El primer lema de isotopía de Thom

Teorema

En matemáticas, especialmente en topología diferencial , el primer lema de isotopía de Thom establece: dado un mapa suave entre variedades suaves y un subconjunto estratificado de Whitney cerrado , si es apropiado y es una inmersión para cada estrato de , entonces es una fibración localmente trivial . ^[1] El lema fue introducido originalmente por René Thom, quien consideró el caso cuando . ^[2] En ese caso, el lema construye una isotopía desde la fibra hasta ; de ahí el nombre "lema de isotopía". ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle f|_{S}}$ ${\displaystyle f|_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f|_{S}}$ ${\displaystyle N=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}(a)}$ ${\displaystyle f^{-1}(b)}$

Las trivializaciones locales que proporciona el lema preservan los estratos. Sin embargo, generalmente no son suaves (ni uniformes ). Por otro lado, es posible que las trivializaciones locales sean semialgebraicas si los datos de entrada son semialgebraicos. ^{[3] [4]} ${\displaystyle C^{1}}$

El lema también es válido para un espacio estratificado más general, como un espacio estratificado en el sentido de Mather, pero aún con las condiciones de Whitney (o algunas otras condiciones). El lema también es válido para la estratificación que satisface la condición de Bekka (C), que es más débil que la condición de Whitney (B). ^[5] (La importancia de esto es que las consecuencias del primer lema de isotopía no pueden implicar la condición de Whitney (B).)

El segundo lema de isotopía de Thom es una versión familiar del primer lema de isotopía.

Prueba

La prueba ^[1] se basa en la noción de un campo vectorial controlado . ^[6] Sea un sistema de vecindades tubulares en de estratos en donde está la proyección asociada y dada por la norma cuadrática sobre cada fibra de . (La construcción de tal sistema se basa en las condiciones de Whitney o algo más débil). Por definición, un campo vectorial controlado es una familia de campos vectoriales (suaves de alguna clase) en los estratos tal que: para cada estrato A , existe un vecindario de tal que para cualquier , ${\displaystyle \{(T_{A},\pi _{A},\rho _{A})\mid A\}}$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \pi _{A}:T_{A}\to A}$ ${\displaystyle \rho _{A}:T_{A}\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle \pi _{A}}$ ${\displaystyle \eta _{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T'_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle B>A}$

${\displaystyle \eta _{B}\circ \rho _{A}=0,}$

${\displaystyle (\pi _{A})_{*}\eta _{B}=\eta _{A}\circ \pi _{A}}$

en . ${\displaystyle T_{A}'\cap B}$

Supongamos que el sistema es compatible con el mapa (dicho sistema existe). Luego hay dos resultados clave gracias a Thom: ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle f:M\to N}$

1. Dado un campo vectorial en N , existe un campo vectorial controlado en S que es un elevador del mismo: . ^[7] ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle f_{*}(\eta )=\zeta \circ f}$
2. Un campo vectorial controlado tiene un flujo continuo (a pesar de que un campo vectorial controlado es discontinuo). ^[8]

El lema se sigue ahora de manera sencilla. Dado que la declaración es local, supongamos y los campos vectoriales de coordenadas en . Luego, por el resultado del levantamiento, encontramos campos vectoriales controlados tales que . Sean los flujos asociados a ellos. Luego define ${\displaystyle N=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\partial _{i}}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{*}({\widetilde {\partial _{i}}})=\partial _{i}\circ f}$ ${\displaystyle \varphi _{i}:\mathbb {R} \times S\to S}$

${\displaystyle H:f|_{S}^{-1}(0)\times \mathbb {R} ^{n}\to S}$

por

${\displaystyle H(y,t)=\varphi _{n}(t_{n},\phi _{n-1}(t_{n-1},\cdots ,\varphi _{1}(t_{1},y)\cdots )).}$

Es un mapa terminado y es un homeomorfismo ya que es lo inverso. Dado que los flujos preservan los estratos, también preserva los estratos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G(x)=(\varphi _{1}(-t_{1},\cdots ,\varphi _{n}(-t_{n},x)\cdots ),t),t=f(x)}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \square }$

Ver también

• Teorema de fibración de Ehresmann
• Espacio estratificado de Thom-Mather
• Topología mansa

Nota

1. Mather 2012, Proposición 11.1.
2. Tom 1969
3. Broglia, Fabricio; Galbiati, Margarita; Tognoli, Alberto (11 de julio de 2011). Geometría algebraica y analítica real: Actas de la conferencia internacional, Trento (Italia), 21 al 25 de septiembre de 1992. Walter de Gruyter. ISBN 9783110881271.
4. Nota editorial: de hecho, las trivializaciones locales se pueden definir si la fecha de entrada se puede definir, según https://ncatlab.org/toddtrimble/published/Surface+diagrams
5. § 3 de Bekka, K. (1991). "C-Régularité et trivialité topologique". Teoría de la singularidad y sus aplicaciones . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1462. Saltador. págs. 42–62. doi :10.1007/BFb0086373. ISBN 978-3-540-53737-3.
6. Matemáticas 2012, 9 dólares.
7. Mather 2012, Proposición 9.1.
8. Mather 2012, Proposición 10.1.

Referencias

• Mather, John (2012). "Notas sobre estabilidad topológica" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 49 (4): 475–506. doi :10.1090/S0273-0979-2012-01383-6.
• Thom, R. (1969). "Conjuntos y morfismos estratificados". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 75 (2): 240–284. doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12138-5 .

enlaces externos

• https://mathoverflow.net/questions/23259/thom-first-isotopy-lemma-in-o-minimal-structures