Función omega principal

Número de factores primos de un número natural n

En teoría de números , las funciones omega primos y cuentan el número de factores primos de un número natural. Por lo tanto, (omega pequeño) cuenta cada factor primo distinto , mientras que la función relacionada (omega grande) cuenta el número total de factores primos de respetando su multiplicidad (ver función aritmética ). Es decir, si tenemos una factorización prima de de la forma para primos distintos ( ), entonces las respectivas funciones omega primos están dadas por y . Estas funciones de conteo de factores primos tienen muchas relaciones teóricas de números importantes. ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ ${\displaystyle \omega (n)=k}$ ${\displaystyle \Omega (n)=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}}$

Propiedades y relaciones

La función es aditiva y es completamente aditiva . ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$

${\displaystyle \omega (n)=\sum _{p\mid n}1}$

Si se divide al menos una vez lo contamos sólo una vez, por ejemplo . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega (12)=\omega (2^{2}3)=2}$

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\mid n}1=\sum _{p^{\alpha }\parallel n}\alpha }$

Si se divide por entonces contamos los exponentes, por ejemplo . Como es habitual, la media es la potencia exacta de dividir . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha \geq 1}$ ${\displaystyle \Omega (12)=\Omega (2^{2}3^{1})=3}$ ${\displaystyle p^{\alpha }\parallel n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Omega (n)\geq \omega (n)}$

Si entonces es libre de cuadrados y está relacionado con la función de Möbius por ${\displaystyle \Omega (n)=\omega (n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}}$

Si entonces es una potencia prima, y ​​si entonces es un número primo. ${\displaystyle \omega (n)=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega (n)=1}$ ${\displaystyle n}$

Se sabe que la función divisor satisface . ^[1] ${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}}$

Como ocurre con muchas funciones aritméticas, no existe una fórmula explícita para o pero existen aproximaciones. ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$

Una serie asintótica para el orden promedio de está dada por ^[2] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B_{1}+\sum _{k\geq 1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma _{j}}{j!}}-1\right){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}},}$

donde es la constante de Mertens y son las constantes de Stieltjes . ${\displaystyle B_{1}\approx 0.26149721}$ ${\displaystyle \gamma _{j}}$

La función está relacionada con las sumas de los divisores sobre la función de Möbius y la función divisor incluyendo las siguientes sumas. ^[3] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}}$es el número de divisores unitarios . OEIS : A034444

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2})}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}}\right)=d^{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},\ m_{1},m_{2}{\text{ odd}},m=\operatorname {lcm} (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)}$

La función característica de los primos se puede expresar mediante una convolución con la función de Möbius : ^[4]

${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }(n)=(\mu \ast \omega )(n)=\sum _{d|n}\omega (d)\mu (n/d).}$

Una identidad exacta relacionada con la partición para se da por ^[5] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \omega (n)=\log _{2}\left[\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{d\mid k}\sum _{i=1}^{d}p(d-ji)\right)s_{n,k}\cdot |\mu (j)|\right],}$

donde es la función de partición , es la función de Möbius , y la secuencia triangular se expande por ${\displaystyle p(n)}$ ${\displaystyle \mu (n)}$ ${\displaystyle s_{n,k}}$

${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}=s_{o}(n,k)-s_{e}(n,k),}$

en términos del símbolo q-Pochhammer infinito y las funciones de partición restringidas que denotan respectivamente el número de 's en todas las particiones de en un número impar ( par ) de partes distintas. ^[6] ${\displaystyle s_{o/e}(n,k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

Continuación al plano complejo

Se ha encontrado una continuación de , aunque no es analítica en todas partes. ^[7] Nótese que se utiliza la función normalizada. ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} }$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$

${\displaystyle \omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{n=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{m=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}\left(n^{2}+n-mz\right)\right)\right)}$

Esto está estrechamente relacionado con la siguiente identidad de partición. Considere particiones de la forma

${\displaystyle a={\frac {2}{c}}+{\frac {4}{c}}+\ldots +{\frac {2(b-1)}{c}}+{\frac {2b}{c}}}$

donde , , y son números enteros positivos, y . El número de particiones viene dado por . ^[8] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a>b>c}$ ${\displaystyle 2^{\omega (a)}-2}$

Funciones de orden promedio y sumatorias

Un orden medio de ambos es . Cuando es primo , un límite inferior del valor de la función es . De manera similar, si es primorial , entonces la función es tan grande como en orden medio. Cuando es una potencia de 2 , entonces . ^[9] ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \log \log n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega (n)=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log \log n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log 2}}}$

Las asintóticas para las funciones sumatorias sobre , , y se calculan respectivamente en Hardy y Wright como ^{[10] [11]} ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq x}\omega (n)&=x\log \log x+B_{1}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\Omega (n)&=x\log \log x+B_{2}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{2}&=x(\log \log x)^{2}+O(x\log \log x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}&=x(\log \log x)^{k}+O(x(\log \log x)^{k-1}),k\in \mathbb {Z} ^{+},\end{aligned}}}$

donde es la constante de Mertens y la constante está definida por ${\displaystyle B_{1}\approx 0.2614972128}$ ${\displaystyle B_{2}}$

${\displaystyle B_{2}=B_{1}+\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p(p-1)}}\approx 1.0345061758.}$

La suma del número de divisores unitarios :

${\displaystyle \sum _{n\leq x}2^{\omega (n)}=(x\log x)/\zeta (2)+O(x)}$^[12] (secuencia A064608 en la OEIS )

Otras sumas que relacionan las dos variantes de las funciones omega principales incluyen ^[13]

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\left\{\Omega (n)-\omega (n)\right\}=O(x),}$

y

${\displaystyle \#\left\{n\leq x:\Omega (n)-\omega (n)>{\sqrt {\log \log x}}\right\}=O\left({\frac {x}{(\log \log x)^{1/2}}}\right).}$

Ejemplo I: Una función sumatoria modificada

En este ejemplo sugerimos una variante de las funciones sumatorias estimadas en los resultados anteriores para valores suficientemente grandes de . Luego demostramos una fórmula asintótica para el crecimiento de esta función sumatoria modificada derivada de la estimación asintótica de proporcionada en las fórmulas de la subsección principal de este artículo anterior. ^[14] ${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S_{\omega }(x)}$

Para ser completamente precisos, definamos la función sumatoria de índice impar como

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)[n{\text{ odd}}],}$

donde denota corchete de Iverson . Entonces tenemos que ${\displaystyle [\cdot ]}$

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x)={\frac {x}{2}}\log \log x+{\frac {(2B_{1}-1)x}{4}}+\left\{{\frac {x}{4}}\right\}-\left[x\equiv 2,3{\bmod {4}}\right]+O\left({\frac {x}{\log x}}\right).}$

La prueba de este resultado se obtiene observando primero que

${\displaystyle \omega (2n)={\begin{cases}\omega (n)+1,&{\text{if }}n{\text{ is odd; }}\\\omega (n),&{\text{if }}n{\text{ is even,}}\end{cases}}}$

y luego aplicar el resultado asintótico de Hardy y Wright para la función sumatoria sobre , denotada por , en la siguiente forma: ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\omega }(x)&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor }\omega (2n)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (4n)+\omega (4n+2)\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (2n)+\omega (2n+1)+1\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+S_{\omega }\left(\left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor \right)+\left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

Ejemplo II: Funciones sumatorias para los llamados momentos factoriales de ω(n)

Los cálculos ampliados en el Capítulo 22.11 de Hardy y Wright proporcionan estimaciones asintóticas para la función sumatoria

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\},}$

estimando el producto de estas dos funciones omega componentes como

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\}=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{\stackrel {p\neq q}{p,q{\text{ prime}}}}}1=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{p,q{\text{ prime}}}}1-\sum _{\stackrel {p^{2}\mid n}{p{\text{ prime}}}}1.}$

De manera similar, podemos calcular fórmulas asintóticas de manera más general para las funciones sumatorias relacionadas sobre los denominados momentos factoriales de la función . ${\displaystyle \omega (n)}$

Serie de Dirichlet

Una serie de Dirichlet conocida que involucra a y la función zeta de Riemann se da por ^[15] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}},\ \Re (s)>1.}$

También podemos ver que

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {z}{p^{s}-1}}\right),|z|<2,\Re (s)>1,}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {z}{p^{s}}}\right)^{-1},|z|<2,\Re (s)>1,}$

La función es completamente aditiva , donde es fuertemente aditiva (aditiva) . Ahora podemos demostrar un lema breve en la siguiente forma que implica fórmulas exactas para las expansiones de la serie de Dirichlet sobre y : ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$

Lema. Supóngase que es una función aritmética fuertemente aditiva definida de modo que sus valores en potencias primos están dados por , es decir, para primos y exponentes distintos . La serie de Dirichlet de se desarrolla por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(p^{\alpha }):=f_{0}(p,\alpha )}$ ${\displaystyle f(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}})=f_{0}(p_{1},\alpha _{1})+\cdots +f_{0}(p_{k},\alpha _{k})}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 1}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\Re (s)>\min(1,\sigma _{f}).}$

Prueba. Podemos ver que

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {u^{f(n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right).}$

Esto implica que

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}&={\frac {d}{du}}\left[\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right)\right]{\Biggr |}_{u=1}=\prod _{p}\left(1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}\right)\times \sum _{p}{\frac {\sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns}}{1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}}}\\&=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\end{aligned}}}$

dondequiera que las series y productos correspondientes sean convergentes. En la última ecuación, hemos utilizado la representación del producto de Euler de la función zeta de Riemann .

El lema implica que para , ${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)P(s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}P(ns)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\phi (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{h}(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {h(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\log \zeta (s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\varepsilon (n)}{n}}\log \zeta (ns),\end{aligned}}}$

donde es la función zeta prima , donde es el -ésimo número armónico y es la identidad de la convolución de Dirichlet , . ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle h(n)=\sum _{p^{k}|n}{\frac {1}{k}}=\sum _{p^{k}||n}{H_{k}}}$ ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\frac {1}{n}}\rfloor }$

La distribución de la diferencia de funciones omega primas

La distribución de los valores enteros distintos de las diferencias es regular en comparación con las propiedades semi-aleatorias de las funciones componentes. Para , defina ${\displaystyle \Omega (n)-\omega (n)}$ ${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle N_{k}(x):=\#(\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:\Omega (n)-\omega (n)=k\}\cap [1,x]).}$

Estas cardinalidades tienen una secuencia correspondiente de densidades límite tales que para ${\displaystyle d_{k}}$ ${\displaystyle x\geq 2}$

${\displaystyle N_{k}(x)=d_{k}\cdot x+O\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{k}{\sqrt {x}}(\log x)^{\frac {4}{3}}\right).}$

Estas densidades son generadas por los productos primarios.

${\displaystyle \sum _{k\geq 0}d_{k}\cdot z^{k}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1+{\frac {1}{p-z}}\right).}$

Con la constante absoluta , las densidades satisfacen ${\displaystyle {\hat {c}}:={\frac {1}{4}}\times \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)^{-1}}$ ${\displaystyle d_{k}}$

${\displaystyle d_{k}={\hat {c}}\cdot 2^{-k}+O(5^{-k}).}$

Compárese con la definición de los productos primos definidos en la última sección de ^[16] en relación con el teorema de Erdős–Kac .

Véase también

• Función aditiva
• Función aritmética
• Teorema de Erdös-Kac
• Función omega (desambiguación)
• Número primo
• Número entero sin cuadrados

Notas

1. Esta desigualdad se da en la Sección 22.13 de Hardy y Wright.
2. SR Finch, Dos series asintóticas, Constantes matemáticas II, Cambridge Univ. Press, págs. 21-32, [1]
3. Cada una de estas identidades que se inician a partir de la segunda de la lista se citan individualmente en las páginas Convoluciones de Dirichlet de funciones aritméticas , Identidad de Menon y otras fórmulas para la función totient de Euler . La primera identidad es una combinación de dos sumas divisorias conocidas citadas en la Sección 27.6 del Manual de funciones matemáticas del NIST.
4. Esto se sugiere como un ejercicio en el libro de Apostol. Es decir, escribimos donde . Podemos formar la serie de Dirichlet sobre como donde es la función zeta de los primos . Entonces resulta obvio ver que es la función indicadora de los primos. ${\displaystyle f=\mu \ast \omega }$ ${\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (n/d)\sum _{r|d}\left(\pi (r)-\pi (r-1)\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}(s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=P(s),}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle f(n)=\pi (n)-\pi (n-1)=\chi _{\mathbb {P} }(n)}$
5. Esta identidad queda demostrada en el artículo de Schmidt citado en esta página.
6. Esta secuencia triangular también aparece de forma destacada en los teoremas de factorización de series de Lambert demostrados por Merca y Schmidt (2017-2018)
7. Hoelscher, Zachary; Palsson, Eyvindur (5 de diciembre de 2020). "Conteo de particiones restringidas de números enteros en fracciones: simetría y modos de la función generadora y una conexión con ω(t)". ​​Revista PUMP de investigación de pregrado . 3 : 277–307. arXiv : 2011.14502 . doi :10.46787/pump.v3i0.2428. ISSN  2576-3725.
8. Hoelscher, Zachary; Palsson, Eyvindur (5 de diciembre de 2020). "Conteo de particiones restringidas de números enteros en fracciones: simetría y modos de la función generadora y una conexión con ω(t)". ​​Revista PUMP de investigación de pregrado . 3 : 277–307. arXiv : 2011.14502 . doi :10.46787/pump.v3i0.2428. ISSN  2576-3725.
9. Para referencias a cada una de estas estimaciones de orden promedio, consulte las ecuaciones (3) y (18) de la referencia MathWorld y las Secciones 22.10-22.11 de Hardy y Wright.
10. Véanse las secciones 22.10 y 22.11 para obtener referencias y derivaciones explícitas de estas estimaciones asintóticas.
11. En realidad, la prueba del último resultado dado en Hardy y Wright en realidad sugiere un procedimiento más general para extraer estimaciones asintóticas de los momentos para cualquier considerando las funciones sumatorias de los momentos factoriales de la forma para casos más generales de . ${\displaystyle \sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {\left[\omega (n)\right]!}{\left[\omega (n)-m\right]!}}}$ ${\displaystyle m\geq 2}$
12. Cohen, Eckford (1960). "El número de divisores unitarios de un entero". The American Mathematical Monthly . 67 (9): 879–880. doi :10.2307/2309455. ISSN  0002-9890. JSTOR  2309455.
13. Hardy y Wright Capítulo 22.11.
14. Nb, esta suma se sugiere a partir del trabajo contenido en un manuscrito inédito del colaborador de esta página relacionado con el crecimiento de la función de Mertens . Por lo tanto, no se trata simplemente de una estimación vacía y/o trivial obtenida con el propósito de la exposición aquí.
15. Esta identidad se encuentra en la Sección 27.4 del Manual de funciones matemáticas del NIST.
16. Rényi, A.; Turán, P. (1958). «Sobre un teorema de Erdös-Kac» (PDF) . Acta Aritmética . 4 (1): 71–84. doi :10.4064/aa-4-1-71-84.

Referencias

• GH Hardy y EM Wright (2006). Introducción a la teoría de números (6.ª ed.). Oxford University Press.
• HL Montgomery y RC Vaughan (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica (1.ª ed.). Cambridge University Press.
• Schmidt, Maxie (2017). "Teoremas de factorización para productos de Hadamard y derivadas de orden superior de funciones generadoras de series de Lambert". arXiv : 1712.00608 [math.NT].
• Weisstein, Eric. «Distinct Prime Factors». MathWorld . Consultado el 22 de abril de 2018 .

Enlaces externos

• Wiki de la OEIS para números de secuencia y tablas relacionados
• Wiki de la OEIS sobre factores primos