Barrio tubular

Una curva, en azul, y algunas líneas perpendiculares a ella, en verde. Pequeñas porciones de esas líneas alrededor de la curva están en rojo.

Primer plano de la figura anterior. La curva está en azul y su entorno tubular T está en rojo. Con la notación del artículo, la curva es S , el espacio que contiene la curva es M y ${\displaystyle T=j(N).}$

Ilustración esquemática del fibrado normal N , con la sección cero en azul. La transformación j asigna N ₀ a la curva S en la figura anterior, y N a la vecindad tubular de S . ${\displaystyle N_{0}}$

En matemáticas , un vecindario tubular de una subvariedad de una variedad suave es un conjunto abierto a su alrededor que se asemeja al fibrado normal .

La idea detrás de un vecindario tubular se puede explicar con un ejemplo simple. Considere una curva suave en el plano sin autointersecciones. En cada punto de la curva dibuje una línea perpendicular a la curva. A menos que la curva sea recta, estas líneas se intersectarán entre sí de una manera bastante complicada. Sin embargo, si uno mira solo en una banda estrecha alrededor de la curva, las porciones de las líneas en esa banda no se intersectarán y cubrirán toda la banda sin espacios vacíos. Esta banda es un vecindario tubular.

En general, sea S una subvariedad de una variedad M y sea N el fibrado normal de S en M. Aquí S cumple el papel de la curva y M el del plano que contiene la curva. Consideremos la función natural

${\displaystyle i:N_{0}\to S}$

que establece una correspondencia biyectiva entre la sección cero de N y la subvariedad S de M. Una extensión j de esta función a todo el fibrado normal N con valores en M tales que es un conjunto abierto en M y j es un homeomorfismo entre N y se denomina vecindad tubular. ${\displaystyle N_{0}}$ ${\displaystyle j(N)}$ ${\displaystyle j(N)}$

A menudo se llama al conjunto abierto , en lugar de j en sí mismo, un vecindario tubular de S , y se supone implícitamente que existe el homeomorfismo j que aplica N a T. ${\displaystyle T=j(N),}$

Tubo normal

Un tubo normal a una curva suave es una variedad definida como la unión de todos los discos tales que

• todos los discos tienen el mismo radio fijo;
• el centro de cada disco se encuentra en la curva ; y
• Cada disco se encuentra en un plano normal a la curva donde la curva pasa por el centro de ese disco.

Definición formal

Sean variedades suaves. Un entorno tubular de en es un fibrado vectorial junto con una función suave tal que ${\displaystyle S\subseteq M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi :E\to S}$ ${\displaystyle J:E\to M}$

• ${\displaystyle J\circ 0_{E}=i}$¿Dónde está la incrustación y la sección cero? ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S\hookrightarrow M}$ ${\displaystyle 0_{E}}$
• existe algún y algún con y tal que es un difeomorfismo . ${\displaystyle U\subseteq E}$ ${\displaystyle V\subseteq M}$ ${\displaystyle 0_{E}[S]\subseteq U}$ ${\displaystyle S\subseteq V}$ ${\displaystyle J\vert _{U}:U\to V}$

El fibrado normal es un entorno tubular y debido a la condición de difeomorfismo en el segundo punto, todos los entornos tubulares tienen la misma dimensión, es decir (la dimensión del fibrado vectorial considerado como una variedad es) la de ${\displaystyle M.}$

Generalizaciones

Las generalizaciones de variedades suaves producen generalizaciones de vecindarios tubulares, tales como vecindarios regulares, o fibraciones esféricas para espacios de Poincaré .

Estas generalizaciones se utilizan para producir análogos del fibrado normal, o más bien del fibrado normal estable , que son reemplazos del fibrado tangente (que no admite una descripción directa para estos espacios).

Véase también

• Curva paralela  – Generalización del concepto de líneas paralelas (también conocida como curva desplazada)
• Lema del tubo  : demostración en topologíaPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias

• Raoul Bott, Loring W. Tu (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90613-4.

• Morris W. Hirsch (1976). Topología diferencial . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.

• Waldyr Muñiz Oliva (2002). Mecánica Geométrica . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44242-1.