Barrio tubular

Una curva, en azul, y unas líneas perpendiculares a ella, en verde. Pequeñas porciones de esas líneas alrededor de la curva están en rojo.

Un primer plano de la figura de arriba. La curva está en azul y su vecindad tubular T está en rojo. Con la notación del artículo, la curva es S , el espacio que contiene la curva es M y ${\displaystyle T=j(N).}$

Una ilustración esquemática del paquete normal N , con la sección cero en azul. La transformación j asigna N ₀ a la curva S en la figura anterior y N a la vecindad tubular de S. ${\displaystyle N_{0}}$

En matemáticas , una vecindad tubular de una subvariedad de una variedad suave es un conjunto abierto a su alrededor que se asemeja al paquete normal .

La idea detrás de un barrio tubular se puede explicar con un ejemplo sencillo. Considere una curva suave en el plano sin autointersecciones. En cada punto de la curva dibuja una línea perpendicular a la curva. A menos que la curva sea recta, estas líneas se cruzarán entre sí de una manera bastante complicada. Sin embargo, si uno mira sólo en una banda estrecha alrededor de la curva, las porciones de las líneas en esa banda no se cruzarán y cubrirán toda la banda sin espacios. Esta banda es un barrio tubular.

En general, sea S una subvariedad de una variedad M y sea N el paquete normal de S en M. Aquí S desempeña el papel de la curva y M el papel del plano que contiene la curva. Considere el mapa natural

${\displaystyle i:N_{0}\to S}$

lo que establece una correspondencia biyectiva entre la sección cero de N y la subvariedad S de M . Una extensión j de este mapa al paquete normal completo N con valores en M tales que es un conjunto abierto en M y j es un homeomorfismo entre N y se llama vecindad tubular. ${\displaystyle N_{0}}$ ${\displaystyle j(N)}$ ${\displaystyle j(N)}$

A menudo se llama al conjunto abierto , en lugar de al propio j , una vecindad tubular de S ; se supone implícitamente que existe el homeomorfismo j que asigna N a T. ${\displaystyle T=j(N),}$

tubo normal

Un tubo normal con una curva suave es un colector definido como la unión de todos los discos tales que

• todos los discos tienen el mismo radio fijo;
• el centro de cada disco se encuentra en la curva ; y
• cada disco se encuentra en un plano normal a la curva donde la curva pasa por el centro de ese disco.

Definicion formal

Sean colectores lisos. Una vecindad tubular de in es un paquete de vectores junto con un mapa suave tal que ${\displaystyle S\subseteq M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi :E\to S}$ ${\displaystyle J:E\to M}$

• ${\displaystyle J\circ 0_{E}=i}$¿Dónde está el empotramiento y la sección cero? ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S\hookrightarrow M}$ ${\displaystyle 0_{E}}$
• existen algunos y algunos con y tal que es un difeomorfismo . ${\displaystyle U\subseteq E}$ ${\displaystyle V\subseteq M}$ ${\displaystyle 0_{E}[S]\subseteq U}$ ${\displaystyle S\subseteq V}$ ${\displaystyle J\vert _{U}:U\to V}$

El paquete normal es una vecindad tubular y debido a la condición de difeomorfismo en el segundo punto, todas las vecindades tubulares tienen la misma dimensión, es decir (la dimensión del paquete de vectores considerado como una variedad es) la de ${\displaystyle M.}$

Generalizaciones

Las generalizaciones de variedades suaves producen generalizaciones de vecindades tubulares, como vecindades regulares o fibraciones esféricas para espacios de Poincaré .

Estas generalizaciones se utilizan para producir análogos al fibrado normal, o más bien al fibrado normal estable , que son reemplazos del fibrado tangente (que no admite una descripción directa para estos espacios).

Ver también

• Curva paralela (también conocida como curva desplazada)
• Lema de tubo  : prueba en topologíaPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias

• Raoul Bott, Loring W. Tu (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90613-4.

• Morris W. Hirsch (1976). Topología diferencial . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.

• Waldyr Muñiz Oliva (2002). Mecánica Geométrica . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44242-1.