función de mertens

Función sumatoria de la función de Möbius

Función de Mertens para n  = 10 000

Función de Mertens para n  = 10 000 000

En teoría de números , la función de Mertens se define para todos los números enteros positivos n como

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k),}$

¿Dónde está la función de Möbius ? La función lleva el nombre de Franz Mertens . Esta definición se puede extender a números reales positivos de la siguiente manera: ${\displaystyle \mu (k)}$

${\displaystyle M(x)=M(\lfloor x\rfloor ).}$

De manera menos formal, es el recuento de enteros sin cuadrados hasta x que tienen un número par de factores primos, menos el recuento de aquellos que tienen un número impar. ${\displaystyle M(x)}$

Los primeros 143 valores M ( n ) son (secuencia A002321 en el OEIS )

La función de Mertens crece lentamente en direcciones positivas y negativas tanto en promedio como en valor pico, oscilando de manera aparentemente caótica pasando por cero cuando n tiene los valores

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 7, 428,... (secuencia A028442 en la OEIS ).

Debido a que la función de Möbius solo toma los valores −1, 0 y +1, la función de Mertens se mueve lentamente y no existe x tal que | M ( x )| >  x . H. Davenport ^[1] demostró que, para cualquier h fija ,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}\mu (n)\exp(i2\pi n\theta )=O\left({\frac {x}{\log ^{h}x}}\right)}$

uniformemente en . Esto implica, por eso ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle M(x)=O\left({\frac {x}{\log ^{h}x}}\right)\ .}$

La conjetura de Mertens fue más allá, afirmando que no habría x cuando el valor absoluto de la función de Mertens excede la raíz cuadrada de x . Andrew Odlyzko y Herman te Riele demostraron que la conjetura de Mertens era falsa en 1985 . Sin embargo, la hipótesis de Riemann es equivalente a una conjetura más débil sobre el crecimiento de M ( x ), a saber, M ( x ) = O ( x ^{1/2 + ε} ). Dado que los valores altos de M ( x ) crecen al menos tan rápido como , esto impone un límite bastante estrecho a su tasa de crecimiento. Aquí, O se refiere a la notación O grande . ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

Se desconoce la verdadera tasa de crecimiento de M ( x ). Una conjetura inédita de Steve Gonek afirma que

${\displaystyle 0<\limsup _{x\to \infty }{\frac {|M(x)|}{{\sqrt {x}}(\log \log \log x)^{5/4}}}<\infty .}$

Nathan Ng proporciona evidencia probabilística de esta conjetura. ^[2] En particular, Ng da una prueba condicional de que la función tiene una distribución límite en . Es decir, para todas las funciones continuas de Lipschitz acotadas sobre los reales tenemos que ${\displaystyle e^{-y/2}M(e^{y})}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \lim _{Y\to \infty }{\frac {1}{Y}}\int _{0}^{Y}f{\big (}e^{-y/2}M(e^{y}){\big )}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\nu (x),}$

si se suponen varias conjeturas sobre la función zeta de Riemann .

Representaciones

como integral

Usando el producto de Euler , se encuentra que

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},}$

donde está la función zeta de Riemann y el producto se toma de los números primos. Luego, utilizando esta serie de Dirichlet con la fórmula de Perron , se obtiene ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds=M(x),}$

donde c > 1.

Por el contrario, se tiene la transformada de Mellin.

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}\,dx,}$

lo cual es válido para . ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$

Una curiosa relación dada por el propio Mertens sobre la segunda función de Chebyshev es

${\displaystyle \psi (x)=M\left({\frac {x}{2}}\right)\log 2+M\left({\frac {x}{3}}\right)\log 3+M\left({\frac {x}{4}}\right)\log 4+\cdots .}$

Suponiendo que la función zeta de Riemann no tiene múltiples ceros no triviales, se tiene la "fórmula exacta" según el teorema del residuo :

${\displaystyle M(x)=\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho \zeta '(\rho )}}-2+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{(2n)!n\zeta (2n+1)x^{2n}}}.}$

Weyl conjeturó que la función de Mertens satisfacía la ecuación diferencial funcional aproximada

${\displaystyle {\frac {y(x)}{2}}-\sum _{r=1}^{N}{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}D_{t}^{2r-1}y\left({\frac {x}{t+1}}\right)+x\int _{0}^{x}{\frac {y(u)}{u^{2}}}\,du=x^{-1}H(\log x),}$

donde H ( x ) es la función escalón de Heaviside , B son números de Bernoulli y todas las derivadas con respecto a t se evalúan en t  = 0.

También existe una fórmula de seguimiento que implica una suma de la función de Möbius y ceros de la función zeta de Riemann en la forma

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\gamma }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(1/2+i\gamma )}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)!\zeta (2n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-x(2n+1/2)}\,dx,}$

donde la primera suma del lado derecho se toma sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, y ( g ,  h ) están relacionados mediante la transformada de Fourier , de modo que

${\displaystyle 2\pi g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }h(u)e^{iux}\,du.}$

Como suma de secuencias de Farey

Otra fórmula para la función de Mertens es

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}$

¿Dónde está la secuencia de Farey de orden n ? ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

Esta fórmula se utiliza en la demostración del teorema de Franel-Landau . ^[3]

Como determinante

M ( n ) es el determinante de la matriz de Redheffer n  ×  n , una matriz (0, 1) en la que a _ij es 1 si j es 1 o i divide a j .

Como suma del número de puntos bajo hiperboloides de n dimensiones

${\displaystyle M(x)=1-\sum _{2\leq a\leq x}1+{\underset {ab\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}}}1-{\underset {abc\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}}}1+{\underset {abcd\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}\sum _{d\geq 2}}}1-\cdots }$

Esta formulación ^{[ cita necesaria ]} que expande la función de Mertens sugiere límites asintóticos obtenidos considerando el problema del divisor de Piltz , que generaliza el problema del divisor de Dirichlet al calcular estimaciones asintóticas para la función sumatoria de la función divisora ​​.

Otras propiedades

De ^[4] tenemos

${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}M(\lfloor n/d\rfloor )=1\ .}$

Además, de ^[5]

${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}M(\lfloor n/d\rfloor )d=\Phi (n)\ ,}$

¿Dónde está la función sumatoria de Totient ? ${\displaystyle \Phi (n)}$

Cálculo

Ninguno de los métodos mencionados anteriormente conduce a algoritmos prácticos para calcular la función de Mertens. Utilizando métodos de criba similares a los utilizados en el conteo de primos, la función de Mertens se ha calculado para todos los números enteros hasta un rango creciente de x . ^{[6] [7]}

La función de Mertens para todos los valores enteros hasta x se puede calcular en tiempo O ( x log log x ) . Un algoritmo combinatorio ha sido desarrollado incrementalmente a partir de 1870 por Ernst Meissel , ^[8] Lehmer , ^[9] Lagarias - Miller - Odlyzko , ^[10] y Deléglise-Rivat ^[11] que calcula valores aislados de M ( x ) en O ( x ^2/3 (log log x ) ^1/3 ) tiempo; una mejora adicional realizada por Harald Helfgott y Lola Thompson en 2021 mejora esto a O ( x ^3/5 (log x ) ^3/5+ε ) , ^[12] y un algoritmo de Lagarias y Odlyzko basado en integrales de la función zeta de Riemann logra un tiempo de ejecución de O ( x ^1/2+ε ) . ^[13]

Consulte OEIS : A084237 para valores de M ( x ) en potencias de 10.

Límites superiores conocidos

Ng señala que la hipótesis de Riemann (RH) es equivalente a

${\displaystyle M(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left({\frac {C\cdot \log x}{\log \log x}}\right)\right),}$

para alguna constante positiva . Maier, Montgomery y Soundarajan han obtenido otros límites superiores asumiendo la RH que incluye ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left(C_{2}\cdot (\log x)^{\frac {39}{61}}\right)\\|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left({\sqrt {\log x}}(\log \log x)^{14}\right).\end{aligned}}}$

Los límites superiores explícitos conocidos sin asumir la HR vienen dados por: ^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&<{\frac {12590292\cdot x}{\log ^{236/75}(x)}},\ {\text{ for }}x>\exp(12282.3)\\|M(x)|&<{\frac {0.6437752\cdot x}{\log x}},\ {\text{ for }}x>1.\end{aligned}}}$

Es posible simplificar la expresión anterior en una forma menos restrictiva pero ilustrativa como:

${\displaystyle {\begin{aligned}M(x)=O\left({\frac {x}{\log ^{\pi }(x)}}\right).\end{aligned}}}$

Kotnik da otros límites superiores explícitos (se necesita referencia) como

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&<{\frac {x}{4345}},\ {\text{ for }}x>2160535\\|M(x)|&<{\frac {0.58782\cdot x}{\log ^{11/9}(x)}},\ {\text{ for }}x>685.\end{aligned}}}$

Ver también

• La fórmula de Perron.
• función de liouville

Notas

1. Davenport, H. (noviembre de 1937). "Sobre algunas series infinitas que involucran funciones aritméticas (Ii)". La Revista Trimestral de Matemáticas . Serie Original. 8 (1): 313–320. doi :10.1093/qmath/os-8.1.313.
2. Nathan Ng (25 de octubre de 2018). "La distribución de la función sumatoria de la función de Mobius". arXiv : matemáticas/0310381 .
3. Edwards, cap. 12.2.
4. Lehman, RS (1960). "Sobre la función de Liouville". Matemáticas. Computación . 14 : 311–320.
5. Kanemitsu, S.; Yoshimoto, M. (1996). "La serie de Farey y la hipótesis de Riemann". Acta Aritmética . 75 (4): 351–374. doi : 10.4064/aa-75-4-351-374 .
6. Kotnik, Tadej; van de Lune, Jan (noviembre de 2003). "Más cálculos sistemáticos sobre la función sumatoria de la función de Möbius". Modelado, Análisis y Simulación . MAS-R0313.
7. Hurst, Greg (2016). "Cálculos de la función de Mertens y límites mejorados de la conjetura de Mertens". arXiv : 1610.08551 [matemáticas.NT].
8. Meissel, Ernst (1870). "Ueber die Bestimmung der Primzahlenmenge Innerhalb gegebener Grenzen". Mathematische Annalen (en alemán). 2 (4): 636–642. doi :10.1007/BF01444045. ISSN  0025-5831. S2CID  119828499.
9. Lehmer, Derrick Henry (1 de abril de 1958). "SOBRE EL NÚMERO EXACTO DE PRIMOS MENOS DE UN LÍMITE DADO". Illinois J. Matemáticas . 3 (3): 381–388 . Consultado el 1 de febrero de 2017 .
10. Lagarias, Jeffrey; Miller, Víctor; Odlyzko, Andrew (11 de abril de 1985). "Calculación π ( x ) {\ Displaystyle \ pi (x)}: el método Meissel-Lehmer" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 44 (170): 537–560. doi : 10.1090/S0025-5718-1985-0777285-5 . Consultado el 13 de septiembre de 2016 .
11. Rivat, Joöl; Deléglise, Marc (1996). "Calcular la sumatoria de la función de Möbius". Matemáticas Experimentales . 5 (4): 291–295. doi :10.1080/10586458.1996.10504594. ISSN  1944-950X. S2CID  574146.
12. Helfgott, Harald; Thompson, Lola (2023). "Suma μ ( n ) {\ Displaystyle \ mu (n)}: un algoritmo elemental más rápido". Investigación en Teoría de Números . 9 (1): 6. doi :10.1007/s40993-022-00408-8. ISSN  2363-9555. PMC 9731940 . PMID  36511765. 
13. Lagarias, Jeffrey; Odlyzko, Andrew (junio de 1987). "Computación π ( x ) {\ Displaystyle \ pi (x)}: un método analítico". Revista de algoritmos . 8 (2): 173–191. doi :10.1016/0196-6774(87)90037-X.
14. El Marraki, M. (1995). "Fonction sommatoire de la fonction de Möbius, 3. Mayoraciones asintóticas efectivas fuertes". Journal de théorie des nombres de Bordeaux . 7 (2).

Referencias

• Edwards, Harold (1974). Función Zeta de Riemann . Mineola, Nueva York: Dover. ISBN 0-486-41740-9.
• Mertens, F. (1897). "" Über eine zahlentheoretische Funktion ", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich". Kleine Sitzungsber, IIA . 106 : 761–830.
• Odlyzko, AM ; te Riele, Herman (1985). "Refutación de la conjetura de Mertens" (PDF) . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 357 : 138-160.
• Weisstein, Eric W. "Función de Mertens". MundoMatemático .
• Sloane, NJA (ed.). "Secuencia A002321 (función de Mertens)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
• Deléglise, M. y Rivat, J. "Cálculo de la suma de la función de Möbius". Experimento. Matemáticas. 5, 291-295, 1996. Calcular la suma de la función de Möbius
• Hurst, Greg (2016). "Cálculos de la función de Mertens y límites mejorados de la conjetura de Mertens". arXiv : 1610.08551 [matemáticas.NT].
• Nathan Ng, "La distribución de la función sumatoria de la función de Möbius", Proc. Matemáticas de Londres. Soc. (3) 89 (2004) 361-389. [1]