Orden promedio de una función aritmética

En teoría de números , un orden promedio de una función aritmética es una función más simple o mejor entendida que toma los mismos valores "en promedio".

Sea una función aritmética . Decimos que un orden medio de es si tiende a infinito. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)}$$ ${\displaystyle x}$

Lo habitual es elegir una función de aproximación que sea continua y monótona , pero aun así, un orden medio no es, por supuesto, único. ${\displaystyle g}$

En los casos en que el límite $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n\leq N}f(n)=c}$$

existe, se dice que tiene un valor medio ( valor promedio ) . Si además la constante no es cero, entonces la función constante es un orden promedio de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle g(x)=c}$ ${\displaystyle f}$

Ejemplos

• Un orden promedio de d ( n ) , el número de divisores de n , es log n ;
• Un orden promedio de σ ( n ) , la suma de los divisores de n , es n π ²  /  6 ;
• Un orden promedio de φ ( n ) , la función totiente de Euler de n , es 6 n  /  π ² ;
• Un orden promedio de r ( n ) , el número de formas de expresar n como suma de dos cuadrados, es π ;
• El orden medio de representaciones de un número natural como suma de tres cuadrados es 4π n  /  3 ;
• El número promedio de descomposiciones de un número natural en una suma de uno o más números primos consecutivos es n log2 ;
• Un orden promedio de ω ( n ) , el número de factores primos distintos de n , es loglog n ;
• Un orden promedio de Ω( n ) , el número de factores primos de n , es loglog n ;
• El teorema de los números primos es equivalente a la afirmación de que la función de von Mangoldt Λ( n ) tiene orden promedio 1;
• Un valor promedio de μ ( n ) , la función de Möbius , es cero; esto nuevamente es equivalente al teorema de los números primos .

Cálculo de valores medios mediante series de Dirichlet

En caso de que sea de la forma para alguna función aritmética , se tiene, ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F(n)=\sum _{d\mid n}f(d),}$$ ${\displaystyle f(n)}$

Las identidades generalizadas de la forma anterior se encuentran aquí . Esta identidad a menudo proporciona una forma práctica de calcular el valor medio en términos de la función zeta de Riemann . Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

La densidad de laaEl-enteros libres de potencias en ℕ

Para un entero, el conjunto de enteros libres de k - ^{ésima potencia} es ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle Q_{k}}$ $${\displaystyle Q_{k}:=\{n\in \mathbb {Z} \mid n{\text{ is not divisible by }}d^{k}{\text{ for any integer }}d\geq 2\}.}$$

Calculamos la densidad natural de estos números en ℕ, es decir, el valor promedio de , denotado por , en términos de la función zeta . ${\displaystyle 1_{Q_{k}}}$ ${\displaystyle \delta (n)}$

La función es multiplicativa, y como está acotada por 1, su serie de Dirichlet converge absolutamente en el semiplano , y existe producto de Euler ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$ $${\displaystyle \sum _{Q_{k}}n^{-s}=\sum _{n}\delta (n)n^{-s}=\prod _{p}\left(1+p^{-s}+\cdots +p^{-s(k-1)}\right)=\prod _{p}\left({\frac {1-p^{-sk}}{1-p^{-s}}}\right)={\frac {\zeta (s)}{\zeta (sk)}}.}$$

Mediante la fórmula de inversión de Möbius , obtenemos donde representa la función de Möbius . De manera equivalente, donde y por lo tanto, $${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (ks)}}=\sum _{n}\mu (n)n^{-ks},}$$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (ks)}}=\sum _{n}f(n)n^{-s},}$$ ${\displaystyle f(n)={\begin{cases}\mu (d)&n=d^{k}\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$ $${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (sk)}}=\sum _{n}\left(\sum _{d\mid n}f(d)\right)n^{-s}.}$$

Comparando los coeficientes, obtenemos $${\displaystyle \delta (n)=\sum _{d\mid n}f(d).}$$

Usando (1) , obtenemos $${\displaystyle \sum _{d\leq x}\delta (d)=x\sum _{d\leq x}(f(d)/d)+O(x^{1/k}).}$$

Concluimos que para ello utilizamos la relación que se desprende de la fórmula de inversión de Möbius. $${\displaystyle \sum _{\stackrel {n\in Q_{k}}{n\leq x}}1={\frac {x}{\zeta (k)}}+O(x^{1/k}),}$$ $${\displaystyle \sum _{n}(f(n)/n)=\sum _{n}f(n^{k})n^{-k}=\sum _{n}\mu (n)n^{-k}={\frac {1}{\zeta (k)}},}$$

En particular, la densidad de los números enteros libres de cuadrados es . ${\textstyle \zeta (2)^{-1}={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$

Visibilidad de los puntos de la red

Decimos que dos puntos reticulares son visibles uno desde el otro si no hay ningún punto reticular en el segmento de línea abierto que los une.

Ahora bien, si mcd( a , b ) = d > 1 , entonces escribiendo a = da ² , b = db ² se observa que el punto ( a ² , b ² ) está en el segmento de línea que une (0,0) a ( a , b ) y por lo tanto ( a , b ) no es visible desde el origen. Por lo tanto, ( a , b ) es visible desde el origen implica que ( a , b ) = 1. A la inversa, también es fácil ver que mcd( a , b ) = 1 implica que no hay otro punto reticular entero en el segmento que une (0,0) a ( a , b ). Por lo tanto, ( a , b ) es visible desde (0,0) si y solo si mcd( a , b ) = 1.

Tenga en cuenta que es la probabilidad de que un punto aleatorio en el cuadrado sea visible desde el origen. ${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n}}}$ ${\displaystyle \{(r,s)\in \mathbb {N} :\max(|r|,|s|)=n\}}$

De esta manera, se puede demostrar que la densidad natural de los puntos visibles desde el origen está dada por el promedio, $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n\leq N}{\frac {\varphi (n)}{n}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}.}$$

${\textstyle {\frac {1}{\zeta (2)}}}$es también la densidad natural de los números libres al cuadrado en ℕ. De hecho, esto no es una coincidencia. Consideremos la red k -dimensional, . La densidad natural de los puntos que son visibles desde el origen es , que es también la densidad natural de los k -ésimos enteros libres en ℕ. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{k}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\zeta (k)}}}$

Funciones divisorias

Consideremos la generalización de : ${\displaystyle d(n)}$ $${\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }.}$$

Son verdaderas las siguientes: donde . $${\displaystyle \sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)={\begin{cases}\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)={\frac {\zeta (\alpha +1)}{\alpha +1}}x^{\alpha +1}+O(x^{\beta })&{\text{if }}\alpha >0,\\\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{-1}(n)=\zeta (2)x+O(\log x)&{\text{if }}\alpha =-1,\\\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)=\zeta (-\alpha +1)x+O(x^{\max(0,1+\alpha )})&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \beta =\max(1,\alpha )}$

Mejor orden promedio

Esta noción se analiza mejor mediante un ejemplo. De ( es la constante de Euler-Mascheroni ) y tenemos la relación asintótica que sugiere que la función es una mejor opción de orden promedio para que simplemente . $${\displaystyle \sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+o(x)}$$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \sum _{n\leq x}\log n=x\log x-x+O(\log x),}$$ $${\displaystyle \sum _{n\leq x}(d(n)-(\log n+2\gamma ))=o(x)\quad (x\to \infty ),}$$ ${\displaystyle \log n+2\gamma }$ ${\displaystyle d(n)}$ ${\displaystyle \log n}$

Valores medios superioresF q [ x ]

Definición

Sea h ( x ) una función sobre el conjunto de polinomios mónicos sobre F q . Para definimos ${\displaystyle n\geq 1}$ $${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(h)={\frac {1}{q^{n}}}\sum _{f{\text{ monic}},\deg(f)=n}h(f).}$$

Este es el valor medio (valor promedio) de h en el conjunto de polinomios mónicos de grado n . Decimos que g ( n ) es un orden promedio de h si cuando n tiende a infinito. $${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(h)\sim g(n)}$$

En los casos en que existe el límite , se dice que h tiene un valor medio ( valor promedio ) c . $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\text{Ave}}_{n}(h)=c}$$

Función zeta y serie de Dirichlet enFq [X ]

Sea F _q [ X ] = A el anillo de polinomios sobre el cuerpo finito F _q .

Sea h una función aritmética polinómica (es decir, una función sobre un conjunto de polinomios mónicos sobre A ). Su serie de Dirichlet correspondiente se define como donde para , establece si , y en caso contrario. $${\displaystyle D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},}$$ ${\displaystyle g\in A}$ ${\displaystyle |g|=q^{\deg(g)}}$ ${\displaystyle g\neq 0}$ ${\displaystyle |g|=0}$

La función zeta polinómica es entonces $${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.}$$

De manera similar a la situación en N , cada serie de Dirichlet de una función multiplicativa h tiene una representación de producto (producto de Euler): donde el producto recorre todos los polinomios mónicos irreducibles P. $${\displaystyle D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n=0}^{\infty }h(P^{n})\left|P\right|^{-sn}\right),}$$

Por ejemplo, la representación del producto de la función zeta es como para los números enteros: . ${\textstyle \zeta _{A}(s)=\prod _{P}\left(1-\left|P\right|^{-s}\right)^{-1}}$

A diferencia de la función zeta clásica , es una función racional simple: ${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$ $${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f}(|f|^{-s})=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.}$$

De manera similar, si f y g son dos funciones aritméticas polinómicas, se define f  *  g , la convolución de Dirichlet de f y g , por donde la suma se extiende sobre todos los divisores mónicos d de  m , o equivalentemente sobre todos los pares ( a , b ) de polinomios mónicos cuyo producto es m . La identidad sigue siendo válida. Por lo tanto, como en la teoría elemental, la serie polinómica de Dirichlet y la función zeta tienen una conexión con la noción de valores medios en el contexto de los polinomios. Los siguientes ejemplos lo ilustran. $${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(m)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle D_{h}D_{g}=D_{h*g}}$

Ejemplos

La densidad de laa-ésimos polinomios libres de potencia enFq [X _]

Defina como 1 si la k -ésima potencia es libre y 0 en caso contrario. ${\displaystyle \delta (f)}$ ${\displaystyle f}$

Calculamos el valor promedio de , que es la densidad de los polinomios libres de potencia k en F _q [X] , de la misma manera que en los números enteros. ${\displaystyle \delta }$

Por multiplicidad de : ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle \sum _{f}{\frac {\delta (f)}{|f|^{s}}}=\prod _{P}\left(\sum _{j=0}^{k-1}(|P|^{-js})\right)=\prod _{P}{\frac {1-|P|^{-sk}}{1-|P|^{-s}}}={\frac {\zeta _{A}(s)}{\zeta _{A}(sk)}}={\frac {1-q^{1-ks}}{1-q^{1-s}}}={\frac {\zeta _{A}(s)}{\zeta _{A}(ks)}}}$$

Denotamos el número de polinomios mónicos de potencia k de grado n , obtenemos ${\displaystyle b_{n}}$ $${\displaystyle \sum _{f}{\frac {\delta (f)}{|f|^{s}}}=\sum _{n}\sum _{{\text{def}}f=n}\delta (f)|f|^{-s}=\sum _{n}b_{n}q^{-sn}.}$$

Haciendo la sustitución obtenemos: ${\displaystyle u=q^{-s}}$ $${\displaystyle {\frac {1-qu^{k}}{1-qu}}=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}u^{n}.}$$

Finalmente, expanda el lado izquierdo de una serie geométrica y compare los coeficientes en ambos lados, para concluir que ${\displaystyle u^{n}}$ $${\displaystyle b_{n}={\begin{cases}q^{n}&n\leq k-1\\q^{n}(1-q^{1-k})&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Por eso, $${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(\delta )=1-q^{1-k}={\frac {1}{\zeta _{A}(k)}}}$$

Y como no depende de n este es también el valor medio de . ${\displaystyle \delta (f)}$

Funciones divisorias de polinomios

En F _q [X] , definimos $${\displaystyle \sigma _{k}(m)=\sum _{f|m,{\text{ monic}}}|f|^{k}.}$$

Calcularemos para . ${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(\sigma _{k})}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

Primero, observe que donde y . $${\displaystyle \sigma _{k}(m)=h*\mathbb {I} (m)}$$ ${\displaystyle h(f)=|f|^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {I} (f)=1\;\;\forall {f}}$

Por lo tanto, $${\displaystyle \sum _{m}\sigma _{k}(m)|m|^{-s}=\zeta _{A}(s)\sum _{m}h(m)|m|^{-s}.}$$

Sustituimos y obtenemos por producto de Cauchy , ${\displaystyle q^{-s}=u}$ $${\displaystyle {\text{LHS}}=\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}\sigma _{k}(m)\right)u^{n},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{RHS}}&=\sum _{n}q^{n(1-s)}\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}h(m)\right)u^{n}\\&=\sum _{n}q^{n}u^{n}\sum _{l}q^{l}q^{lk}u^{l}\\&=\sum _{n}\left(\sum _{j=0}^{n}q^{n-j}q^{jk+j}\right)\\&=\sum _{n}\left(q^{n}\left({\frac {1-q^{k(n+1)}}{1-q^{k}}}\right)\right)u^{n}.\end{aligned}}}$$

Finalmente lo entendemos, $${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}\sigma _{k}={\frac {1-q^{k(n+1)}}{1-q^{k}}}.}$$

Tenga en cuenta que $${\displaystyle q^{n}{\text{Ave}}_{n}\sigma _{k}=q^{n(k+1)}\left({\frac {1-q^{-k(n+1)}}{1-q^{-k}}}\right)=q^{n(k+1)}\left({\frac {\zeta (k+1)}{\zeta (kn+k+1)}}\right)}$$

Por lo tanto, si establecemos entonces el resultado anterior se lee de manera similar al resultado análogo para los números enteros: ${\displaystyle x=q^{n}}$ $${\displaystyle \sum _{\deg(m)=n,m{\text{ monic}}}\sigma _{k}(m)=x^{k+1}\left({\frac {\zeta (k+1)}{\zeta (kn+k+1)}}\right)}$$ $${\displaystyle \sum _{n\leq x}\sigma _{k}(n)={\frac {\zeta (k+1)}{k+1}}x^{k+1}+O(x^{k})}$$

Número de divisores

Sea el número de divisores mónicos de f y sea la suma de todos los mónicos de grado n. donde . ${\displaystyle d(f)}$ ${\displaystyle D(n)}$ ${\displaystyle d(f)}$ $${\displaystyle \zeta _{A}(s)^{2}=\left(\sum _{h}|h|^{-s}\right)\left(\sum _{g}|g|^{-s}\right)=\sum _{f}\left(\sum _{hg=f}1\right)|f|^{-s}=\sum _{f}d(f)|f|^{-s}=D_{d}(s)=\sum _{n=0}^{\infty }D(n)u^{n}}$$ ${\displaystyle u=q^{-s}}$

Desarrollando el lado derecho en series de potencias obtenemos, $${\displaystyle D(n)=(n+1)q^{n}.}$$

Sustituir la ecuación anterior se convierte en: que se asemeja mucho al resultado análogo para números enteros , donde es la constante de Euler . ${\displaystyle x=q^{n}}$ $${\displaystyle D(n)=x\log _{q}(x)+x}$$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}d(k)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})}$ ${\displaystyle \gamma }$

No se sabe mucho acerca del término de error para los números enteros, mientras que en el caso de los polinomios no existe tal término. Esto se debe a la naturaleza muy simple de la función zeta y a que no tiene ceros. ${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$

Función polinomio de von Mangoldt

La función polinomial de von Mangoldt se define por: donde el logaritmo se toma en base a q . $${\displaystyle \Lambda _{A}(f)={\begin{cases}\log |P|&{\text{if }}f=|P|^{k}{\text{ for some prime monic}}P{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Proposición. El valor medio de es exactamente 1 . ${\displaystyle \Lambda _{A}}$

Demostración. Sea m un polinomio mónico y sea la descomposición prima de m . ${\textstyle m=\prod _{i=1}^{l}P_{i}^{e_{i}}}$

Tenemos, $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{f|m}\Lambda _{A}(f)&=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{l})|0\leq i_{j}\leq e_{j}}\Lambda _{A}\left(\prod _{j=1}^{l}P_{j}^{i_{j}}\right)=\sum _{j=1}^{l}\sum _{i=1}^{e_{i}}\Lambda _{A}(P_{j}^{i})\\&=\sum _{j=1}^{l}\sum _{i=1}^{e_{i}}\log |P_{j}|\\&=\sum _{j=1}^{l}e_{j}\log |P_{j}|=\sum _{j=1}^{l}\log |P_{j}|^{e_{j}}\\&=\log \left|\left(\prod _{i=1}^{l}P_{i}^{e_{i}}\right)\right|\\&=\log(m)\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, y lo obtenemos, $${\displaystyle \mathbb {I} \cdot \Lambda _{A}(m)=\log |m|}$$ $${\displaystyle \zeta _{A}(s)D_{\Lambda _{A}}(s)=\sum _{m}\log \left|m\right|\left|m\right|^{-s}.}$$

Ahora, $${\displaystyle \sum _{m}|m|^{s}=\sum _{n}\sum _{\deg m=n}u^{n}=\sum _{n}q^{n}u^{n}=\sum _{n}q^{n(1-s)}.}$$

De este modo, $${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\sum _{m}|m|^{s}=-\sum _{n}\log(q^{n})q^{n(1-s)}=-\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}\log(q^{n})q^{-ns}=-\sum _{f}\log \left|f\right|\left|f\right|^{-s}.}$$

Lo conseguimos: $${\displaystyle D_{\Lambda _{A}}(s)={\frac {-\zeta '_{A}(s)}{\zeta _{A}(s)}}}$$

Ahora, $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m}\Lambda _{A}(m)|m|^{-s}&=\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)q^{-sm}\right)=\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)\right)u^{n}\\&={\frac {-\zeta '_{A}(s)}{\zeta _{A}(s)}}={\frac {q^{1-s}\log(q)}{1-q^{1-s}}}\\&=\log(q)\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}u^{n}\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, y dividiendo por obtenemos que, $${\displaystyle \sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)=q^{n}\log(q),}$$ ${\displaystyle q^{n}}$ $${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}\Lambda _{A}(m)=\log(q)=1.}$$

Función totiente de Euler polinómica

Definamos el análogo polinómico de la función totiente de Euler , , como el número de elementos en el grupo . Tenemos, ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (A/fA)^{*}}$ $${\displaystyle \sum _{\deg f=n,f{\text{ monic}}}\Phi (f)=q^{2n}(1-q^{-1}).}$$

Véase también

• Función sumatoria divisoria
• Orden normal de una función aritmética
• Órdenes extremos de una función aritmética
• Identidades de suma de divisores

Referencias

• Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Introducción a la teoría de números . Revisado por DR Heath-Brown y JH Silverman . Prólogo de Andrew Wiles . (6.ª ed.). Oxford: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921986-5.MR 2445243.Zbl 1159.11001  . ​ págs. 347–360
• Gérald Tenenbaum (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 46. Cambridge University Press . pp. 36–55. ISBN. 0-521-41261-7.Zbl 0831.11001  .
• Tom M. Apostol (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Springer Undergraduate Texts in Mathematics , ISBN 0-387-90163-9
• Michael Rosen (2000), Teoría de números en campos de funciones , Springer Graduate Texts In Mathematics, ISBN 0-387-95335-3
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2006), Teoría de números multiplicativos , Cambridge University Press, ISBN 978-0521849036
• Michael Baakea; Robert V. Moodyb; Peter AB Pleasantsc (2000), Difracción a partir de puntos de red visibles y enteros libres de potencia k , Discrete Mathematics- Journal