La función de Möbius μ ( n ) es una función multiplicativa en la teoría de números introducida por el matemático alemán August Ferdinand Möbius (también transliterado Moebius ) en 1832. [i] [ii] [2] Es omnipresente en la teoría de números elemental y analítica y en la mayoría de los casos . A menudo aparece como parte de su homónimo la fórmula de inversión de Möbius . Siguiendo el trabajo de Gian-Carlo Rota en la década de 1960, las generalizaciones de la función de Möbius se introdujeron en la combinatoria y se denotan de manera similar μ ( x ) .
Para cualquier número entero positivo n , defina μ ( n ) como la suma de las raíces primitivas n -ésimas de la unidad . Tiene valores en {−1, 0, 1} dependiendo de la factorización de n en factores primos :
La función de Möbius también se puede representar como
donde δ es el delta de Kronecker , λ ( n ) es la función de Liouville , ω ( n ) es el número de divisores primos distintos de n y Ω( n ) es el número de factores primos de n , contados con multiplicidad.
También se puede definir como la convolución de Dirichlet inversa de la función constante-1.
Los valores de μ ( n ) para los primeros 50 números positivos son
Los primeros 50 valores de la función se representan a continuación:
Se pueden registrar valores mayores en:
La serie de Dirichlet que genera la función de Möbius es la inversa (multiplicativa) de la función zeta de Riemann ; si s es un número complejo con parte real mayor que 1 tenemos
Esto se puede ver en su producto Euler.
También:
La serie de Lambert para la función de Möbius es:
que converge para | q | < 1 . Para primo α ≥ 2 , también tenemos
Gauss [1] demostró que para un número primo p la suma de sus raíces primitivas es congruente con μ ( p − 1) (mod p ) .
Si F q denota el campo finito de orden q (donde q es necesariamente una potencia prima), entonces el número N de polinomios mónicos irreducibles de grado n sobre F q viene dado por: [3]
La función de Möbius también surge en el modelo de supersimetría del gas primon o gas de Riemann libre . En esta teoría, las partículas fundamentales o "primones" tienen energías log p . Bajo la segunda cuantificación , se consideran excitaciones multipartículas; estos están dados por log n para cualquier número natural n . Esto se desprende del hecho de que la factorización de los números naturales en primos es única.
En el gas de Riemann libre puede aparecer cualquier número natural, si los primones se toman como bosones . Si se toman como fermiones , entonces el principio de exclusión de Pauli excluye los cuadrados. El operador (−1) F que distingue fermiones y bosones no es otro que la función de Möbius μ ( n ) .
El gas de Riemann libre tiene otras conexiones interesantes con la teoría de números, incluido el hecho de que la función de partición es la función zeta de Riemann . Esta idea subyace al intento de Alain Connes de probar la hipótesis de Riemann . [4]
La función de Möbius es multiplicativa (es decir, μ ( ab ) = μ ( a ) μ ( b ) ) siempre que a y b sean coprimos .
Prueba : Dados dos números coprimos , inducimos en . Si entonces . De lo contrario, entonces
La suma de la función de Möbius sobre todos los divisores positivos de n (incluido el propio n y 1) es cero excepto cuando n = 1 :
La igualdad anterior conduce a la importante fórmula de inversión de Möbius y es la razón principal por la que μ es relevante en la teoría de funciones multiplicativas y aritméticas.
Otras aplicaciones de μ ( n ) en combinatoria están relacionadas con el uso del teorema de enumeración de Pólya en grupos combinatorios y enumeraciones combinatorias.
Existe una fórmula [5] para calcular la función de Möbius sin conocer directamente la factorización de su argumento:
es decir, μ ( n ) es la suma de las n -ésimas raíces primitivas de la unidad . (Sin embargo, la complejidad computacional de esta definición es al menos la misma que la de la definición del producto de Euler).
Otras identidades satisfechas por la función de Möbius incluyen
y
El primero de ellos es un resultado clásico, mientras que el segundo se publicó en 2020. [6] [7] Se aplican identidades similares a la función de Mertens .
Usando
la formula
puede verse como una consecuencia del hecho de que las n -ésimas raíces de la unidad suman 0, ya que cada n- ésima raíz de la unidad es una d- ésima raíz primitiva de la unidad para exactamente un divisor d de n .
Sin embargo, también es posible demostrar esta identidad desde los primeros principios. Primero tenga en cuenta que es trivialmente cierto cuando n = 1 . Supongamos entonces que n > 1 . Entonces hay una biyección entre los factores d de n para los cuales μ ( d ) ≠ 0 y los subconjuntos del conjunto de todos los factores primos de n . El resultado afirmado se deriva del hecho de que todo conjunto finito no vacío tiene un número igual de subconjuntos de cardinalidad par e impar.
Este último hecho puede demostrarse fácilmente mediante inducción sobre la cardinalidad | S | de un conjunto finito no vacío S . Primero, si | S | = 1 , hay exactamente un subconjunto de cardinalidad impar de S , es decir, el propio S , y exactamente un subconjunto de cardinalidad par, es decir, ∅ . A continuación, si | S | > 1 , luego divide los subconjuntos de S en dos subclases dependiendo de si contienen o no algún elemento fijo x en S . Existe una biyección obvia entre estas dos subclases, emparejando aquellos subconjuntos que tienen el mismo complemento en relación con el subconjunto { x } . Además, una de estas dos subclases consta de todos los subconjuntos del conjunto S \ { x } y, por lo tanto, según la hipótesis de inducción, tiene un número igual de subconjuntos de cardinalidad par e impar. Estos subconjuntos, a su vez, corresponden biyectivamente a los subconjuntos de S que contienen cardinalidad par e impar { x } . El paso inductivo se deriva directamente de estas dos biyecciones.
Un resultado relacionado es que los coeficientes binomiales exhiben entradas alternas de potencias pares e impares que suman simétricamente.
El valor medio (en el sentido de órdenes promedio) de la función de Möbius es cero. Esta afirmación es, de hecho, equivalente al teorema de los números primos . [8]
μ ( n ) = 0 si y sólo si n es divisible por el cuadrado de un primo. Los primeros números con esta propiedad son
Si n es primo, entonces μ ( n ) = −1 , pero lo contrario no es cierto. El primer n no primo para el cual μ ( n ) = −1 es 30 = 2 × 3 × 5 . Los primeros números con tres factores primos distintos ( números esfénicos ) son
y los primeros números con 5 factores primos distintos son
En teoría de números otra función aritmética estrechamente relacionada con la función de Möbius es la función de Mertens , definida por
para cada número natural n . Esta función está estrechamente vinculada con las posiciones de ceros de la función zeta de Riemann . Consulte el artículo sobre la conjetura de Mertens para obtener más información sobre la conexión entre M ( n ) y la hipótesis de Riemann .
De la fórmula
se deduce que la función de Mertens viene dada por:
donde F n es la secuencia de Farey de orden n .
Esta fórmula se utiliza en la demostración del teorema de Franel-Landau . [9]
En combinatoria , a cada conjunto localmente finito parcialmente ordenado (poset) se le asigna un álgebra de incidencia . Un miembro distinguido de esta álgebra es la "función de Möbius" de Poset. La función de Möbius clásica tratada en este artículo es esencialmente igual a la función de Möbius del conjunto de todos los enteros positivos parcialmente ordenados por divisibilidad . Consulte el artículo sobre álgebras de incidencia para obtener una definición precisa y varios ejemplos de estas funciones generales de Möbius.
Constantin Popovici [10] definió una función de Möbius generalizada μ k = μ ∗ ... ∗ μ como la convolución de Dirichlet k veces de la función de Möbius consigo misma. Por tanto, es nuevamente una función multiplicativa con
donde el coeficiente binomial se toma como cero si a > k . La definición puede ampliarse al complejo k leyendo el binomio como un polinomio en k . [11]
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