Producto Euler

En teoría de números , un producto de Euler es una expansión de una serie de Dirichlet en un producto infinito indexado por números primos . El producto original se obtuvo para la suma de todos los números enteros positivos elevados a una determinada potencia , como lo demostró Leonhard Euler . Esta serie y su continuación a todo el plano complejo se conocería más tarde como función zeta de Riemann .

Definición

En general, si a es una función multiplicativa acotada , entonces la serie de Dirichlet

${\displaystyle \sum _{n}{\frac {a(n)}{n^{s}}}\,}$

es igual a

${\displaystyle \prod _{p}P(p,s)\quad {\text{for }}\operatorname {Re} (s)>1.}$

donde el producto se toma de los números primos p , y P ( p , s ) es la suma

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a(p^{k})}{p^{ks}}}=1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+{\frac {a(p^{3})}{p^{3s}}}+\cdots }$

De hecho, si las consideramos funciones generadoras formales , la existencia de una expansión formal del producto de Euler es una condición necesaria y suficiente para que a ( n ) sea multiplicativa: esto dice exactamente que a ( n ) es el producto de a ( p ^k ) siempre que n se factorice como producto de las potencias p ^k de distintos primos p .

Un caso especial importante es aquel en el que a ( n ) es totalmente multiplicativo , de modo que P ( p , s ) es una serie geométrica . Entonces

${\displaystyle P(p,s)={\frac {1}{1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}}},}$

como es el caso de la función zeta de Riemann , donde a ( n ) = 1 , y más generalmente para los caracteres de Dirichlet .

Convergencia

En la práctica, todos los casos importantes son tales que las series infinitas y las expansiones infinitas de productos son absolutamente convergentes en alguna región.

${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>C,}$

es decir, en algún semiplano derecho de los números complejos . Esto ya da cierta información, ya que el producto infinito, para converger, debe dar un valor distinto de cero; por tanto, la función dada por la serie infinita no es cero en dicho semiplano.

En la teoría de formas modulares es típico tener aquí productos de Euler con polinomios cuadráticos en el denominador. La filosofía general de Langlands incluye una explicación comparable de la conexión de polinomios de grado m y la teoría de representación para GL _m .

Ejemplos

Los siguientes ejemplos utilizarán la notación para el conjunto de todos los números primos, es decir: ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \mathbb {P} =\{p\in \mathbb {N} \,|\,p{\text{ is prime}}\}.}$

El producto de Euler adjunto a la función zeta de Riemann ζ ( s ) , también usando la suma de la serie geométrica, es

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)&=\prod _{p\ \in \ \mathbb {P} }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{ks}}}\right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s).\end{aligned}}}$

mientras que para la función de Liouville λ ( n ) = (−1) ^{ω ( n )} , es

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}.}$

Usando sus recíprocos, dos productos de Euler para la función de Möbius μ ( n ) son

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$

y

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}.}$

Tomando la proporción de estos dos da

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1+{\frac {1}{p^{s}}}}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}\right)={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}.}$

Dado que para valores pares de s la función zeta de Riemann ζ ( s ) tiene una expresión analítica en términos de un múltiplo racional de π ^s , entonces para exponentes pares, este producto infinito se evalúa como un número racional. Por ejemplo, dado que ζ (2) =π ²/6, ζ (4) =π ⁴/90, y ζ (8) =π ⁸/9450, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}\right)&={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {10}{8}}\cdot {\frac {26}{24}}\cdot {\frac {50}{48}}\cdot {\frac {122}{120}}\cdots &={\frac {\zeta (2)^{2}}{\zeta (4)}}&={\frac {5}{2}},\\[6pt]\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{4}+1}{p^{4}-1}}\right)&={\frac {17}{15}}\cdot {\frac {82}{80}}\cdot {\frac {626}{624}}\cdot {\frac {2402}{2400}}\cdots &={\frac {\zeta (4)^{2}}{\zeta (8)}}&={\frac {7}{6}},\end{aligned}}}$

y así sucesivamente, con el primer resultado conocido por Ramanujan . Esta familia de productos infinitos también es equivalente a

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {2}{p^{s}}}+{\frac {2}{p^{2s}}}+\cdots \right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}},}$

donde ω ( n ) cuenta el número de factores primos distintos de n , y 2 ^{ω ( n )} es el número de divisores sin cuadrados .

Si χ ( n ) es un carácter de Dirichlet del conductor N , de modo que χ (n) es totalmente multiplicativo y χ ( n ) sólo depende de n mod N , y χ ( n ) = 0 si n no es coprimo de N , entonces

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }{\frac {1}{1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

Aquí es conveniente omitir los números primos p que dividen al conductor N del producto. En sus cuadernos, Ramanujan generalizó el producto de Euler para la función zeta como

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(x-{\frac {1}{p^{s}}}\right)\approx {\frac {1}{\operatorname {Li} _{s}(x)}}}$

para s > 1 donde Li _s ( x ) es el polilogaritmo . Para x = 1 el producto anterior es solo1/ζ ( s ).

Constantes notables

Muchas constantes conocidas tienen expansiones de productos de Euler.

La fórmula de Leibniz para π

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

puede interpretarse como una serie de Dirichlet utilizando el (único) carácter de Dirichlet módulo 4 y convertirse en un producto de Euler de razones superparticulares (fracciones donde el numerador y el denominador difieren en 1):

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,}$

donde cada numerador es un número primo y cada denominador es el múltiplo de 4 más cercano. ^[1]

Otros productos de Euler para constantes conocidas incluyen:

• La constante prima gemela de Hardy-Littlewood :

${\displaystyle \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=0.660161...}$

• La constante de Landau-Ramanujan :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}&=0.764223...\\[6pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=0.764223...\end{aligned}}}$

• Constante de Murata (secuencia A065485 en la OEIS ):

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=2.826419...}$

• La constante fuertemente despreocupada × ζ (2) ² OEIS : A065472 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{\left(p+1\right)^{2}}}\right)=0.775883...}$

• Constante de Artin OEIS : A005596 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.373955...}$

• Constante del paciente de Landau OEIS : A082695 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1.943596...}$

• La constante despreocupada × ζ (2) OEIS : A065463 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p+1)}}\right)=0.704442...}$

y su recíproco OEIS : A065489 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}+p-1}}\right)=1.419562...}$

• La constante de Feller-Tornier OEIS : A065493 :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\prod _{p}\left(1-{\frac {2}{p^{2}}}\right)=0.661317...}$

• La constante de número de clase cuadrática OEIS : A065465 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}(p+1)}}\right)=0.881513...}$

• La constante sumatoria del totient OEIS : A065483 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784...}$

• Constante de Sarnak OEIS : A065476 :

${\displaystyle \prod _{p>2}\left(1-{\frac {p+2}{p^{3}}}\right)=0.723648...}$

• La constante despreocupada OEIS : A065464 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {2p-1}{p^{3}}}\right)=0.428249...}$

• La constante fuertemente despreocupada OEIS : A065473 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {3p-2}{p^{3}}}\right)=0.286747...}$

• OEIS constante de Stephens : A065478 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {p}{p^{3}-1}}\right)=0.575959...}$

• Constante de Barban OEIS : A175640 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {3p^{2}-1}{p(p+1)\left(p^{2}-1\right)}}\right)=2.596536...}$

• OEIS constante de Taniguchi : A175639 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {3}{p^{3}}}+{\frac {2}{p^{4}}}+{\frac {1}{p^{5}}}-{\frac {1}{p^{6}}}\right)=0.678234...}$

• La constante de Heath-Brown y Moroz OEIS : A118228 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{7}\left(1+{\frac {7p+1}{p^{2}}}\right)=0.0013176...}$

Notas

1. Debnath, Lokenath (2010), El legado de Leonhard Euler: un tributo al tricentenario, World Scientific, p. 214, ISBN 9781848165267.

Referencias

• G. Polya , Inducción y analogía en matemáticas Volumen 1 Princeton University Press (1954) LC Card 53-6388 (Una traducción al inglés muy accesible de las memorias de Euler sobre esta "Más extraordinaria ley de los números" aparece a partir de la página 91)
• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, SEÑOR  0434929, Zbl  0335.10001 (Proporciona una discusión introductoria sobre el producto de Euler en el contexto de la teoría de números clásica).
• GH Hardy y EM Wright , Introducción a la teoría de números , 5.ª ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0 (el capítulo 17 ofrece más ejemplos). 
• George E. Andrews, Bruce C. Berndt, El cuaderno perdido de Ramanujan: Parte I , Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X 
• G. Niklasch, Algunas constantes teóricas numéricas: valores de 1000 dígitos"

enlaces externos

• Este artículo incorpora material del producto Euler en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Stepanov, SA (2001) [1994], "Producto de Euler", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Producto Euler". MundoMatemático .
• Niklasch, G. (23 de agosto de 2002). "Algunas constantes de la teoría de números". Archivado desde el original el 12 de junio de 2006.