Espacio estratificado de Thom-Mather

En topología , una rama de las matemáticas, un espacio estratificado abstracto o un espacio estratificado de Thom-Mather es un espacio topológico X que ha sido descompuesto en piezas llamadas estratos ; estos estratos son múltiples y deben encajar entre sí de cierta manera. Los espacios estratificados de Thom-Mather proporcionan un entorno puramente topológico para el estudio de singularidades análogas a la teoría más diferencial-geométrica de Whitney . Fueron introducidos por René Thom , quien demostró que todo espacio estratificado de Whitney era también un espacio topológicamente estratificado, con los mismos estratos. John Mather dio otra prueba en 1970, inspirado en la prueba de Thom.

Los ejemplos básicos de espacios estratificados de Thom-Mather incluyen variedades con límite (dimensión superior y límite de codimensión 1) y variedades con esquinas (dimensión superior, límite de codimensión 1, límite de codimensión 2), variedades analíticas reales o complejas o espacios de órbita de grupos de transformación suaves. .

Definición

Un espacio estratificado de Thom-Mather es un triple donde es un espacio topológico (a menudo requerimos que sea localmente compacto , Hausdorff y segundo contable ), es una descomposición en estratos, ${\displaystyle (V,{\mathcal {S}},{\mathfrak {J}})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=\bigsqcup _{X\in {\mathcal {S}}}X,}$

y es el conjunto de datos de control donde es una vecindad abierta del estrato (llamada vecindad tubular), es una retracción continua y es una función continua. Estos datos deben cumplir las siguientes condiciones. ${\displaystyle {\mathfrak {J}}}$ ${\displaystyle \{(T_{X}),(\pi _{X}),(\rho _{X})\ |X\in S\}}$ ${\displaystyle T_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{X}:T_{X}\to X}$ ${\displaystyle \rho _{X}:T_{X}\to [0,+\infty )}$

1. Cada estrato es un subconjunto localmente cerrado y la descomposición es localmente finita . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$
2. La descomposición satisface el axioma de la frontera: si y , entonces . Esta condición implica que existe un orden parcial entre estratos: si y sólo si y . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle Y\cap {\overline {X}}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle Y\subseteq {\overline {X}}}$ ${\displaystyle Y<X}$ ${\displaystyle Y\subset {\overline {X}}}$ ${\displaystyle Y\neq X}$
3. Cada estrato es una variedad suave. ${\displaystyle X}$
4. ${\displaystyle X=\{v\in T_{X}\ |\ \rho _{X}(v)=0\}}$. Entonces puede verse como la función de distancia desde el estrato . ${\displaystyle \rho _{X}}$ ${\displaystyle X}$
5. Para cada par de estratos , la restricción es una inmersión . ${\displaystyle Y<X}$ ${\displaystyle (\pi _{Y},\rho _{Y}):T_{Y}\cap X\to Y\times (0,+\infty )}$
6. Para cada par de estratos , se cumple y (ambos sobre el dominio común de ambos lados de la ecuación). ${\displaystyle Y<X}$ ${\displaystyle \pi _{Y}\circ \pi _{X}=\pi _{Y}}$ ${\displaystyle \rho _{Y}\circ \pi _{X}=\rho _{Y}}$

Ejemplos

Una de las motivaciones originales para los espacios estratificados fue la descomposición de espacios singulares en trozos suaves. Por ejemplo, dada una variedad singular , existe una subvariedad naturalmente definida, que es el locus singular. Puede que esta no sea una variedad uniforme, por lo que tomar el lugar de singularidad iterado eventualmente dará como resultado una estratificación natural. ^{[ cita necesaria ]} Un ejemplo algebreo-geométrico simple es la hipersuperficie singular ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {Sing} (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {Sing} (\mathrm {Sing} (X))}$

      ${\displaystyle {\text{Spec}}\left(\mathbb {C} [x,y,z]/\left(x^{4}+y^{4}+z^{4}\right)\right)\xleftarrow {(0,0,0)} {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$

¿Dónde está el espectro principal ? ${\displaystyle {\text{Spec}}(-)}$

Ver también

• Teoría de la singularidad
• condiciones de whitney
• estratifold
• Homología de intersección
• El primer lema de isotopía de Thom
• espacio estratificado

Referencias

• Goresky, Mark ; MacPherson, Robert Teoría Morse estratificada , Springer-Verlag, Berlín, 1988.
• Goresky, Mark ; MacPherson, Robert Homología de intersección II , Invent. Matemáticas. 72 (1983), núm. 1, 77--129.
• Mather, J. Notas sobre estabilidad topológica , Universidad de Harvard, 1970.
• Thom, R. Ensembles et morphismes stratifiés , Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense 75 (1969), págs.240-284.
• Weinberger, Shmuel (1994). La clasificación topológica de los espacios estratificados. Conferencias de Matemáticas de Chicago. Chicago, IL: Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 9780226885667.