Plegado en capas

Generalización de una variedad diferenciable

En topología diferencial , una rama de las matemáticas , un estratifold es una generalización de una variedad diferenciable donde se permiten ciertos tipos de singularidades . Más específicamente, un estratifold se estratifica en variedades diferenciables de (posiblemente) diferentes dimensiones. Los estratifolds se pueden utilizar para construir nuevas teorías de homología . Por ejemplo, proporcionan un nuevo modelo geométrico para la homología ordinaria. El concepto de estratifolds fue inventado por Matthias Kreck . La idea básica es similar a la de un espacio estratificado topológicamente , pero adaptada a la topología diferencial.

Definiciones

Antes de llegar a los estratifolds, definimos una noción preliminar, que captura la noción mínima para una estructura suave en un espacio: Un espacio diferencial (en el sentido de Sikorski) es un par donde X es un espacio topológico y C es un subálgebra de las funciones continuas tales que una función está en C si está localmente en C y está en C para suave y Un ejemplo simple toma para X una variedad suave y para C solo las funciones suaves. ${\displaystyle (X,C),}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g\circ \left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right):X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{i}\in C.}$

Para un espacio diferencial general y un punto x en X podemos definir como en el caso de variedades un espacio tangente como el espacio vectorial de todas las derivaciones de la función gérmenes en  x . Definir estratos tiene dimensión i Para una variedad n -dimensional M tenemos que y todos los demás estratos están vacíos. Ahora estamos listos para la definición de un estratifold, donde más de un estrato puede no estar vacío: ${\displaystyle (X,C)}$ ${\displaystyle T_{x}X}$ ${\displaystyle X_{i}=\{x\in X:T_{x}X}$ ${\displaystyle \}.}$ ${\displaystyle M_{n}=M}$

Un estratifold de dimensión k es un espacio diferencial donde S es un espacio de Hausdorff localmente compacto con una base de topología numerable . Todos los esqueletos deben ser cerrados. Además, suponemos: ${\displaystyle (S,C),}$

La suspensión

1. Son variedades suaves de dimensión i . ${\displaystyle \left(S_{i},C|_{S_{i}}\right)}$
2. Para todo x en S , la restricción define un isomorfismo de tallos ${\displaystyle C_{x}\to C^{\infty }(S_{i})_{x}.}$
3. Todos los espacios tangentes tienen dimensión ≤  k .
4. Para cada x en S y cada vecindad U de x , existe una función con y (una función de protuberancia). ${\displaystyle \rho :U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \rho (x)\neq 0}$ ${\displaystyle {\text{supp}}(\rho )\subset U}$

Un estratifold n -dimensional se denomina orientado si su estrato ( n  − 1) está vacío y su estrato superior está orientado. También se pueden definir estratifolds con borde, los llamados estratifolds c . Se los define como un par de espacios topológicos tales que es un estratifold n -dimensional y es un estratifold ( n  − 1)-dimensional, junto con una clase de equivalencia de collares. ${\displaystyle (T,\partial T)}$ ${\displaystyle T-\partial T}$ ${\displaystyle \partial T}$

Una subclase importante de estratifolds son los estratifolds regulares , que pueden caracterizarse aproximadamente como si se tratara de un punto localmente en el estrato i, como el estrato i multiplicado por un estratifold de dimensión ( n  −  i ). Esta es una condición que se cumple en la mayoría de los estratifolds que se encuentran habitualmente.

Ejemplos

Hay muchos ejemplos de estratifolds. El primer ejemplo a considerar es el cono abierto sobre una variedad M . Definimos una función continua desde S hasta los números reales como en C si y solo si es suave y es localmente constante alrededor del punto del cono. La última condición es automática por el punto 2 en la definición de un estratifold. Podemos sustituir M por un estratifold S en esta construcción. El cono está orientado si y solo si S está orientado y no es cero-dimensional. Si consideramos el cono (cerrado) con fondo, obtenemos un estratifold con borde  S . ${\displaystyle M\times (0,1)}$

Otros ejemplos de estratifolds son las compactificaciones de un punto y las suspensiones de variedades, las variedades algebraicas (reales) con sólo singularidades aisladas y los complejos simpliciales (finitos).

Teorías del bordismo

Un ejemplo de relación bordista

En esta sección, supondremos que todos los estratifolds son regulares. Llamamos bordantes a dos aplicaciones de dos estratifolds compactos orientados de dimensión k en un espacio X si existe un estratifold compacto orientado de dimensión ( k  + 1) T con borde S  + (− S ') tal que la aplicación a X se extiende a  T . El conjunto de clases de equivalencia de tales aplicaciones se denota por Los conjuntos tienen en realidad la estructura de grupos abelianos con unión disjunta como adición. Se puede desarrollar suficiente topología diferencial de estratifolds para mostrar que estos definen una teoría de homología . Claramente, ya que cada estratifold orientado S es el borde de su cono, que está orientado si Se puede mostrar que Por lo tanto, por el teorema de unicidad de Eilenberg-Steenrod , para cada espacio X homotópicamente equivalente a un complejo CW , donde H denota homología singular . Para otros espacios, estas dos teorías de homología no necesitan ser isomorfas (un ejemplo es la compactificación de un punto de la superficie del género infinito). ${\displaystyle S,S'\to X}$ ${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle SH_{k}X.}$ ${\displaystyle SH_{k}({\text{point}})=0}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \dim(S)>0.}$ ${\displaystyle SH_{0}({\text{point}})\cong \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle SH_{k}(X)\cong H_{k}(X)}$

También hay una forma sencilla de definir la homología equivariante con la ayuda de estratifolds. Sea G un grupo de Lie compacto . Podemos entonces definir una teoría de bordismo de estratifolds que se mapean en un espacio X con una G -acción tal como se indicó anteriormente, solo que requerimos que todos los estratifolds estén equipados con una G -acción libre que preserve la orientación y que todos los mapas sean G-equivariantes. Denotemos por las clases de bordismo. Se puede probar para cada homotopía X equivalente a un complejo CW. ${\displaystyle SH_{k}^{G}(X)}$ ${\displaystyle SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)}$

Conexión con la teoría de los géneros

Un género es un homomorfismo de anillo de un anillo de bordismo a otro anillo. Por ejemplo, la característica de Euler define un homomorfismo de anillo a partir del anillo de bordismo no orientado y la signatura define un homomorfismo de anillo a partir del anillo de bordismo orientado . Aquí t tiene en el primer caso grado 1 y en el segundo caso grado 4 , ya que solo las variedades en dimensiones divisibles por 4 pueden tener signatura distinta de cero. Los lados izquierdos de estos homomorfismos son teorías de homología evaluadas en un punto. Con la ayuda de estratifolds es posible construir teorías de homología tales que los lados derechos sean estas teorías de homología evaluadas en un punto, la homología de Euler y la homología de Hirzebruch respectivamente. ${\displaystyle \Omega ^{O}({\text{point}})\to \mathbb {Z} /2[t]}$ ${\displaystyle \Omega ^{SO}({\text{point}})\to \mathbb {Z} [t]}$

Mapas de Umkehr

Supóngase que se tiene una incrustación cerrada de variedades con fibrado normal orientado. Entonces se puede definir una función Umkehr. Una posibilidad es usar estratifolds: representar una clase por un estratifold Luego hacer ƒ transversal a  N . La intersección de S y N define una nueva estratifold S ' con una función a N , que representa una clase en Es posible repetir esta construcción en el contexto de una incrustación de variedades de Hilbert de codimensión finita, que se puede usar en topología de cuerdas . ${\displaystyle i:N\hookrightarrow M}$ ${\displaystyle H_{k}(M)\to H_{k+\dim(N)-\dim(M)}(N).}$ ${\displaystyle x\in H_{k}(M)}$ ${\displaystyle f:S\to M.}$ ${\displaystyle H_{k+\dim(N)-\dim(M)}(N).}$

Referencias

• M. Kreck, Topología algebraica diferencial: de los estratifolds a las esferas exóticas , AMS (2010), ISBN  0-8218-4898-4
• La página del stratifold
• Homología de Euler