En topología diferencial , una rama de las matemáticas , las condiciones de Whitney son condiciones sobre un par de subvariedades de una variedad introducidas por Hassler Whitney en 1965.
Una estratificación de un espacio topológico es una filtración finita por subconjuntos cerrados F i , de modo que la diferencia entre los miembros sucesivos F i y F ( i − 1) de la filtración está vacía o es una subvariedad suave de dimensión i . Los componentes conexos de la diferencia F i − F ( i − 1) son los estratos de dimensión i . Una estratificación se denomina estratificación de Whitney si todos los pares de estratos satisfacen las condiciones de Whitney A y B, como se define a continuación.
Sean X e Y dos subvariedades disjuntas ( localmente cerradas ) de R n , de dimensiones i y j .
John Mather fue el primero en señalar que la condición B de Whitney implica la condición A de Whitney en las notas de sus conferencias en Harvard en 1970, que han sido ampliamente difundidas. También definió la noción de espacio estratificado de Thom-Mather y demostró que toda estratificación de Whitney es un espacio estratificado de Thom-Mather y, por lo tanto, es un espacio estratificado topológicamente . Otro enfoque de este resultado fundamental fue dado anteriormente por René Thom en 1969.
David Trotman demostró en su tesis de Warwick de 1977 que una estratificación de un subconjunto cerrado en una variedad suave M satisface la condición de Whitney A si y solo si el subespacio del espacio de aplicaciones suaves de una variedad suave N en M que consiste en todas aquellas aplicaciones que son transversales a todos los estratos de la estratificación, es abierto (usando la topología de Whitney, o fuerte). El subespacio de aplicaciones transversales a cualquier familia numerable de subvariedades de M siempre es denso por el teorema de transversalidad de Thom . La densidad del conjunto de aplicaciones transversales a menudo se interpreta diciendo que la transversalidad es una propiedad "genérica" para las aplicaciones suaves, mientras que la apertura a menudo se interpreta diciendo que la propiedad es "estable".
La razón por la que las condiciones de Whitney se han vuelto tan ampliamente utilizadas es debido al teorema de Whitney de 1965 que establece que cada variedad algebraica, o incluso variedad analítica, admite una estratificación de Whitney, es decir, admite una partición en subvariedades suaves que satisfacen las condiciones de Whitney. A los espacios singulares más generales se les pueden dar estratificaciones de Whitney, como los conjuntos semialgebraicos (debido a René Thom ) y los conjuntos subanalíticos (debido a Heisuke Hironaka ). Esto ha llevado a su uso en ingeniería, teoría de control y robótica. En una tesis bajo la dirección de Wieslaw Pawlucki en la Universidad Jagellonian en Cracovia, Polonia, el matemático vietnamita Ta Lê Loi demostró además que a cada conjunto definible en una estructura o-minimal se le puede dar una estratificación de Whitney. [ cita requerida ]