gas primon

Modelo de física matemática.

En física matemática , el gas primon o gas de Riemann ^[1] descubierto por Bernard Julia ^[2] es un modelo que ilustra correspondencias entre la teoría de números y los métodos de la teoría cuántica de campos , la mecánica estadística y los sistemas dinámicos como el teorema de Lee-Yang . Se trata de una teoría cuántica de campos de un conjunto de partículas que no interactúan, los primones ; se llama gas o modelo libre porque las partículas no interactúan. La idea del gas primon fue descubierta de forma independiente por Donald Spector. ^[3] Trabajos posteriores de Ioannis Bakas y Mark Bowick , ^[4] y Spector ^[5] exploraron la conexión de tales sistemas con la teoría de cuerdas .

El modelo

Espacio de Estados

Considere un espacio de Hilbert H con una base ortonormal de estados etiquetados por los números primos p . La segunda cuantificación da un nuevo espacio de Hilbert K , el espacio bosónico de Fock en H , donde los estados describen colecciones de números primos, que podemos llamar primones si los consideramos análogos a las partículas en la teoría cuántica de campos. Este espacio de Fock tiene una base ortonormal dada por multiconjuntos finitos de números primos. En otras palabras, para especificar uno de estos elementos básicos podemos enumerar el número de primones para cada primo : ${\displaystyle |p\rangle }$ ${\displaystyle k_{p}=0,1,2,\dots }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle |k_{2},k_{3},k_{5},k_{7},k_{11},\ldots ,k_{p},\ldots \rangle }$

donde el total es finito. Dado que cualquier número natural positivo tiene una factorización única en números primos: ${\displaystyle \sum _{p}k_{p}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=2^{k_{2}}\cdot 3^{k_{3}}\cdot 5^{k_{5}}\cdot 7^{k_{7}}\cdot 11^{k_{11}}\cdots p^{k_{p}}\cdots }$

También podemos denotar los elementos básicos del espacio de Fock simplemente como donde ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle n=1,2,3,\dots .}$

En resumen, el espacio de Fock para los primones tiene una base ortonormal dada por los números naturales positivos, pero pensamos en cada uno de esos números como una colección de primones: sus factores primos, contados con multiplicidad. ${\displaystyle n}$

Identificar el hamiltoniano mediante el operador Koopman

Dado el estado , podemos usar el operador Koopman ^[6] para elevar la dinámica del espacio de estados al espacio de observables: ${\displaystyle x_{n}=n}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi \circ {\textbf {log}}\circ x_{n}={\textbf {log}}\circ F\circ x_{n}={\textbf {log}}\circ x_{n+1}}$

donde es un algoritmo para factorización de números enteros, análogo al logaritmo discreto, y es la función sucesora. Así, tenemos: ${\displaystyle {\textbf {log}}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\textbf {log}}\circ x_{n}=\bigoplus _{k}a_{k}\cdot \ln p_{k}}$

Una motivación precisa para definir el operador de Koopman es que representa una linealización global de , que considera las combinaciones lineales de estados propios como particiones enteras. De hecho, el lector puede comprobar fácilmente que la función sucesora no es una función lineal: ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,F(n)=n+1\implies \forall x,y\in \mathbb {N} ^{*},F(x+y)\neq F(x)+F(y)}$

Por tanto, es canónico. ${\displaystyle \Phi }$

Energías

Si tomamos un hamiltoniano cuántico simple H para que tenga valores propios proporcionales a log  p , es decir,

${\displaystyle H|p\rangle =E_{p}|p\rangle }$

con

${\displaystyle E_{p}=E_{0}\log p\,,}$

somos llevados naturalmente a

${\displaystyle E_{n}=\sum _{p}k_{p}E_{p}=E_{0}\cdot \sum _{p}k_{p}\log p=E_{0}\log n}$

Estadísticas de la dimensión del espacio de fase.

Supongamos que queremos saber el tiempo medio, adecuadamente normalizado, que pasa el gas de Riemann en un subespacio concreto. ¿Cómo podría relacionarse esta frecuencia con la dimensión de este subespacio?

Si caracterizamos distintos subespacios lineales como datos de Erdős-Kac que tienen la forma de vectores binarios dispersos, utilizando el teorema de Erdős-Kac podemos demostrar que esta frecuencia depende nada más que de la dimensión del subespacio. De hecho, si contamos el número de divisores primos únicos de entonces la ley de Erdős-Kac nos dice que para grandes : ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {\omega (n)-\ln \ln n}{\sqrt {\ln \ln n}}}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$

tiene la distribución normal estándar.

Lo que es aún más notable es que, aunque el teorema de Erdős-Kac tiene la forma de una observación estadística, no podría haberse descubierto utilizando métodos estadísticos. ^[7] De hecho, el orden normal de sólo comienza a surgir para . ${\displaystyle X\sim U([1,N])}$ ${\displaystyle \omega (X)}$ ${\displaystyle N\geq 10^{100}}$

Mecánica estadística

La función de partición Z viene dada por la función zeta de Riemann :

${\displaystyle Z(T):=\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left({\frac {-E_{n}}{k_{\text{B}}T}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left({\frac {-E_{0}\log n}{k_{\text{B}}T}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s)}$

con s  =  E ₀ / k _B T donde k _B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta .

La divergencia de la función zeta en s  = 1 corresponde a la divergencia de la función de partición a una temperatura de Hagedorn de  T _H  =  E ₀ / k _B .

Modelo supersimétrico

El modelo de segunda cuantificación anterior considera que las partículas son bosones . Si se considera que las partículas son fermiones , entonces el principio de exclusión de Pauli prohíbe los estados de múltiples partículas que incluyan cuadrados de números primos. Según el teorema de la estadística de espín , los estados de campo con un número par de partículas son bosones, mientras que aquellos con un número impar de partículas son fermiones. El operador de fermión (−1) ^F tiene una realización muy concreta en este modelo como función de Möbius , en el sentido de que la función de Möbius es positiva para bosones, negativa para fermiones y cero en estados prohibidos por el principio de exclusión. ${\displaystyle \mu (n)}$

Modelos más complejos

Las conexiones entre la teoría de números y la teoría cuántica de campos pueden ampliarse un poco más a conexiones entre la teoría de campos topológicos y la teoría K , donde, de acuerdo con el ejemplo anterior, el espectro de un anillo asume el papel del espectro de valores propios de energía, los primos. los ideales toman el papel de los números primos, las representaciones de grupo toman el papel de números enteros, los caracteres de grupo toman el lugar de los caracteres de Dirichlet , etc.

Referencias

1. DJG Dueñas y NF Svaiter. Termodinámica del gas de Riemann aleatorizado bosónico. arXiv preimpresión arXiv:1401.8190.
2. Bernard L. Julia, Teoría estadística de números, en Teoría y física de números, eds. JM Luck, P. Moussa y M. Waldschmidt, Springer Proceedings in Physics , vol. 47 , Springer-Verlag, Berlín, 1990, págs.
3. D. Spector, La supersimetría y la función de inversión de Möbius, Communications in Mathematical Physics 127 (1990) págs.
4. I. Bakas y MJ Bowick, Curiosidades de los gases aritméticos, J. Math. Física. 32 (1991) pág. 1881
5. D. Spector, Dualidad, supersimetría parcial y teoría aritmética de números, J. Math. Física. 39 (1998) págs. 1919-1927
6. Steven L. Brunton. Notas sobre la teoría del operador Koopman. Prensa de la Universidad de Cambridge. 2019.
7. BubbleZ (https://mathoverflow.net/users/470546/bubblez), Teoremas que son esencialmente imposibles de adivinar mediante observación empírica, URL (versión: 2021-12-29): https://mathoverflow.net/q/ 412762

enlaces externos

• John Baez , Hallazgos de esta semana en física matemática, Semana 199