G yo |, donde elegimos un grupo representativo Gi para cada componente conectado del grupoide . [dieciséis]
