En geometría , un poliedro proyectivo (globalmente) es una teselación del plano proyectivo real . [1] Estos son análogos proyectivos de los poliedros esféricos (teselaciones de la esfera ) y los poliedros toroidales (teselaciones de los toroides).
Los poliedros proyectivos también se denominan teselaciones elípticas [2] o teselado elíptico , haciendo referencia al plano proyectivo como geometría elíptica (proyectiva) , por analogía con el teselado esférico [3], un sinónimo de "poliedro esférico". Sin embargo, el término geometría elíptica se aplica tanto a las geometrías esféricas como a las proyectivas , por lo que el término conlleva cierta ambigüedad para los poliedros.
Como descomposiciones celulares del plano proyectivo, tienen característica de Euler 1, mientras que los poliedros esféricos tienen característica de Euler 2. El calificativo "globalmente" es para contrastar con los poliedros proyectivos localmente , que se definen en la teoría de poliedros abstractos .
Los poliedros proyectivos no superpuestos ( densidad 1) corresponden a poliedros esféricos (equivalentemente, poliedros convexos ) con simetría central . Esto se desarrolla y amplía a continuación en relación con los poliedros esféricos y en relación con los poliedros tradicionales.
Los ejemplos más conocidos de poliedros proyectivos son los poliedros proyectivos regulares, los cocientes de los sólidos platónicos centralmente simétricos , así como dos clases infinitas de diedros y hosoedros pares : [4]
Estos se pueden obtener tomando el cociente del poliedro esférico asociado por el mapa antípoda (identificando puntos opuestos en la esfera).
Por otra parte, el tetraedro no tiene simetría central, por lo que no existe un "hemitetraedro". Véase la relación con los poliedros esféricos más abajo para saber cómo se trata el tetraedro.
Nótese que el prefijo "hemi-" también se utiliza para referirse a los hemipoliedros , que son poliedros uniformes que tienen algunas caras que pasan por el centro de simetría. Como estos no definen poliedros esféricos (porque pasan por el centro, que no se corresponde con un punto definido en la esfera), no definen poliedros proyectivos por la correspondencia cociente del espacio tridimensional (menos el origen) con el plano proyectivo.
De estos hemipoliedros uniformes, sólo el tetrahemihexaedro es topológicamente un poliedro proyectivo, como se puede verificar por su característica de Euler y su conexión visualmente obvia con la superficie romana . Está 2-cubierto por el cuboctaedro , y puede realizarse como el cociente del cuboctaedro esférico por la función antípoda. Es el único poliedro uniforme (tradicional) que es proyectivo, es decir, el único poliedro proyectivo uniforme que se sumerge en el tridimensional euclidiano como un poliedro tradicional uniforme.
Existe una función de recubrimiento 2 a 1 de la esfera con respecto al plano proyectivo, y bajo esta función, los poliedros proyectivos corresponden a poliedros esféricos con simetría central : la función de recubrimiento 2 a 1 de un poliedro proyectivo es un poliedro esférico con simetría central. Además, debido a que una función de recubrimiento es un homeomorfismo local (en este caso, una isometría local ), tanto el poliedro esférico como el poliedro proyectivo correspondiente tienen la misma figura abstracta de vértice .
Por ejemplo, la doble cubierta del hemicubeo (proyectivo) es el cubo (esférico). El hemicubeo tiene 4 vértices, 3 caras y 6 aristas, cada una de las cuales está cubierta por 2 copias en la esfera, y en consecuencia el cubo tiene 8 vértices, 6 caras y 12 aristas, mientras que ambos poliedros tienen una figura de 4,4,4 vértices (3 cuadrados que se unen en un vértice).
Además, el grupo de simetría (de isometrías ) de un poliedro proyectivo y un poliedro esférico envolvente están relacionados: las simetrías del poliedro proyectivo se identifican naturalmente con las simetrías de rotación del poliedro esférico, mientras que el grupo de simetría completo del poliedro esférico es el producto de su grupo de rotación (el grupo de simetría del poliedro proyectivo) y el grupo cíclico de orden 2, {± I }. Véase el grupo de simetría a continuación para obtener más detalles y otras dimensiones.
Los poliedros esféricos sin simetría central no definen un poliedro proyectivo, ya que las imágenes de los vértices, las aristas y las caras se superpondrán. En el lenguaje de los teselados, la imagen en el plano proyectivo es un teselado de grado 2, lo que significa que cubre el plano proyectivo dos veces: en lugar de que 2 caras en la esfera correspondan a 1 cara en el plano proyectivo, cubriéndolo dos veces, cada cara en la esfera corresponde a una sola cara en el plano proyectivo, cubriéndolo dos veces.
La correspondencia entre poliedros proyectivos y poliedros esféricos simétricos centralmente puede extenderse a una conexión de Galois que incluya todos los poliedros esféricos (no necesariamente simétricos centralmente) si las clases se extienden para incluir teselados de grado 2 del plano proyectivo, cuyas cubiertas no son poliedros sino más bien el compuesto poliédrico de un poliedro no simétrico centralmente, junto con su inverso central (un compuesto de 2 poliedros). Esto geometriza la conexión de Galois al nivel de subgrupos finitos de O(3) y PO(3), bajo los cuales la adjunción es "unión con inverso central". Por ejemplo, el tetraedro no es simétrico centralmente y tiene 4 vértices, 6 aristas y 4 caras, y la figura de vértice 3.3.3 (3 triángulos que se encuentran en cada vértice). Su imagen en el plano proyectivo tiene 4 vértices, 6 aristas (que se intersecan) y 4 caras (que se superponen), cubriendo el plano proyectivo dos veces. La cubierta de éste es el octaedro estrellado –equivalentemente, el compuesto de dos tetraedros– que tiene 8 vértices, 12 aristas y 8 caras, y figura de vértice 3.3.3.
En el contexto de los politopos abstractos , se habla más bien de " politopos proyectivos locales " (véase Politopo abstracto: topología local) . Por ejemplo, el poliedro de 11 celdas es un "politopo proyectivo local", pero no es un poliedro proyectivo global, ni tampoco tesela ninguna variedad, ya que no es localmente euclidiano, sino localmente proyectivo, como indica el nombre.
Los politopos proyectivos pueden definirse en una dimensión superior como teselaciones del espacio proyectivo en una dimensión menor. Definir politopos proyectivos de dimensión k en un espacio proyectivo de dimensión n es algo más complicado, porque la definición habitual de politopos en el espacio euclidiano requiere tomar combinaciones convexas de puntos, lo cual no es un concepto proyectivo y no se aborda con frecuencia en la literatura, pero se ha definido, como en (Vives y Mayo 1991).
El grupo de simetría de un politopo proyectivo es un subgrupo finito (por lo tanto discreto) [nota 1] del grupo ortogonal proyectivo , PO, y a la inversa, cada subgrupo finito de PO es el grupo de simetría de un politopo proyectivo tomando el politopo dado por imágenes de un dominio fundamental para el grupo.
Las dimensiones relevantes son las siguientes: el espacio proyectivo real n -dimensional es la proyectivización del espacio euclidiano ( n +1)-dimensional , por lo que el grupo ortogonal proyectivo de un espacio proyectivo n -dimensional se denota
Si n = 2 k es par (por lo que n + 1 = 2 k + 1 es impar), entonces O(2 k + 1) = SO(2 k + 1)×{± I } se descompone como un producto, y por lo tanto [nota 2] el grupo de isometrías proyectivas puede identificarse con el grupo de isometrías rotacionales.
Así, en particular, el grupo de simetría de un poliedro proyectivo es el grupo de simetría rotacional del poliedro esférico envolvente; el grupo de simetría completo del poliedro esférico es entonces simplemente el producto directo con reflexión a través del origen , que es el núcleo en el paso al espacio proyectivo. El plano proyectivo no es orientable y, por lo tanto, no existe una noción distinta de "isometrías que preservan la orientación de un poliedro proyectivo", lo que se refleja en la igualdad PSO(3) = PO(3).
Si n = 2 k + 1 es impar, entonces O( n + 1) = O(2 k + 2) no se descompone como un producto y, por lo tanto, el grupo de simetría del politopo proyectivo no es simplemente las simetrías rotacionales del politopo esférico, sino más bien un cociente 2 a 1 del grupo de simetría completo del politopo esférico correspondiente (el grupo esférico es una extensión central del grupo proyectivo). Además, en dimensión proyectiva impar (dimensión vectorial par) y es en cambio un subgrupo propio (índice 2), por lo que existe una noción distinta de isometrías que preservan la orientación.
Por ejemplo, en n = 1 (polígonos), las simetrías de un 2 r -gono son el grupo diedro Dih 2 r (de orden 4 r ), con grupo rotacional el grupo cíclico C 2 r , siendo estos subgrupos de O(2) y SO(2), respectivamente. La proyectividad de un 2 r -gono (en el círculo) es un r -gono (en la línea proyectiva), y en consecuencia los grupos cocientes, subgrupos de PO(2) y PSO(2) son Dih r y C r . Nótese que el mismo cuadrado conmutativo de subgrupos ocurre para el cuadrado del grupo Spin y el grupo Pin – Spin(2), Pin + (2), SO(2), O(2) – aquí subiendo hasta una cobertura doble, en lugar de bajar hasta un cociente doble.
Por último, por el teorema de red existe una conexión de Galois entre subgrupos de O( n ) y subgrupos de PO( n ), en particular de subgrupos finitos. Bajo esta conexión, los grupos de simetría de politopos con simetría central corresponden a grupos de simetría del politopo proyectivo correspondiente, mientras que los grupos de simetría de politopos esféricos sin simetría central corresponden a grupos de simetría de politopos proyectivos de grado 2 (teselados que cubren el espacio proyectivo dos veces), cuya cobertura (que corresponde a la adjunción de la conexión) es un compuesto de dos politopos: el politopo original y su inverso central.
Estos grupos de simetría deben compararse y contrastarse con los grupos poliédricos binarios ; así como Pin ± ( n ) → O( n ) es una cobertura 2 a 1 y, por lo tanto, hay una conexión de Galois entre grupos poliédricos binarios y grupos poliédricos, O( n ) → PO( n ) es una cobertura 2 a 1 y, por lo tanto, tiene una conexión de Galois análoga entre subgrupos. Sin embargo, mientras que los subgrupos discretos de O( n ) y PO( n ) corresponden a grupos de simetría de politopos esféricos y proyectivos, que corresponden geométricamente a la función de cobertura, no hay un espacio de cobertura de (para ) ya que la esfera está simplemente conexa , y por lo tanto no hay un "politopo binario" correspondiente para el cual los subgrupos de Pin sean grupos de simetría.
