La conjetura de Artin sobre las raíces primitivas

En teoría de números , la conjetura de Artin sobre las raíces primitivas establece que un entero dado a que no es ni un número cuadrado ni −1 es una raíz primitiva módulo infinitos primos p . La conjetura también atribuye una densidad asintótica a estos primos. Esta densidad conjetural es igual a la constante de Artin o a un múltiplo racional de esta.

La conjetura fue formulada por Emil Artin a Helmut Hasse el 27 de septiembre de 1927, según el diario de este último. La conjetura sigue sin resolverse en 2024. De hecho, no existe ningún valor de a para el que se haya demostrado la conjetura de Artin.

Formulación

Sea a un entero que no sea un número cuadrado ni −1. Escriba a  =  a ₀ b ² con a ₀ sin cuadrados . Denote por S ( a ) el conjunto de números primos p tales que a es una raíz primitiva módulo p . Entonces la conjetura establece

1. S ( a ) tiene una densidad asintótica positiva dentro del conjunto de primos. En particular, S ( a ) es infinito.
2. Bajo las condiciones de que a no es una potencia perfecta y que a ₀ no es congruente con 1 módulo 4 (secuencia A085397 en la OEIS ), esta densidad es independiente de a y es igual a la constante de Artin , que puede expresarse como un producto infinito

   ${\displaystyle C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ \mathrm {prime} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.3739558136\ldots }$(secuencia A005596 en la OEIS ).

Existen fórmulas de producto conjetural similares ^{[1] para la densidad cuando} a no satisface las condiciones anteriores. En estos casos, la densidad conjetural es siempre un múltiplo racional de C _Artin .

Ejemplo

Por ejemplo, tomemos a = 2. La conjetura afirma que el conjunto de primos p para los cuales 2 es una raíz primitiva tiene la densidad anterior C _Artin . El conjunto de tales primos es (secuencia A001122 en la OEIS )

S (2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, ...}.

Tiene 38 elementos menores que 500 y hay 95 primos menores que 500. La relación (que conjeturalmente tiende a C _Artin ) es 38/95 = 2/5 = 0,4.

Resultados parciales

En 1967, Christopher Hooley publicó una prueba condicional de la conjetura, asumiendo ciertos casos de la hipótesis de Riemann generalizada . ^[2]

Sin la hipótesis generalizada de Riemann, no existe un único valor de a para el cual se demuestre la conjetura de Artin. DR Heath-Brown demostró en 1986 (Corolario 1) que al menos uno de 2, 3 o 5 es una raíz primitiva módulo infinitos primos p . ^[3] También demostró (Corolario 2) que hay como máximo dos primos para los cuales la conjetura de Artin falla.

Algunas variaciones del problema de Artin

Curva elíptica

Una curva elíptica dada por Lang y Trotter dio una conjetura para puntos racionales análoga a la conjetura de raíz primitiva de Artin. ^[4] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$ ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$

En concreto, dijeron que existe una constante para un punto dado de orden infinito en el conjunto de puntos racionales tal que el número de primos ( ) para el cual la reducción del punto denotado por genera todo el conjunto de puntos en en , denotado por , está dado por . ^[5] Aquí excluimos los primos que dividen los denominadores de las coordenadas de . ${\displaystyle C_{E}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle N(P)}$ ${\displaystyle p\leq x}$ ${\displaystyle P{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle {\bar {P}}}$ ${\displaystyle \mathbb {F_{p}} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {E}}(\mathbb {F_{p}} )}$ ${\displaystyle N(P)\sim C_{E}\left({\frac {x}{\log x}}\right)}$ ${\displaystyle P}$

Gupta y Murty demostraron la conjetura de Lang y Trotter para la multiplicación compleja bajo la hipótesis de Riemann generalizada, para primos que se descomponen en el campo cuadrático imaginario relevante. [6] ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$

Orden uniforme

Krishnamurty propuso la pregunta de con qué frecuencia el período de la expansión decimal de un primo es par. ${\displaystyle 1/p}$ ${\displaystyle p}$

La afirmación es que el período de la expansión decimal de un primo en base es par si y sólo si donde y es único y p es tal que . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{\left({\frac {p-1}{2^{j}}}\right)}\not \equiv 1{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle j\geq 1}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p\equiv 1+2^{j}\mod {2^{j}}}$

El resultado fue demostrado por Hasse en 1966. ^{[4] [7]}

Véase también

• La constante de Stephens , un número que desempeña el mismo papel en una generalización de la conjetura de Artin que el que desempeña aquí la constante de Artin.
• Conjetura de Brown-Zassenhaus
• Primera repetición completa
• Número cíclico (teoría de grupos)

Referencias

1. Michón, Gerard P. (15 de junio de 2006). "La constante de Artin". Numérica .
2. Hooley, Christopher (1967). "Sobre la conjetura de Artin". J. Reine Angew. Matemáticas . 1967 (225): 209–220. doi :10.1515/crll.1967.225.209. MR  0207630. S2CID  117943829.
3. DR Heath-Brown (marzo de 1986). "Conjetura de Artin sobre raíces primitivas". The Quarterly Journal of Mathematics . 37 (1): 27–38. doi :10.1093/qmath/37.1.27.
4. Moree, Pieter. "La conjetura de la raíz primitiva de Artin: un estudio" (PDF) .
5. Lang y 2 Trotter (1977). "Puntos primitivos en curvas elípticas" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 83 (2): 289–292. doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14310-3 .{{cite journal}}: CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
6. Gupta y Murty (1987). "Puntos primitivos en curvas elípticas". Compositio Mathematica . 58 : 13–44.
7. Hasse, H (1966). "Acerca de la densidad de números primos p, para un número entero dado a distinto de 0 de orden par o impar módulo p". Mathematische Annalen : 19–23. doi :10.1007/BF01361432. S2CID  121171472.