Análisis de datos topológicos.

Análisis de conjuntos de datos utilizando técnicas de topología.

En matemáticas aplicadas , el análisis de datos topológicos ( TDA ) es un enfoque para el análisis de conjuntos de datos utilizando técnicas de topología . La extracción de información de conjuntos de datos de alta dimensión, incompletas y ruidosas suele ser un desafío. TDA proporciona un marco general para analizar dichos datos de una manera que es insensible a la métrica particular elegida y proporciona reducción de dimensionalidad y robustez al ruido. Más allá de esto, hereda la funtorialidad , concepto fundamental de las matemáticas modernas, de su naturaleza topológica, que le permite adaptarse a nuevas herramientas matemáticas. ^{[ cita necesaria ]}

La motivación inicial es estudiar la forma de los datos. TDA ha combinado topología algebraica y otras herramientas de matemáticas puras para permitir un estudio matemáticamente riguroso de la "forma". La herramienta principal es la homología persistente , una adaptación de la homología a los datos de la nube de puntos . Se ha aplicado una homología persistente a muchos tipos de datos en muchos campos. Además, su fundamento matemático también es de importancia teórica. Las características únicas de TDA lo convierten en un puente prometedor entre topología y geometría. ^{[ cita necesaria ]}

Teoría básica

Intuición

TDA se basa en la idea de que la forma de los conjuntos de datos contiene información relevante. Los datos reales de alta dimensión suelen ser escasos y tienden a tener características relevantes de baja dimensión. Una tarea de TDA es proporcionar una caracterización precisa de este hecho. Por ejemplo, la trayectoria de un sistema simple depredador-presa regido por las ecuaciones de Lotka-Volterra ^[1] forma un círculo cerrado en el espacio de estados. TDA proporciona herramientas para detectar y cuantificar dicho movimiento recurrente. ^[2]

Muchos algoritmos de análisis de datos, incluidos los utilizados en TDA, requieren la configuración de varios parámetros. Sin conocimientos previos del dominio , es difícil elegir la recopilación correcta de parámetros para un conjunto de datos. La principal idea de la homología persistente es utilizar la información obtenida de todos los valores de los parámetros codificando esta enorme cantidad de información en una forma comprensible y fácil de representar. Con TDA existe una interpretación matemática cuando la información es un grupo de homología . En general, se supone que las características que persisten para una amplia gama de parámetros son características "verdaderas". Se supone que las características que persisten sólo para un estrecho rango de parámetros son ruido, aunque la justificación teórica para esto no está clara. ^[3]

Historia temprana

Los precursores del concepto completo de homología persistente aparecieron gradualmente con el tiempo. ^[4] En 1990, Patrizio Frosini introdujo una pseudodistancia entre subvariedades, y más tarde la función de tamaño, que en curvas 1-dim es equivalente a la 0ª homología persistente. ^{[5] [6]} Casi una década después, Vanessa Robins estudió las imágenes de homomorfismos inducidos por la inclusión. ^[7] Finalmente, poco después, Edelsbrunner et al. introdujo el concepto de homología persistente junto con un algoritmo eficiente y su visualización como un diagrama de persistencia. ^[8] Carlsson et al. reformuló la definición inicial y dio un método de visualización equivalente llamado códigos de barras de persistencia , ^[9] interpretando la persistencia en el lenguaje del álgebra conmutativa. ^[10]

En topología algebraica, la homología persistente surgió a través del trabajo de Sergey Barannikov sobre la teoría Morse. El conjunto de valores críticos de la función Morse suave se dividió canónicamente en pares "nacimiento-muerte", se clasificaron los complejos filtrados, sus invariantes, equivalentes al diagrama de persistencia y a los códigos de barras de persistencia, junto con el algoritmo eficiente para su cálculo, se describieron bajo el nombre de formas canónicas en 1994 por Barannikov. ^{[11] [12]}

Conceptos

A continuación se presentan algunos conceptos ampliamente utilizados. Tenga en cuenta que algunas definiciones pueden variar de un autor a otro.

Una nube de puntos a menudo se define como un conjunto finito de puntos en algún espacio euclidiano, pero puede considerarse cualquier espacio métrico finito.

El complejo de Čech de una nube de puntos es el nervio de la cubierta de bolas de radio fijo alrededor de cada punto de la nube.

Un módulo de persistencia indexado por es un espacio vectorial para cada uno y un mapa lineal siempre , tal que para todos y siempre ^[13] Una definición equivalente es un funtor considerado como un conjunto parcialmente ordenado para la categoría de espacios vectoriales. ${\displaystyle \mathbb {U} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle U_{t}}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle u_{t}^{s}:U_{s}\to U_{t}}$ ${\displaystyle s\leq t}$ ${\displaystyle u_{t}^{t}=1}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle u_{t}^{s}u_{s}^{r}=u_{t}^{r}}$ ${\displaystyle r\leq s\leq t.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El grupo de homología persistente de una nube de puntos es el módulo de persistencia definido como , donde es el complejo de Čech de radio de la nube de puntos y es el grupo de homología. ${\displaystyle PH}$ ${\displaystyle PH_{k}(X)=\prod H_{k}(X_{r})}$ ${\displaystyle X_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{k}}$

Un código de barras de persistencia es un conjunto múltiple de intervalos en y un diagrama de persistencia es un conjunto múltiple de puntos en ( ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle :=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\mid u,v\geq 0,u\leq v\}}$

La distancia de Wasserstein entre dos diagramas de persistencia se define como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle W_{p}[L_{q}](X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\left[\sum _{x\in X}(\Vert x-\varphi (x)\Vert _{q})^{p}\right]^{1/p}}$$

^[14] ${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

La distancia del cuello de botella entre y es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle W_{\infty }[L_{q}](X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\sup _{x\in X}\Vert x-\varphi (x)\Vert _{q}.}$$

${\displaystyle p=\infty }$

Propiedad básica

Teorema de estructura

El primer teorema de clasificación de homología persistente apareció en 1994 ^[11] a través de las formas canónicas de Barannikov. El teorema de clasificación que interpreta la persistencia en el lenguaje del álgebra conmutativa apareció en 2005: ^[10] para un módulo de persistencia generado finitamente con coeficientes de campo, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle H(C;F)\simeq \bigoplus _{i}x^{t_{i}}\cdot F[x]\oplus \left(\bigoplus _{j}x^{r_{j}}\cdot (F[x]/(x^{s_{j}}\cdot F[x]))\right).}$$

^[11] ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle r_{j}}$ ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle s_{j}+r_{j}}$

La homología persistente se visualiza a través de un código de barras o diagrama de persistencia. El código de barras tiene sus raíces en las matemáticas abstractas. Es decir, la categoría de complejos finitos filtrados sobre un campo es semisimple. Cualquier complejo filtrado es isomorfo a su forma canónica, una suma directa de complejos filtrados simples unidimensionales y bidimensionales.

Estabilidad

La estabilidad es deseable porque proporciona robustez frente al ruido. Si hay un espacio que es homeomorfo a un complejo simplicial, y son funciones continuas dóciles ^[15] , entonces los espacios vectoriales de persistencia y se presentan finitamente, y , donde se refiere a la distancia del cuello de botella ^[16] y el mapa toma un dócil continuo. función al diagrama de persistencia de su -ésima homología. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,g:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{H_{k}(f^{-1}([0,r]))\}}$ ${\displaystyle \{H_{k}(g^{-1}([0,r]))\}}$ ${\displaystyle W_{\infty }(D(f),D(g))\leq \lVert f-g\rVert _{\infty }}$ ${\displaystyle W_{\infty }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle k}$

Flujo de trabajo

El flujo de trabajo básico en TDA es: ^[17]

1. Si es una nube de puntos, reemplácela con una familia anidada de complejos simpliciales (como el complejo de Čech o Vietoris-Rips). Este proceso convierte la nube de puntos en una filtración de complejos simpliciales. Tomando la homología de cada complejo en esta filtración se obtiene un módulo de persistencia. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{r}}$
   $${\displaystyle H_{i}(X_{r_{0}})\to H_{i}(X_{r_{1}})\to H_{i}(X_{r_{2}})\to \cdots }$$
2. Aplique el teorema de estructura para obtener los números de Betti persistentes , diagrama de persistencia o, equivalente, código de barras.

Gráficamente hablando,

Un uso habitual de la persistencia en TDA ^[18]

Cálculo

^{Barannikov [11]} describió el primer algoritmo en todos los campos para la homología persistente en el entorno de topología algebraica mediante la reducción a la forma canónica mediante matrices triangulares superiores. El algoritmo para la homología persistente fue proporcionado por Edelsbrunner et al. ^[8] Zomorodian y Carlsson dieron el algoritmo práctico para calcular la homología persistente en todos los campos. ^[10] El libro de Edelsbrunner y Harer ofrece orientación general sobre topología computacional. ^[19] ${\displaystyle F_{2}}$

Una cuestión que surge en la computación es la elección del complejo. Los complejos de Čech y Vietoris-Rips son a primera vista los más naturales; sin embargo, su tamaño crece rápidamente con la cantidad de puntos de datos. Se prefiere el complejo de Vietoris-Rips al complejo de Čech porque su definición es más simple y el complejo de Čech requiere un esfuerzo adicional para definirlo en un espacio métrico finito general. Se han estudiado formas eficientes de reducir el coste computacional de la homología. Por ejemplo, el complejo α y el complejo testigo se utilizan para reducir la dimensión y el tamaño de los complejos. ^[20]

Recientemente, la teoría de Morse discreta se ha mostrado prometedora para la homología computacional porque puede reducir un complejo simplicial dado a un complejo celular mucho más pequeño que es homotópico al original. ^[21] De hecho, esta reducción se puede realizar a medida que el complejo se construye utilizando la teoría matroide , lo que lleva a mayores aumentos de rendimiento. ^[22] Otro algoritmo reciente ahorra tiempo al ignorar las clases de homología con baja persistencia. ^[23]

Hay varios paquetes de software disponibles, como javaPlex, Dionysus, Perseus, PHAT, DIPHA, GUDHI, Ripser y TDAstats. Otter et al. realizan una comparación entre estas herramientas. ^[24] Giotto-tda es un paquete de Python dedicado a integrar TDA en el flujo de trabajo de aprendizaje automático mediante una API scikit-learn [1]. Un paquete R TDA es capaz de calcular conceptos inventados recientemente como el paisaje y el estimador de distancia del núcleo. ^[25] El Topology ToolKit está especializado para datos continuos definidos en variedades de baja dimensión (1, 2 o 3), como se encuentra típicamente en la visualización científica . Otro paquete de R, TDAstats, implementa la biblioteca Ripser para calcular la homología persistente. ^[26]

Visualización

Los datos de alta dimensión son imposibles de visualizar directamente. Se han inventado muchos métodos para extraer una estructura de baja dimensión del conjunto de datos, como el análisis de componentes principales y el escalado multidimensional . ^[27] Sin embargo, es importante señalar que el problema en sí está mal planteado, ya que se pueden encontrar muchas características topológicas diferentes en el mismo conjunto de datos. Por lo tanto, el estudio de la visualización de espacios de alta dimensión es de importancia central para TDA, aunque no necesariamente implica el uso de homología persistente. Sin embargo, recientemente se han realizado intentos de utilizar la homología persistente en la visualización de datos. ^[28]

Carlsson et al. Han propuesto un método general llamado MAPPER . ^[29] Hereda la idea de Serre de que una cubierta preserva la homotopía. ^[30] Una formulación generalizada de MAPPER es la siguiente:

Sean y espacios topológicos y sea un mapa continuo. Sea una cubierta abierta finita de . La salida de MAPPER es el nervio de la cubierta de retroceso , donde cada preimagen se divide en sus componentes conectados. ^[28] Este es un concepto muy general, del cual el gráfico de Reeb ^[31] y los árboles de fusión son casos especiales. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle \mathbb {U} =\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\textstyle M(\mathbb {U} ,f):=N(f^{-1}(\mathbb {U} ))}$

Esta no es la definición original. ^[29] Carlsson y otros. elija ser o y cúbralo con conjuntos abiertos de modo que como máximo dos se crucen. ^[3] Esta restricción significa que la salida tiene la forma de una red compleja . Debido a que la topología de una nube de puntos finitos es trivial, se utilizan métodos de agrupamiento (como el enlace único ) para producir el análogo de conjuntos conectados en la preimagen cuando se aplica MAPPER a datos reales. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$

Matemáticamente hablando, MAPPER es una variación del gráfico de Reeb . Si es como máximo unidimensional, entonces para cada , ${\textstyle M(\mathbb {U} ,f)}$ ${\displaystyle i\geq 0}$

$${\displaystyle H_{i}(X)\simeq H_{0}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i})\oplus H_{1}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i-1}).}$$

^[32][33][28]

Se pueden encontrar tres aplicaciones exitosas de MAPPER en Carlsson et al. ^[34] Un comentario sobre las aplicaciones en este artículo realizado por J. Curry es que "una característica común de interés en las aplicaciones es la presencia de llamaradas o zarcillos". ^[35]

Hay disponible en línea una implementación gratuita de MAPPER escrita por Daniel Müllner y Aravindakshan Babu. MAPPER también forma la base de la plataforma de inteligencia artificial de Ayasdi.

Persistencia multidimensional

La persistencia multidimensional es importante para TDA. El concepto surge tanto en la teoría como en la práctica. La primera investigación de la persistencia multidimensional se produjo en las primeras etapas del desarrollo de ADT. ^[36] Carlsson-Zomorodian introdujo la teoría de la persistencia multidimensional en ^[37] y en colaboración con Singh ^[38] introdujo el uso de herramientas del álgebra simbólica (métodos básicos de Grobner) para calcular módulos MPH. Su definición presenta persistencia multidimensional con n parámetros como un módulo graduado sobre un anillo polinómico en n variables. Se aplican herramientas del álgebra conmutativa y homológica al estudio de la persistencia multidimensional en el trabajo de Harrington-Otter-Schenck-Tillman. ^[39] La primera aplicación que aparece en la literatura es un método para comparar formas, similar a la invención del TDA. ^[40] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

La definición de un módulo de persistencia n -dimensional es ^[35] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• El espacio vectorial se asigna a cada punto en ${\displaystyle V_{s}}$ ${\displaystyle s=(s_{1},...,s_{n})}$
• El mapa se asigna si ( ${\displaystyle \rho _{s}^{t}:V_{s}\to V_{t}}$ ${\displaystyle s\leq t}$ ${\displaystyle s_{i}\leq t_{i},i=1,...,n)}$
• mapas satisfacen para todos ${\displaystyle \rho _{r}^{t}=\rho _{s}^{t}\circ \rho _{r}^{s}}$ ${\displaystyle r\leq s\leq t}$

Quizás valga la pena señalar que existen controversias sobre la definición de persistencia multidimensional. ^[35]

Una de las ventajas de la persistencia unidimensional es su representabilidad mediante un diagrama o código de barras. Sin embargo, no existen invariantes completos discretos de módulos de persistencia multidimensionales. ^[41] La razón principal de esto es que la estructura de la colección de indescomponibles es extremadamente complicada por el teorema de Gabriel en la teoría de las representaciones del carcaj, ^[42] aunque un módulo de persistencia n-dim generado de forma finita se puede descomponer de forma única en una suma directa. de indescomponibles debido al teorema de Krull-Schmidt. ^[43]

No obstante, se han establecido muchos resultados. Carlsson y Zomorodian introdujeron el invariante de rango , definido como , en el que es un módulo de n grados generado finitamente. En una dimensión, equivale al código de barras. En la literatura, el invariante de rango a menudo se denomina números de Betti persistentes (PBN). ^[19] En muchos trabajos teóricos, los autores han utilizado una definición más restringida, un análogo de la persistencia de conjuntos de subniveles. Específicamente, los números de Betti de persistencia de una función están dados por la función , llevando cada uno a , donde y . ${\displaystyle \rho _{M}(u,v)}$ ${\displaystyle \rho _{M}(u,v)=\mathrm {rank} (x^{u-v}:M_{u}\to M_{v})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \beta _{f}:\Delta ^{+}\to \mathrm {N} }$ ${\displaystyle (u,v)\in \Delta ^{+}}$ ${\displaystyle \beta _{f}(u,v):=\mathrm {rank} (H(X(f\leq u)\to H(X(f\leq v)))}$ ${\displaystyle \Delta ^{+}:=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} ^{k}:u\leq v\}}$ ${\displaystyle X(f\leq u):=\{x\in X:f(x)\leq u\}}$

Algunas propiedades básicas incluyen monotonicidad y salto diagonal. ^[44] Los números de Betti persistentes serán finitos si es un subespacio compacto y localmente contraíble de . ^[45] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Utilizando un método de foliación, las PBN k-dim se pueden descomponer en una familia de PBN 1-dim mediante deducción de dimensionalidad. ^[46] Este método también ha llevado a una prueba de que las PBN multi-tenue son estables. ^[47] Las discontinuidades de las PBN solo ocurren en puntos donde es un punto discontinuo de o es un punto discontinuo de bajo el supuesto de que y es un espacio topológico compacto y triangular. ^[48] ${\displaystyle (u,v)(u\leq v)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \rho _{M}(\star ,v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \rho (u,\star )}$ ${\displaystyle f\in C^{0}(X,\mathbb {R} ^{k})}$ ${\displaystyle X}$

El espacio persistente, una generalización del diagrama persistente, se define como el conjunto múltiple de todos los puntos con multiplicidad mayor que 0 y la diagonal. ^[49] Proporciona una representación estable y completa de las PBN. Un trabajo en curso de Carlsson et al. está tratando de dar una interpretación geométrica de la homología persistente, lo que podría proporcionar información sobre cómo combinar la teoría del aprendizaje automático con el análisis de datos topológicos. ^[50]

El primer algoritmo práctico para calcular la persistencia multidimensional se inventó muy temprano. ^[51] Después de eso, se han propuesto muchos otros algoritmos, basados ​​en conceptos tales como la teoría morse discreta ^[52] y la estimación de muestras finitas. ^[53]

Otras persistencias

El paradigma estándar en TDA a menudo se denomina persistencia de subnivel . Aparte de la persistencia multidimensional, se han realizado muchos trabajos para ampliar este caso especial.

Persistencia en zigzag

Los mapas distintos de cero en el módulo de persistencia están restringidos por la relación de pedido anticipado en la categoría. Sin embargo, los matemáticos han descubierto que la unanimidad de dirección no es esencial para muchos resultados. "El punto filosófico es que la teoría de la descomposición de las representaciones de gráficos es algo independiente de la orientación de los bordes del gráfico". ^[54] La persistencia en zigzag es importante desde el punto de vista teórico. Los ejemplos dados en el artículo de revisión de Carlsson para ilustrar la importancia de la funcionalidad comparten algunas de sus características. ^[3]

Persistencia extendida y persistencia de conjunto de niveles

Hay algunos intentos de flexibilizar la restricción más estricta de la función. ^[55] Consulte las secciones Categorización y cosheaves e Impacto en las matemáticas para obtener más información.

Es natural extender la homología de persistencia a otros conceptos básicos en topología algebraica, como la cohomología y la homología/cohomología relativa. ^[56] Una aplicación interesante es el cálculo de coordenadas circulares para un conjunto de datos a través del primer grupo de cohomología persistente. ^[57]

Persistencia circular

La homología de persistencia normal estudia funciones de valor real. El mapa con valores circulares podría ser útil, "la teoría de persistencia para mapas con valores circulares promete desempeñar el mismo papel para algunos campos vectoriales al igual que la teoría de persistencia estándar para campos escalares", como se comenta en Dan Burghelea et al. ^[58] La principal diferencia es que las celdas de Jordan (muy similares en formato a los bloques de Jordan en álgebra lineal) no son triviales en funciones con valores circulares, que serían cero en el caso de valores reales, y al combinarlas con códigos de barras se obtienen las invariantes de una mapa manso, en condiciones moderadas. ^[58]

Dos técnicas que utilizan son la teoría de Morse-Novikov ^[59] y la teoría de representación de grafos. ^[60] Se pueden encontrar resultados más recientes en D. Burghelea et al. ^[61] Por ejemplo, el requisito de mansedumbre puede ser reemplazado por la condición mucho más débil, continua.

Persistencia con la torsión

La prueba del teorema de la estructura se basa en que el dominio de la base es el campo, por lo que no se han hecho muchos intentos de homología de persistencia con torsión. Frosini definió una pseudométrica sobre este módulo específico y demostró su estabilidad. ^[62] Una de sus novedades es que no depende de alguna teoría de clasificación para definir la métrica. ^[63]

Categorificación y cosheaves

Una ventaja de la teoría de categorías es su capacidad para llevar resultados concretos a un nivel superior, mostrando relaciones entre objetos aparentemente inconexos. Bubenik et al. ^[64] ofrece una breve introducción a la teoría de categorías adaptada a TDA.

La teoría de categorías es el lenguaje del álgebra moderna y se ha utilizado ampliamente en el estudio de la geometría y la topología algebraica. Se ha observado que "la observación clave de ^[10] es que el diagrama de persistencia producido por ^[8] depende sólo de la estructura algebraica que contiene este diagrama". ^[65] El uso de la teoría de categorías en TDA ha demostrado ser fructífero. ^{[64] [65]}

Siguiendo las anotaciones realizadas en Bubenik et al., ^[65] la categoría de indexación es cualquier conjunto preordenado (no necesariamente o ), la categoría objetivo es cualquier categoría (en lugar de la comúnmente utilizada ), y los functores se denominan módulos de persistencia generalizados en , más . ${\textstyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\textstyle \mathrm {Vect} _{\mathbb {F} }}$ ${\textstyle P\to D}$ ${\displaystyle D}$ ${\textstyle P}$

Una ventaja de utilizar la teoría de categorías en TDA es una comprensión más clara de los conceptos y el descubrimiento de nuevas relaciones entre las pruebas. Tomemos dos ejemplos a modo de ilustración. La comprensión de la correspondencia entre entrelazado y emparejamiento es de gran importancia, ya que el emparejamiento ha sido el método utilizado al principio (modificado de la teoría Morse). Un resumen de los trabajos se puede encontrar en Vin de Silva et al. ^[66] Muchos teoremas se pueden demostrar mucho más fácilmente en un entorno más intuitivo. ^[63] Otro ejemplo es la relación entre la construcción de diferentes complejos a partir de nubes de puntos. Desde hace tiempo se sabe que los complejos de Čech y Vietoris-Rips están relacionados. Específicamente, . ^[67] La ​​relación esencial entre los complejos de Cech y Rips se puede ver mucho más claramente en un lenguaje categórico. ^[66] ${\displaystyle V_{r}(X)\subset C_{{\sqrt {2}}r}(X)\subset V_{2r}(X)}$

El lenguaje de la teoría de categorías también ayuda a expresar los resultados en términos reconocibles para la comunidad matemática en general. La distancia del cuello de botella se utiliza ampliamente en TDA debido a los resultados sobre la estabilidad con respecto a la distancia del cuello de botella. ^{[13] [16]} De hecho, la distancia de entrelazado es el objeto terminal en una categoría poset de métricas estables en módulos de persistencia multidimensionales en un campo principal . ^{[63] [68]}

Las gavillas , un concepto central en la geometría algebraica moderna , están intrínsecamente relacionadas con la teoría de categorías. En términos generales, las gavillas son la herramienta matemática para comprender cómo la información local determina la información global. Justin Curry considera la persistencia de conjuntos de niveles como el estudio de fibras de funciones continuas. Los objetos que estudia son muy similares a los de MAPPER, pero con la teoría de la gavilla como fundamento teórico. ^[35] Aunque ningún avance en la teoría de TDA ha utilizado todavía la teoría de la gavilla, es prometedora ya que existen muchos teoremas hermosos en geometría algebraica relacionados con la teoría de la gavilla. Por ejemplo, una pregunta teórica natural es si diferentes métodos de filtración dan como resultado el mismo resultado. ^[69]

Estabilidad

La estabilidad es de importancia central para el análisis de datos, ya que los datos reales contienen ruidos. Mediante el uso de la teoría de categorías, Bubenik et al. han distinguido entre teoremas de estabilidad blandos y duros, y han demostrado que los casos blandos son formales. ^[65] Específicamente, el flujo de trabajo general de TDA es

El teorema de estabilidad suave afirma que es continuo de Lipschitz , y el teorema de estabilidad duro afirma que es continuo de Lipschitz. ${\displaystyle HF}$ ${\displaystyle J}$

La distancia de cuello de botella se utiliza ampliamente en TDA. El teorema de la isometría afirma que la distancia de entrelazado es igual a la distancia del cuello de botella. ^[63] Bubenik et al. Hemos abstraído la definición a aquella entre functores cuando está dotado de una proyección sublineal o familia superlineal, en la que todavía sigue siendo una pseudométrica. ^[65] Considerando los magníficos caracteres de la distancia de entrelazado, ^[70] aquí introducimos la definición general de distancia de entrelazado (en lugar de la primera introducida): ^[13] Let (una función de a que es monótona y satisface para todos ). Un entrelazado entre F y G consiste en transformaciones naturales y , tales que y . ${\displaystyle d_{I}}$ ${\displaystyle F,G:P\to D}$ ${\textstyle P}$ ${\displaystyle \Gamma ,K\in \mathrm {Trans_{P}} }$ ${\textstyle P}$ ${\textstyle P}$ ${\displaystyle x\leq \Gamma (x)}$ ${\textstyle x\in P}$ ${\displaystyle (\Gamma ,K)}$ ${\displaystyle \varphi \colon F\Rightarrow G\Gamma }$ ${\displaystyle \psi :G\Rightarrow FK}$ ${\displaystyle (\psi \Gamma )=\varphi F\eta _{K\Gamma }}$ ${\displaystyle (\varphi \Gamma )=\psi G\eta _{\Gamma K}}$

Los dos resultados principales son ^[65]

• Sea un conjunto preordenado con una proyección sublineal o familia superlineal. Sea un functor entre categorías arbitrarias . Entonces, para dos functores cualesquiera , tenemos . ${\textstyle P}$ ${\textstyle H:D\to E}$ ${\textstyle D,E}$ ${\textstyle F,G:P\to D}$ ${\textstyle d_{I}(HF,HG)\leq d_{I}(F,G)}$
• Sea un poset de un espacio métrico , sea un espacio topológico. Y sean funciones (no necesariamente continuas) y sea el diagrama de persistencia correspondiente. Entonces . ${\textstyle P}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle f,g:X\to Y}$ ${\textstyle F,G}$ ${\displaystyle d_{I}(F,G)\leq d_{\infty }(f,g):=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))}$

Estos dos resultados resumen muchos resultados sobre la estabilidad de diferentes modelos de persistencia.

Para conocer el teorema de estabilidad de la persistencia multidimensional, consulte la subsección de persistencia.

Teorema de estructura

El teorema de la estructura es de importancia central para TDA; como comentó G. Carlsson, "lo que hace que la homología sea útil como discriminador entre espacios topológicos es el hecho de que existe un teorema de clasificación para grupos abelianos generados finitamente". ^[3] (ver el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente ).

El argumento principal utilizado en la prueba del teorema de estructura original es el teorema de estructura estándar para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal . ^[10] Sin embargo, este argumento falla si el conjunto de indexación es . ^[3] ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$

En general, no todos los módulos de persistencia se pueden descomponer en intervalos. ^[71] Se han hecho muchos intentos de relajar las restricciones del teorema de la estructura original. ^{[ aclaración necesaria ]} El caso de los módulos de persistencia de dimensión finita puntuales indexados por un subconjunto localmente finito de se resuelve basándose en el trabajo de Webb. ^[72] El resultado más notable lo realiza Crawley-Boevey, que resolvió el caso de . El teorema de Crawley-Boevey establece que cualquier módulo de persistencia puntual de dimensión finita es una suma directa de módulos de intervalo. ^[73] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Para comprender la definición de su teorema, es necesario introducir algunos conceptos. Un intervalo en se define como un subconjunto que tiene la propiedad de que si existe tal que , entonces también. Un módulo de intervalo asigna a cada elemento el espacio vectorial y asigna el espacio vectorial cero a los elementos en . Todos los mapas son el mapa cero, a menos que y , en cuyo caso es el mapa de identidad. ^[35] Los módulos de intervalo no se pueden descomponer. ^[74] ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r,t\in I}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r\leq s\leq t}$ ${\displaystyle s\in I}$ ${\displaystyle k_{I}}$ ${\displaystyle s\in I}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus I}$ ${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$ ${\displaystyle s,t\in I}$ ${\displaystyle s\leq t}$ ${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$

Aunque el resultado de Crawley-Boevey es un teorema muy poderoso, todavía no se extiende al caso q-tame. ^[71] Un módulo de persistencia es q-tame si el rango de es finito para todos . Hay ejemplos de módulos de persistencia de q-tame que no logran ser finitos puntualmente. ^[75] Sin embargo, resulta que un teorema de estructura similar aún se cumple si se eliminan las características que existen solo en un valor de índice. ^[74] Esto es válido porque las partes de dimensiones infinitas en cada valor de índice no persisten, debido a la condición de rango finito. ^[76] Formalmente, la categoría observable se define como , en la que denota la subcategoría completa de cuyos objetos son los módulos efímeros ( siempre ). ^[74] ${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$ ${\displaystyle s<t}$ ${\displaystyle \mathrm {Ob} }$ ${\displaystyle \mathrm {Pers} /\mathrm {Eph} }$ ${\displaystyle \mathrm {Eph} }$ ${\displaystyle \mathrm {Pers} }$ ${\displaystyle \rho _{s}^{t}=0}$ ${\displaystyle s<t}$

Tenga en cuenta que los resultados ampliados enumerados aquí no se aplican a la persistencia en zigzag, ya que el análogo de un módulo de persistencia en zigzag terminado no es inmediatamente obvio. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Estadísticas

Los datos reales son siempre finitos, por lo que su estudio requiere que tengamos en cuenta la estocasticidad. El análisis estadístico nos brinda la capacidad de separar las características reales de los datos de los artefactos introducidos por el ruido aleatorio. La homología persistente no tiene ningún mecanismo inherente para distinguir entre características de baja probabilidad y características de alta probabilidad.

Una forma de aplicar la estadística al análisis de datos topológicos es estudiar las propiedades estadísticas de las características topológicas de las nubes de puntos. El estudio de complejos simpliciales aleatorios ofrece una idea de la topología estadística. K. Turner y col. ^[77] ofrece un resumen del trabajo en este sentido.

Una segunda forma es estudiar distribuciones de probabilidad en el espacio de persistencia. El espacio de persistencia es , donde es el espacio de todos los códigos de barras que contienen exactamente intervalos y las equivalencias son si . ^[78] Este espacio es bastante complicado; por ejemplo, no está completo según la métrica del cuello de botella. El primer intento de estudiarlo es el de Y. Mileyko et al. ^[79] El espacio de los diagramas de persistencia en su artículo se define como ${\displaystyle B_{\infty }}$ ${\displaystyle \coprod _{n}B_{n}/{\backsim }}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n},y_{n}]\}\backsim \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n-1},y_{n-1}]\}}$ ${\displaystyle x_{n}=y_{n}}$ ${\displaystyle D_{p}}$

$${\displaystyle D_{p}:=\left\{d\mid \sum _{x\in d}\left(2\inf _{y\in \Delta }\lVert x-y\rVert \right)^{p}<\infty \right\}}$$

sentido de Fréchetla prueba de significación de la hipótesis nula^[80] los intervalos de confianza^[81][82] ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D_{p}}$ ${\displaystyle W_{p}(u,v)=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (u,v)}\int _{\mathbb {X} \times \mathbb {X} }\rho ^{p}(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p}}$

Una tercera forma es considerar directamente la cohomología del espacio probabilístico o sistemas estadísticos, llamadas estructuras de información y que consisten básicamente en la tripleta ( ), el espacio muestral, las variables aleatorias y las leyes de probabilidad. ^{[83] [84]} Las variables aleatorias se consideran particiones de las n probabilidades atómicas (vistas como una probabilidad (n-1)-simplex, ) en la red de particiones ( ). Las variables aleatorias o módulos de funciones medibles proporcionan los complejos de cocadenas, mientras que la cofrontera se considera como el álgebra homológica general descubierta por primera vez por Hochschild con una acción izquierda que implementa la acción del condicionamiento. La primera condición del cociclo corresponde a la regla de la cadena de la entropía, lo que permite derivar de forma única hasta la constante multiplicativa, la entropía de Shannon como primera clase de cohomología. La consideración de una acción de izquierda deformada generaliza el marco a las entropías de Tsallis. La cohomología de la información es un ejemplo de topos anillados. Multivariado k- La información mutua aparece en expresiones de colímites y su desaparición, relacionada con la condición de cociclo, proporciona condiciones equivalentes para la independencia estadística. ^[85] Los mínimos de información mutua, también llamados sinergia, dan lugar a interesantes configuraciones de independencia análogas a los enlaces homotópicos. Debido a su complejidad combinatoria, sólo se ha investigado con datos el subcaso simple de la cohomología y de la estructura de la información. Aplicadas a los datos, esas herramientas cohomológicas cuantifican las dependencias e independencias estadísticas, incluidas las cadenas de Markov y la independencia condicional , en el caso multivariado. ^[86] En particular, las informaciones mutuas generalizan el coeficiente de correlación y la covarianza a dependencias estadísticas no lineales. Estos enfoques se desarrollaron de forma independiente y solo se relacionaron indirectamente con los métodos de persistencia, pero pueden entenderse de manera aproximada en el caso simple utilizando el teorema de Hu Kuo Tin que establece una correspondencia uno a uno entre funciones de información mutua y una función finita mensurable de un conjunto con operador de intersección. , para construir el esqueleto del complejo Čech . La cohomología de la información ofrece alguna interpretación y aplicación directa en términos de neurociencia (teoría del ensamblaje neuronal y cognición cualitativa ^[87] ), física estadística y redes neuronales profundas para las cuales la estructura y el algoritmo de aprendizaje están impuestos por el complejo de variables aleatorias y la cadena de información. regla. ^[88] ${\displaystyle \Omega ,\Pi ,P}$ ${\displaystyle |\Omega |=n}$ ${\displaystyle \Pi _{n}}$

Los paisajes de persistencia, introducidos por Peter Bubenik, son una forma diferente de representar códigos de barras, más susceptibles al análisis estadístico. ^[89] El paisaje de persistencia de un módulo persistente se define como una función , donde denota la línea real extendida y . El espacio de los paisajes de persistencia es muy bonito: hereda todas las buenas propiedades de la representación de códigos de barras (estabilidad, fácil representación, etc.), pero las cantidades estadísticas se pueden definir fácilmente, y algunos problemas en el trabajo de Y. Mileyko et al., como como la no unicidad de las expectativas, ^[79] puede ser superada. Se encuentran disponibles algoritmos efectivos para el cálculo con paisajes de persistencia. ^[90] Otro enfoque es utilizar la persistencia revisada, que es la persistencia de imagen, núcleo y cokernel. ^[91] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \lambda :\mathbb {N} \times \mathbb {R} \to {\bar {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \lambda (k,t):=\sup(m\geq 0\mid \beta ^{t-m,t-m}\geq k)}$ ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \beta ^{a,b}=\mathrm {dim} (\mathrm {im} (M(a\leq b)))}$

Aplicaciones

Clasificación de aplicaciones

Existe más de una forma de clasificar las aplicaciones de TDA. Quizás la forma más natural sea por campo. Una lista muy incompleta de aplicaciones exitosas incluye ^[92] esqueletización de datos, ^[93] estudio de formas, ^[94] reconstrucción de gráficos, ^{[95] [96] [97] [98] [99]} análisis de imágenes, ^{[100] [101]} material, ^{[102] [103]} análisis de progresión de la enfermedad, ^{[104] [105]} red de sensores, ^[67] análisis de señales, ^[106] red cósmica, ^[107] red compleja, ^{[108] [109] [110] [ 111]} geometría fractal, ^[112] evolución viral, ^[113] propagación de contagios en redes, ^[114] clasificación de bacterias mediante espectroscopia molecular, ^[115] microscopía de superresolución, ^[116] imágenes hiperespectrales en química física, ^[117] teledetección, ^[118] selección de funciones, ^[119] y señales de alerta temprana de crisis financieras. ^[120]

Otra forma es distinguiendo las técnicas de G. Carlsson, ^[78]

uno es el estudio de invariantes homológicos de datos en conjuntos de datos individuales, y el otro es el uso de invariantes homológicos en el estudio de bases de datos donde los propios puntos de datos tienen una estructura geométrica.

Características del TDA en aplicaciones

Hay varias características interesantes notables de las aplicaciones recientes de TDA:

1. Combinando herramientas de varias ramas de las matemáticas . Además de la obvia necesidad de álgebra y topología, las ecuaciones diferenciales parciales, ^[121] la geometría algebraica, ^[41] la teoría de la representación, ^[54] la estadística, la combinatoria y la geometría de Riemann ^[76] han encontrado uso en TDA.
2. Análisis cuantitativo . La topología se considera muy blanda ya que muchos conceptos son invariantes bajo homotopía. Sin embargo, la topología persistente es capaz de registrar el nacimiento (aparición) y la muerte (desaparición) de características topológicas, por lo que contiene información geométrica adicional. Una evidencia en teoría es un resultado parcialmente positivo sobre la unicidad de la reconstrucción de curvas; ^[122] dos en aplicación se refieren al análisis cuantitativo de la estabilidad del fullereno y al análisis cuantitativo de la autosimilitud , por separado. ^{[112] [123]}
3. El papel de la corta persistencia . También se ha descubierto que la persistencia breve es útil, a pesar de la creencia común de que el ruido es la causa del fenómeno. ^[124] Esto es interesante para la teoría matemática.

Uno de los principales campos del análisis de datos en la actualidad es el aprendizaje automático . Algunos ejemplos de aprendizaje automático en TDA se pueden encontrar en Adcock et al. ^[125] Una conferencia está dedicada al vínculo entre TDA y el aprendizaje automático. Para poder aplicar herramientas de aprendizaje automático, la información obtenida de TDA debe representarse en forma vectorial. Un intento en curso y prometedor es el panorama de persistencia analizado anteriormente. Otro intento utiliza el concepto de imágenes de persistencia. ^[126] Sin embargo, un problema de este método es la pérdida de estabilidad, ya que el teorema de estabilidad estricta depende de la representación del código de barras.

Impacto en las matemáticas

El análisis de datos topológicos y la homología persistente han tenido impactos en la teoría Morse . ^[127] La ​​teoría de Morse ha jugado un papel muy importante en la teoría de TDA, incluso en la computación. Algunos trabajos en homología persistente han extendido los resultados sobre las funciones Morse a funciones domesticadas o, incluso, a funciones continuas ^{[ cita requerida ]} . Un resultado olvidado de R. Deheuvels mucho antes de la invención de la homología persistente extiende la teoría Morse a todas las funciones continuas. ^[128]

Un resultado reciente es que la categoría de gráficos de Reeb es equivalente a una clase particular de cosheaf. ^[129] Esto está motivado por el trabajo teórico en TDA, ya que el gráfico de Reeb está relacionado con la teoría de Morse y MAPPER se deriva de ella. La prueba de este teorema se basa en la distancia de entrelazado.

La homología persistente está estrechamente relacionada con las secuencias espectrales . ^{[130] [131]} En particular, el algoritmo que lleva un complejo filtrado a su forma canónica ^[11] permite un cálculo mucho más rápido de secuencias espectrales que el procedimiento estándar de calcular grupos página por página. La persistencia en zigzag puede resultar de importancia teórica para las secuencias espectrales. ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$

DONUT: una base de datos de aplicaciones TDA

La base de datos de usos originales y no teóricos de la topología (DONUT) es una base de datos de artículos académicos que presentan aplicaciones prácticas del análisis de datos topológicos en diversas áreas de la ciencia. DONUT fue iniciado en 2017 por Barbara Giunti, Janis Lazovskis y Bastian Rieck ^[132] y, en octubre de 2023, actualmente contiene 447 artículos. ^[133] DONUT apareció en la edición de noviembre de 2023 de Notices of the American Mathematical Society . ^[134]

Ver también

• Reducción de dimensionalidad
• Procesamiento de datos
• Visión por computador
• Topología computacional
• Teoría de Morse discreta
• Análisis de formas (geometría digital)
• Teoría del tamaño
• Topología algebraica

Referencias

1. Epstein, Carlos ; Carlsson, Gunnar ; Edelsbrunner, Herbert (1 de diciembre de 2011). "Análisis de datos topológicos". Problemas inversos . 27 (12): 120201. arXiv : 1609.08227 . Código Bib : 2011InvPr..27a0101E. doi :10.1088/0266-5611/27/12/120201. S2CID  250913810.
2. "diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%253A575329&dswid=4297". www.diva-portal.org . Archivado desde el original el 19 de noviembre de 2015 . Consultado el 5 de noviembre de 2015 .
3. Carlsson, Gunnar (1 de enero de 2009). "Topología y datos". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 46 (2): 255–308. doi : 10.1090/S0273-0979-09-01249-X . ISSN  0273-0979.
4. Edelsbrunner, H.; Morózov, D. (2017). "Homología persistente". En Csaba D. Toth; José O'Rourke; Jacob E. Goodman (eds.). Manual de geometría discreta y computacional (3ª ed.). CDN. doi :10.1201/9781315119601. ISBN 9781315119601.
5. Frosini, Patrizio (1 de diciembre de 1990). "Una distancia para clases de similitud de subvariedades de un espacio euclidiano". Boletín de la Sociedad Australiana de Matemáticas . 42 (3): 407–415. doi : 10.1017/S0004972700028574 . ISSN  1755-1633.
6. Frosini, Patrizio (1992). Casasent, David P. (ed.). "Medir formas por funciones de tamaño". Proc. SPIE, Robots Inteligentes y Visión por Computador X: Algoritmos y Técnicas . Robots inteligentes y visión por computadora X: algoritmos y técnicas. 1607 : 122-133. Código bibliográfico : 1992SPIE.1607..122F. doi : 10.1117/12.57059. S2CID  121295508.
7. Petirrojos V. Hacia el cálculo de la homología a partir de aproximaciones finitas[C]//Procedimientos de topología. 1999, 24(1): 503-532.
8. Edelsbrunner; Letscher; Zomorodiano (1 de noviembre de 2002). "Persistencia y simplificación topológica". Geometría discreta y computacional . 28 (4): 511–533. doi : 10.1007/s00454-002-2885-2 . ISSN  0179-5376.
9. Carlsson, Gunnar; Zomorodiano, Afra; Collins, Ana; Guibas, Leónidas J. (1 de diciembre de 2005). "Códigos de barras de persistencia para formas". Revista internacional de modelado de formas . 11 (2): 149–187. CiteSeerX 10.1.1.5.2718 . doi :10.1142/S0218654305000761. ISSN  0218-6543. 
10. Zomorodian, Afra; Carlsson, Gunnar (19 de noviembre de 2004). "Computación de la homología persistente". Geometría discreta y computacional . 33 (2): 249–274. doi : 10.1007/s00454-004-1146-y . ISSN  0179-5376.
11. Barannikov, Sergey (1994). "Complejo Morse enmarcado y sus invariantes". Avances en las matemáticas soviéticas . ADVSOV. 21 : 93-115. doi :10.1090/advsov/021/03. ISBN 9780821802373. S2CID  125829976.
12. "Coloquio del Departamento de Matemáticas de UC Berkeley: homología persistente y aplicaciones de PDE a topología simpléctica". eventos.berkeley.edu. Archivado desde el original el 18 de abril de 2021 . Consultado el 27 de marzo de 2021 .
13. Chazal, Frédéric; Cohen-Steiner, David; Glisse, Marc; Guibas, Leónidas J.; Oudot, Steve Y. (1 de enero de 2009). "Proximidad de módulos de persistencia y sus diagramas". Actas del vigésimo quinto simposio anual sobre geometría computacional . SCG '09. ACM. págs. 237–246. CiteSeerX 10.1.1.473.2112 . doi :10.1145/1542362.1542407. ISBN  978-1-60558-501-7. S2CID  840484.
14. Munch, E. (2013). Aplicaciones de homología persistente a sistemas variables en el tiempo (Tesis). Universidad de Duke. hdl :10161/7180. ISBN 9781303019128.
15. Shikhman, Vladimir (2011). Aspectos topológicos de la optimización no suave. Saltador. págs. 169-170. ISBN 9781461418979. Consultado el 22 de noviembre de 2017 .
16. Cohen-Steiner, David; Edelsbrunner, Herbert; Harer, John (12 de diciembre de 2006). "Diagramas de estabilidad de persistencia". Geometría discreta y computacional . 37 (1): 103–120. doi : 10.1007/s00454-006-1276-5 . ISSN  0179-5376.
17. Ghrist, Robert (1 de enero de 2008). "Códigos de barras: la topología persistente de los datos". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 45 (1): 61–75. doi : 10.1090/S0273-0979-07-01191-3 . ISSN  0273-0979.
18. Chazal, Federico; Glisse, Marc; Labruère, Catherine; Michel, Bertrand (27 de mayo de 2013). "Tasas óptimas de convergencia para diagramas de persistencia en análisis de datos topológicos". arXiv : 1305.6239 [matemáticas.ST].
19. Edelsbrunner y Harer 2010
20. De Silva, Vin; Carlsson, Gunnar (1 de enero de 2004). Estimación topológica mediante complejos testigo . SPBG'04. Aire-la-Ville, Suiza, Suiza: Asociación Eurográfica. págs. 157-166. doi :10.2312/SPBG/SPBG04/157-166. ISBN 978-3-905673-09-8. S2CID  2928987. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
21. Mischaikow, Konstantin; Nanda, Vidit (27 de julio de 2013). "Teoría de Morse para filtraciones y cálculo eficiente de homología persistente". Geometría discreta y computacional . 50 (2): 330–353. doi : 10.1007/s00454-013-9529-6 . ISSN  0179-5376.
22. Henselman, Gregorio; Grist, Robert (2016). "Filtración de matroides y homología persistente computacional". arXiv : 1606.00199 [matemáticas.AT].
23. Chen, Chao; Kerber, Michael (1 de mayo de 2013). "Un algoritmo sensible a la salida para una homología persistente". Geometría Computacional . 27º Simposio Anual sobre Geometría Computacional (SoCG 2011). 46 (4): 435–447. doi : 10.1016/j.comgeo.2012.02.010 .
24. Nutria, Nina; Portero, Mason A.; Tillmann, Ulrike; Grindrod, Peter; Harrington, Heather A. (29 de junio de 2015). "Una hoja de ruta para el cálculo de la homología persistente". Ciencia de datos de EPJ . 6 (1): 17. arXiv : 1506.08903 . Código Bib : 2015arXiv150608903O. doi :10.1140/epjds/s13688-017-0109-5. PMC 6979512 . PMID  32025466. 
25. Fasy, Bretaña Terese; Kim, Jisu; Lecci, Fabricio; María, Clément (7 de noviembre de 2014). "Introducción al paquete R TDA". arXiv : 1411.1830 [cs.MS].
26. Wadhwa, Raoul; Williamson, dibujó; Dhawan, Andrés; Scott, Jacob (2018). "TDAstats: canal R para calcular la homología persistente en el análisis de datos topológicos". Revista de software de código abierto . 3 (28): 860. Código bibliográfico : 2018JOSS....3..860R. doi : 10.21105/joss.00860 . PMC 7771879 . PMID  33381678. 
27. Liu, S.; Maljovec, D.; Wang, B.; Bremer, PT; Pascucci, V. (2016). "Visualización de datos de alta dimensión: avances en la última década". Transacciones IEEE sobre visualización y gráficos por computadora . 23 (3): 1249–68. doi : 10.1109/TVCG.2016.2640960 . PMID  28113321. S2CID  745262.
28. Dey, Tamal K .; Mémoli, Facundo; Wang, Yusu (14 de abril de 2015). "Mapeador multiescala: un marco para el resumen topológico de datos y mapas". arXiv : 1504.03763 [cs.CG].
29. <!- Confirme esta referencia -> Singh, G.; Mémoli, F.; Carlsson, G. (2007). "Métodos topológicos para el análisis de conjuntos de datos de alta dimensión y reconocimiento de objetos 3D" (PDF) . Gráficos basados ​​en puntos 2007: actas del simposio Eurographics/IEEE VGTC . doi :10.2312/SPBG/SPBG07/091-100. ISBN 9781568813660. S2CID  5703368.
30. Bott, Raoul; Tu, Loring W. (17 de abril de 2013). Formas diferenciales en topología algebraica. Saltador. ISBN 978-1-4757-3951-0.
31. Pascucci, Valerio; Scorzelli, Giorgio; Bremer, Peer-Timo; Mascarenhas, Ajith (2007). "Cálculo robusto en línea de gráficos Reeb: simplicidad y velocidad". Transacciones ACM sobre gráficos . 33 : 58,1–58,9. doi : 10.1145/1275808.1276449 .
32. Curry, Justin (13 de marzo de 2013). "Gavillas, poleas y aplicaciones". arXiv : 1303.3255 [matemáticas.AT].
33. Liu, Xu; Xie, Zheng; Yi, Dongyun (1 de enero de 2012). "Un algoritmo rápido para construir estructuras topológicas en grandes datos". Homología, Homotopía y Aplicaciones . 14 (1): 221–238. doi : 10.4310/hha.2012.v14.n1.a11 . ISSN  1532-0073.
34. Lum, PY; Singh, G.; Lehman, A.; Ishkánov, T.; Vejdemo-Johansson, M.; Alagappan, M.; Carlsson, J.; Carlsson, G. (7 de febrero de 2013). "Extracción de conocimientos a partir de la forma de datos complejos mediante topología". Informes científicos . 3 : 1236. Código Bib : 2013NatSR...3E1236L. doi :10.1038/srep01236. PMC 3566620 . PMID  23393618. 
35. Curry, Justin (3 de noviembre de 2014). "Análisis de datos topológicos y cosheaves". arXiv : 1411.0613 [matemáticas.AT].
36. Frosini, P; Mulazzani, M. (1999). "Grupos de homotopía de tamaño para el cálculo de distancias de tamaño natural". Boletín de la Sociedad Matemática Belga, Simon Stevin . 6 (3): 455–464. doi : 10.36045/bbms/1103065863 .
37. Carlsson, G.; Zomorodian, A. (2009). "Computación de la persistencia multidimensional". Algoritmos y Computación . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 42. Saltador. págs. 71–93. doi :10.1007/978-3-642-10631-6_74. ISBN 978-3-642-10631-6.
38. Carlsson, G.; Singh, A.; Zomorodiano, A. (2010). "Computación de la persistencia multidimensional". Revista de geometría computacional . 1 : 72–100. doi : 10.20382/jocg.v1i1a6. S2CID  15529723.
39. Harrington, H.; Nutria, N.; Schenck, H.; Tillman, U. (2019). "Estratificación de la homología persistente multiparamétrica". Revista SIAM de Álgebra y Geometría Aplicadas . 3 (3): 439–471. arXiv : 1708.07390 . doi :10.1137/18M1224350. S2CID  119689059.
40. Biasotti, S.; Cerri, A.; Frosini, P.; Giorgi, D.; Landi, C. (17 de mayo de 2008). "Funciones de tamaño multidimensional para comparación de formas". Revista de visión y imágenes matemáticas . 32 (2): 161-179. doi :10.1007/s10851-008-0096-z. ISSN  0924-9907. S2CID  13372132.
41. Carlsson, Gunnar; Zomorodiano, Afra (24 de abril de 2009). "La teoría de la persistencia multidimensional". Geometría discreta y computacional . 42 (1): 71–93. doi : 10.1007/s00454-009-9176-0 . ISSN  0179-5376.
42. Derksen, H.; Weyman, J. (2005). «Representaciones de carcaj» (PDF) . Avisos de la AMS . 52 (2): 200–6.
43. Atiyah, MF (1956). «Sobre el teorema de Krull-Schmidt con aplicación a gavillas» (PDF) . Boletín de la Société Mathématique de France . 84 : 307–317. doi :10.24033/bsmf.1475.
44. Cerri A, Di Fabio B, Ferri M y col. La homología persistente multidimensional es estable [J]. arXiv : 0908.0064, 2009.
45. Cagliari, Francesca; Landi, Claudia (1 de abril de 2011). "Finitud de invariantes de rango de grupos de homología persistente multidimensionales". Letras de Matemática Aplicada . 24 (4): 516–8. arXiv : 1001.0358 . doi :10.1016/j.aml.2010.11.004. S2CID  14337220.
46. Cagliari, Francesca; Di Fabio, Bárbara; Ferri, Massimo (1 de enero de 2010). "Reducción unidimensional de homología persistente multidimensional". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 138 (8): 3003–17. arXiv : matemáticas/0702713 . doi :10.1090/S0002-9939-10-10312-8. ISSN  0002-9939. S2CID  18284958.
47. Cerri, Andrea; Fabio, Bárbara Di; Ferri, Massimo; Frosini, Patrizio; Landi, Claudia (1 de agosto de 2013). "Los números de Betti en homología persistente multidimensional son funciones estables". Métodos Matemáticos en las Ciencias Aplicadas . 36 (12): 1543–57. Código Bib : 2013MMAS...36.1543C. doi :10.1002/mma.2704. ISSN  1099-1476. S2CID  9938133.
48. Cerri, Andrea; Frosini, Patrizio (15 de marzo de 2015). "Condiciones necesarias para las discontinuidades de números de Betti persistentes multidimensionales". Métodos Matemáticos en las Ciencias Aplicadas . 38 (4): 617–629. Código Bib : 2015MMAS...38..617C. doi :10.1002/mma.3093. ISSN  1099-1476. S2CID  5537858.
49. Cerri, Andrea; Landi, Claudia (20 de marzo de 2013). "El espacio de persistencia en homología persistente multidimensional". En González-Díaz, Rocío; Jiménez, María-José; Medrano, Belén (eds.). Geometría discreta para imágenes por computadora . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 7749. Springer Berlín Heidelberg. págs. 180-191. doi :10.1007/978-3-642-37067-0_16. ISBN 978-3-642-37066-3.
50. Skryzalin, Jacek; Carlsson, Gunnar (14 de noviembre de 2014). "Invariantes numéricas de la persistencia multidimensional". arXiv : 1411.4022 [cs.CG].
51. Carlsson, Gunnar; Singh, Gurjeet; Zomorodiano, Afra (16 de diciembre de 2009). "Computación de la persistencia multidimensional". En Dong, Yingfei; Du, Ding-Zhu; Ibarra, Óscar (eds.). Algoritmos y Computación . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 5878. Springer Berlín Heidelberg. págs. 730–9. CiteSeerX 10.1.1.313.7004 . doi :10.1007/978-3-642-10631-6_74. ISBN  978-3-642-10630-9. S2CID  15529723.
52. Allili, Madjid; Kaczynski, Tomasz; Landi, Claudia (30 de octubre de 2013). "Reducción de complejos en la teoría de la homología persistente multidimensional". arXiv : 1310.8089 [cs.CG].
53. Cavazza, N.; Ferri, M.; Landi, C. (2010). "Estimación de homología persistente multidimensional mediante un muestreo finito". Revista internacional de aplicaciones y geometría computacional . 25 (3): 187–205. arXiv : 1507.05277 . doi :10.1142/S0218195915500119. S2CID  4803380.
54. Carlsson, Gunnar; Silva, Vin de (21 de abril de 2010). "Persistencia en zigzag". Fundamentos de la Matemática Computacional . 10 (4): 367–405. doi : 10.1007/s10208-010-9066-0 . ISSN  1615-3375.
55. Cohen-Steiner, David; Edelsbrunner, Herbert; Harer, John (4 de abril de 2008). "Ampliar la persistencia utilizando la dualidad de Poincaré y Lefschetz". Fundamentos de la Matemática Computacional . 9 (1): 79-103. doi :10.1007/s10208-008-9027-z. ISSN  1615-3375. S2CID  33297537.
56. de Silva, Vin; Morozov, Dmitriy; Vejdemo-Johansson, Mikael (2011). "Dualidades en (co)homología persistente". Problemas inversos . 27 (12): 124003. arXiv : 1107.5665 . Código Bib : 2011InvPr..27l4003D. doi :10.1088/0266-5611/27/12/124003. S2CID  5706682.
57. Silva, Vin de; Morozov, Dmitriy; Vejdemo-Johansson, Mikael (30 de marzo de 2011). "Cohomología persistente y coordenadas circulares". Geometría discreta y computacional . 45 (4): 737–759. arXiv : 0905.4887 . doi :10.1007/s00454-011-9344-x. ISSN  0179-5376. S2CID  31480083.
58. Burghelea, Dan ; Dey, Tamal K. (9 de abril de 2013). "Persistencia topológica de mapas con valores circulares". Geometría discreta y computacional . 50 (1): 69–98. arXiv : 1104.5646 . doi :10.1007/s00454-013-9497-x. ISSN  0179-5376. S2CID  17407953.
59. Sergey P. Novikov , Estructuras cuasiperiódicas en topología [C] // Métodos topológicos en matemáticas modernas, Actas del simposio en honor al sexagésimo cumpleaños de John Milnor celebrado en la Universidad Estatal de Nueva York, Stony Brook, Nueva York. 1991: 223-233.
60. Bruto, Jonathan L.; Yellen, Jay (2 de junio de 2004). Manual de teoría de grafos. Prensa CRC . ISBN 978-0-203-49020-4.
61. Burghelea, Dan ; Haller, Stefan (4 de junio de 2015). "Topología de mapas con valores angulares, códigos de barras y bloques Jordan". arXiv : 1303.4328 [matemáticas.AT].
62. Frosini, Patrizio (23 de junio de 2012). "Comparación estable de grupos de homología persistente multidimensional con torsión". Acta Applicandae Mathematicae . 124 (1): 43–54. arXiv : 1012.4169 . doi :10.1007/s10440-012-9769-0. ISSN  0167-8019. S2CID  4809929.
63. Lesnick, Michael (24 de marzo de 2015). "La teoría de la distancia entrelazada en módulos de persistencia multidimensionales". Fundamentos de la Matemática Computacional . 15 (3): 613–650. arXiv : 1106.5305 . doi :10.1007/s10208-015-9255-y. ISSN  1615-3375. S2CID  17184609.
64. Bubenik, Peter; Scott, Jonathan A. (28 de enero de 2014). "Categorificación de homología persistente". Geometría discreta y computacional . 51 (3): 600–627. arXiv : 1205.3669 . doi :10.1007/s00454-014-9573-x. ISSN  0179-5376. S2CID  11056619.
65. Bubenik, Peter; Silva, Vin de; Scott, Jonathan (9 de octubre de 2014). "Métricas para módulos de persistencia generalizada". Fundamentos de la Matemática Computacional . 15 (6): 1501–31. CiteSeerX 10.1.1.748.3101 . doi :10.1007/s10208-014-9229-5. ISSN  1615-3375. S2CID  16351674. 
66. de Silva, Vin; Nanda, Vidit (1 de enero de 2013). "Geometría en el espacio de módulos de persistencia". Actas del vigésimo noveno simposio anual sobre geometría computacional . SoCG '13. Nueva York, NY, Estados Unidos: ACM. págs. 397–404. doi :10.1145/2462356.2462402. ISBN 978-1-4503-2031-3. S2CID  16326608.
67. De Silva, V.; Grist, R. (2007). "Cobertura en redes de sensores mediante homología persistente". Topología algebraica y geométrica . 7 (1): 339–358. doi : 10.2140/agt.2007.7.339 .
68. d'Amico, Michele; Frosini, Patrizio; Landi, Claudia (14 de octubre de 2008). "Pseudodistancia natural y coincidencia óptima entre funciones de tamaño reducido". Acta Applicandae Mathematicae . 109 (2): 527–554. arXiv : 0804.3500 . Código Bib : 2008arXiv0804.3500D. doi :10.1007/s10440-008-9332-1. ISSN  0167-8019. S2CID  1704971.
69. Di Fabio, B.; Frosini, P. (1 de agosto de 2013). "Filtraciones inducidas por funciones continuas". Topología y sus aplicaciones . 160 (12): 1413–22. arXiv : 1304.1268 . Código Bib : 2013arXiv1304.1268D. doi :10.1016/j.topol.2013.05.013. S2CID  13971804.
70. Lesnick, Michael (6 de junio de 2012). "Entrelazamientos multidimensionales y aplicaciones a la inferencia topológica". arXiv : 1206.1365 [matemáticas.AT].
71. Chazal, Federico; de Silva, Vin; Glisse, Marc; Oudot, Steve (16 de julio de 2012). "La estructura y estabilidad de los módulos de persistencia". arXiv : 1207.3674 [matemáticas.AT].
72. Webb, Cary (1 de enero de 1985). "Descomposición de módulos calificados". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 94 (4): 565–571. doi : 10.1090/S0002-9939-1985-0792261-6 . ISSN  0002-9939.
73. Crawley-Boevey, William (2015). "Descomposición de módulos de persistencia puntuales de dimensión finita". Revista de Álgebra y sus aplicaciones . 14 (5): 1550066. arXiv : 1210.0819 . doi :10.1142/s0219498815500668. S2CID  119635797.
74. Chazal, Federico; Crawley-Boevey, William; de Silva, Vin (22 de mayo de 2014). "La estructura observable de los módulos de persistencia". arXiv : 1405.5644 [matemáticas.RT].
75. Droz, Jean-Marie (15 de octubre de 2012). "Un subconjunto del espacio euclidiano con gran homología Vietoris-Rips". arXiv : 1210.4097 [matemáticas.GT].
76. Weinberger, S. (2011). "¿Qué es... la homología persistente?" (PDF) . Avisos de la AMS . 58 (1): 36–39.
77. Turner, Catalina; Mileyko, Yuriy; Mukherjee, Sayán; Harer, John (12 de julio de 2014). "Medios de Fréchet para distribuciones de diagramas de persistencia". Geometría discreta y computacional . 52 (1): 44–70. arXiv : 1206.2790 . doi :10.1007/s00454-014-9604-7. ISSN  0179-5376. S2CID  14293062.
78. Carlsson, Gunnar (1 de mayo de 2014). "Reconocimiento de patrones topológicos para datos de nubes de puntos". Acta Numérica . 23 : 289–368. doi : 10.1017/S0962492914000051 . ISSN  1474-0508.
79. Mileyko, Yuriy; Mukherjee, Sayán; Harer, John (10 de noviembre de 2011). "Medidas de probabilidad en el espacio de diagramas de persistencia". Problemas inversos . 27 (12): 124007. Código bibliográfico : 2011InvPr..27l4007M. doi :10.1088/0266-5611/27/12/124007. ISSN  0266-5611. S2CID  250676.
80. Robinson, Andrés; Turner, Katharine (28 de octubre de 2013). "Prueba de hipótesis para el análisis de datos topológicos". arXiv : 1310.7467 [estad.AP].
81. Fasy, Bretaña Terese; Lecci, Fabricio; Rinaldo, Alejandro; Wasserman, Larry; Balakrishnan, Sivaraman; Singh, Aarti (1 de diciembre de 2014). "Conjuntos de confianza para diagramas de persistencia". Los anales de la estadística . 42 (6): 2301–39. arXiv : 1303.7117 . doi : 10.1214/14-AOS1252 . ISSN  0090-5364.
82. Blumberg, Andrew J.; Gal, Itamar; Mandell, Michael A.; Pancia, Mateo (15 de mayo de 2014). "Estadísticas sólidas, pruebas de hipótesis e intervalos de confianza para homología persistente en espacios de medidas métricas". Fundamentos de la Matemática Computacional . 14 (4): 745–789. arXiv : 1206.4581 . doi :10.1007/s10208-014-9201-4. ISSN  1615-3375. S2CID  17150103.
83. Baudot, Pedro; Bennequin, Daniel (2015). "La naturaleza homológica de la entropía". Entropía . 17 (5): 3253–3318. Código Bib : 2015Entrp..17.3253B. doi : 10.3390/e17053253 .
84. Vigneaux, Juan-Pablo (2019). Topología de sistemas estadísticos: un enfoque cohomológico de la teoría de la información (PDF) (Doctor). Universidad Sorbona París Cité. tel-02951504.
85. Baudot, Pedro; Tapia, Mónica; Bennequín, Daniel; Goaillard, Jean-Marc (2019). "Análisis de datos de información topológica". Entropía . 21 (9): 881. Bibcode : 2019Entrp..21..881B. doi : 10.3390/e21090881 . PMC 7515411 . 
86. Tapia, Mónica; al., et (2018). "La identidad de los neurotransmisores y el fenotipo electrofisiológico están acoplados genéticamente en las neuronas dopaminérgicas del mesencéfalo". Informes científicos . 8 (1): 13637. Código bibliográfico : 2018NatSR...813637T. doi :10.1038/s41598-018-31765-z. PMC 6134142 . PMID  30206240. 
87. Baudot, Pierre (2019). "Elementos de cognición cualitativa: una perspectiva de topología de la información". Reseñas de Física de la Vida . 31 : 263–275. arXiv : 1807.04520 . Código Bib : 2019PhLRv..31..263B. doi :10.1016/j.plrev.2019.10.003. PMID  31679788. S2CID  207897618.
88. Baudot, Pierre (2019). "La máquina de Poincaré-Shannon: física estadística y aspectos del aprendizaje automático de la cohomología de la información". Entropía . 21 (9): 881. Bibcode : 2019Entrp..21..881B. doi : 10.3390/e21090881 . PMC 7515411 . 
89. Bubenik, Peter (26 de julio de 2012). "Análisis estadístico de datos topológicos utilizando paisajes de persistencia". arXiv : 1207.6437 [matemáticas.AT].
90. Bubenik, Peter; Dlotko, Pawel (31 de diciembre de 2014). "Una caja de herramientas de paisajes de persistencia para estadísticas topológicas". Revista de Computación Simbólica . 78 : 91-114. arXiv : 1501.00179 . Código Bib : 2015arXiv150100179B. doi :10.1016/j.jsc.2016.03.009. S2CID  9789489.
91. Cohen-Steiner, David; Edelsbrunner, Herbert; Harer, Juan; Morozov, Dmitriy (2009). Actas del vigésimo simposio anual ACM-SIAM sobre algoritmos discretos . págs. 1011-20. CiteSeerX 10.1.1.179.3236 . doi :10.1137/1.9781611973068.110. ISBN  978-0-89871-680-1.
92. Kurlin, V. (2015). "Un esqueleto unidimensional homológicamente persistente de una nube de puntos no estructurada en cualquier espacio métrico" (PDF) . Foro de gráficos por computadora . 34 (5): 253–262. doi :10.1111/cgf.12713. S2CID  10610111.
93. Kurlin, V. (2014). "Un algoritmo rápido y robusto para contar agujeros topológicamente persistentes en nubes ruidosas". Conferencia IEEE 2014 sobre visión por computadora y reconocimiento de patrones (PDF) . págs. 1458-1463. arXiv : 1312.1492 . doi :10.1109/CVPR.2014.189. ISBN 978-1-4799-5118-5. S2CID  10118087.
94. Kurlin, V. (2015). "Un esqueleto homológicamente persistente es un descriptor rápido y sólido de puntos de interés en imágenes 2D" (PDF) . Actas del CAIP: Análisis informático de imágenes y patrones . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 9256, págs. 606–617. doi :10.1007/978-3-319-23192-1_51. ISBN 978-3-319-23191-4.
95. Cerri, A.; Ferri, M.; Giorgi, D. (1 de septiembre de 2006). "Recuperación de imágenes de marcas mediante funciones de tamaño". Modelos gráficos . Número especial sobre la conferencia sobre visión, vídeo y gráficos de 2005. 68 (5–6): 451–471. doi :10.1016/j.gmod.2006.07.001.
96. Chazal, Federico; Cohen-Steiner, David; Guibas, Leónidas J.; Mémoli, Facundo; Oudot, Steve Y. (1 de julio de 2009). "Firmas estables de Gromov-Hausdorff para formas que utilizan persistencia". Foro de gráficos por computadora . 28 (5): 1393-1403. CiteSeerX 10.1.1.161.9103 . doi :10.1111/j.1467-8659.2009.01516.x. ISSN  1467-8659. S2CID  8173320. 
97. Biasotti, S.; Giorgi, D.; Spagnuolo, M.; Falcidieno, B. (1 de septiembre de 2008). "Funciones de tamaño para comparar modelos 3D". Reconocimiento de patrones . 41 (9): 2855–2873. Código Bib : 2008PatRe..41.2855B. doi :10.1016/j.patcog.2008.02.003.
98. Li, C.; Ovsjanikov, M.; Chazal, F. (2014). "Reconocimiento estructural basado en la persistencia". Conferencia IEEE sobre visión por computadora y reconocimiento de patrones (PDF) . págs. 2003–10. doi :10.1109/CVPR.2014.257. ISBN 978-1-4799-5118-5. S2CID  17787875.
99. Tapia, Mónica; al., et (2018). "La identidad de los neurotransmisores y el fenotipo electrofisiológico están acoplados genéticamente en las neuronas dopaminérgicas del mesencéfalo". Informes científicos . 8 (1): 13637. Código bibliográfico : 2018NatSR...813637T. doi :10.1038/s41598-018-31765-z. PMC 6134142 . PMID  30206240. 
100. Bendich, P.; Edelsbrunner, H.; Kerber, M. (1 de noviembre de 2010). "Cálculo de la robustez y persistencia de las imágenes". Transacciones IEEE sobre visualización y gráficos por computadora . 16 (6): 1251-1260. CiteSeerX 10.1.1.185.523 . doi :10.1109/TVCG.2010.139. ISSN  1077-2626. PMID  20975165. S2CID  8589124. 
101. Carlsson, Gunnar; Ishjánov, Tigran; Silva, Vin de; Zomorodiano, Afra (30 de junio de 2007). "Sobre el comportamiento local de los espacios de imágenes naturales". Revista Internacional de Visión por Computadora . 76 (1): 1–12. CiteSeerX 10.1.1.463.7101 . doi :10.1007/s11263-007-0056-x. ISSN  0920-5691. S2CID  207252002. 
102. Hiraoka, Yasuaki; Nakamura, Takenobu; Hirata, Akihiko; Escolar, Emerson G.; Matsue, Kaname; Nishiura, Yasumasa (28 de junio de 2016). "Estructuras jerárquicas de sólidos amorfos caracterizadas por una homología persistente". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 113 (26): 7035–40. arXiv : 1501.03611 . Código Bib : 2016PNAS..113.7035H. doi : 10.1073/pnas.1520877113 . ISSN  0027-8424. PMC 4932931 . PMID  27298351. 
103. Nakamura, Takenobu; Hiraoka, Yasuaki; Hirata, Akihiko; Escolar, Emerson G.; Nishiura, Yasumasa (26 de febrero de 2015). "Homología persistente y estructura atómica de muchos cuerpos para orden de rango medio en el vidrio". Nanotecnología . 26 (30): 304001. arXiv : 1502.07445 . Código Bib : 2015 Nanot..26D4001N. doi :10.1088/0957-4484/26/30/304001. PMID  26150288. S2CID  7298655.
104. Nicolau, Mónica; Levine, Arnold J.; Carlsson, Gunnar (26 de abril de 2011). "El análisis de datos basado en topología identifica un subgrupo de cánceres de mama con un perfil mutacional único y una supervivencia excelente". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 108 (17): 7265–7270. Código bibliográfico : 2011PNAS..108.7265N. doi : 10.1073/pnas.1102826108 . ISSN  0027-8424. PMC 3084136 . PMID  21482760. 
105. Schmidt, Stephan; Publicar, Teun M.; Boroujerdi, Massoud A.; Kesteren, Charlotte van; Ploeger, Bart A.; Pasqua, Oscar E. Della; Danhof, Meindert (1 de enero de 2011). "Análisis de la progresión de la enfermedad: hacia modelos basados ​​en mecanismos". En Kimko, Holly HC; Peck, Carl C. (eds.). Simulaciones de ensayos clínicos . Serie Avances de la AAPS en las Ciencias Farmacéuticas. vol. 1. Springer Nueva York. págs. 433–455. doi :10.1007/978-1-4419-7415-0_19. ISBN 978-1-4419-7414-3.
106. Perea, José A.; Harer, John (29 de mayo de 2014). "Ventanas deslizantes y persistencia: una aplicación de métodos topológicos al análisis de señales". Fundamentos de la Matemática Computacional . 15 (3): 799–838. CiteSeerX 10.1.1.357.6648 . doi :10.1007/s10208-014-9206-z. ISSN  1615-3375. S2CID  592832. 
107. van de Weygaert, Rien; Vegter, Gert; Edelsbrunner, Herbert; Jones, Bernard JT; Pranav, Pratyush; Parque, Changbom; Ala infernal, Wojciech A.; Anciano, Bob; Kruithof, Nico (1 de enero de 2011). Gavrilova, Marina L .; Bronceado, C. Kenneth; Mostafavi, Mir Abolfazl (eds.). Transacciones sobre Ciencias Computacionales XIV. Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag. págs. 60-101. ISBN 978-3-642-25248-8.
108. Horak, Danijela; Maletic, Slobodan; Rajković, Milán (1 de marzo de 2009). "Homología persistente de redes complejas - IOPscience". Revista de Mecánica Estadística: Teoría y Experimento . 2009 (3): P03034. arXiv : 0811.2203 . Código Bib : 2009JSMTE..03..034H. doi :10.1088/1742-5468/2009/03/p03034. S2CID  15592802.
109. Carstens, CJ; Horadam, KJ (4 de junio de 2013). "Homología persistente de redes de colaboración". Problemas Matemáticos en Ingeniería . 2013 : 1–7. doi : 10.1155/2013/815035 .
110. Lee, Hyekyoung; Kang, Hyejin; Chung, MK; Kim, Bung-Nyun; Lee, Dong Soo (1 de diciembre de 2012). "Homología persistente de la red cerebral desde la perspectiva del dendrograma". Transacciones IEEE sobre imágenes médicas . 31 (12): 2267–2277. CiteSeerX 10.1.1.259.2692 . doi :10.1109/TMI.2012.2219590. ISSN  0278-0062. PMID  23008247. S2CID  858022. 
111. Petri, G.; Experto, P.; Türkheimer, F.; Carhart-Harris, R.; Nutt, D.; Hellyer, PJ; Vaccarino, F. (6 de diciembre de 2014). "Andamios homológicos de redes funcionales cerebrales". Revista de la interfaz de la Royal Society . 11 (101): 20140873. doi :10.1098/rsif.2014.0873. ISSN  1742-5689. PMC 4223908 . PMID  25401177. 
112. MacPherson, Robert; Schweinhart, Benjamín (1 de julio de 2012). "Medición de forma con topología". Revista de Física Matemática . 53 (7): 073516. arXiv : 1011.2258 . Código Bib : 2012JMP....53g3516M. doi : 10.1063/1.4737391. ISSN  0022-2488. S2CID  17423075.
113. Chan, José Minhow; Carlsson, Gunnar; Rabadán, Raúl (12 de noviembre de 2013). "Topología de la evolución viral". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 110 (46): 18566–18571. Código bibliográfico : 2013PNAS..11018566C. doi : 10.1073/pnas.1313480110 . ISSN  0027-8424. PMC 3831954 . PMID  24170857. 
114. Taylor, D.; al, et. (21 de agosto de 2015). "Análisis de datos topológicos de mapas de contagio para examinar procesos de propagación en redes". Comunicaciones de la naturaleza . 6 (6): 7723. arXiv : 1408.1168 . Código Bib : 2015NatCo...6.7723T. doi : 10.1038/ncomms8723. ISSN  2041-1723. PMC 4566922 . PMID  26194875. 
115. Offroy, M. (2016). "Análisis de datos topológicos: una prometedora herramienta de exploración de big data en biología, química analítica y química física". Analytica Chimica Acta . 910 : 1–11. Código Bib : 2016AcAC..910....1O. doi :10.1016/j.aca.2015.12.037. PMID  26873463.
116. Weidner, Jonás; Neitzel, Charlotte; Gote, Martín; Cubierta, Jeanette; Kuntzelmann, Kim; Pilarczyk, Götz; Falk, Martín; Hausmann, Michael (2023). "Análisis avanzado sin imágenes de la nanoorganización de la cromatina y otras biomoléculas mediante microscopía de localización de molécula única (SMLM)". Revista de Biotecnología Computacional y Estructural . 21 . Elsevier: 2018-2034. doi :10.1016/j.csbj.2023.03.009. PMC 10030913 . PMID  36968017. 
117. Duponchel, L. (2018). "Exploración de conjuntos de datos de imágenes hiperespectrales con análisis de datos topológicos". Analytica Chimica Acta . 1000 : 123-131. Código Bib : 2018AcAC.1000..123D. doi :10.1016/j.aca.2017.11.029. PMID  29289301.
118. Duponchel, L. (2018). "Cuando la teledetección se une al análisis de datos topológicos". Revista de imágenes espectrales . 7 : a1. doi : 10.1255/jsi.2018.a1 .
119. Li, Xiaoyun; Wu, Chenxi; Li, Ping (2020). "IVFS: selección de funciones simple y eficiente para la preservación de la topología de alta dimensión". Actas de la Conferencia AAAI sobre Inteligencia Artificial . 34 (4): 4747–4754. arXiv : 2004.01299 . doi : 10.1609/aaai.v34i04.5908 .
120. Gidea, Mariana; Katz, Yuri (2018). "Análisis de datos topológicos de series temporales financieras: paisajes de crisis". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 491 . Elsevier BV: 820–834. arXiv : 1703.04385 . Código Bib : 2018PhyA..491..820G. doi :10.1016/j.physa.2017.09.028. ISSN  0378-4371. S2CID  85550367.
121. Wang, Bao; Wei, Guo-Wei (7 de diciembre de 2014). "Homología persistente orientada a objetivos". arXiv : 1412.2368 [q-bio.BM].
122. Frosini, Patrizio; Landi, Claudia (2011). "Singularidad de modelos en homología persistente: el caso de las curvas". Problemas inversos . 27 (12): 124005. arXiv : 1012.5783 . Código Bib : 2011InvPr..27l4005F. doi :10.1088/0266-5611/27/12/124005. S2CID  16636182.
123. Xia, Kelin; Feng, Xin; Tong, Yiying; Wei, Guo Wei (5 de marzo de 2015). "Homología persistente para la predicción cuantitativa de la estabilidad del fullereno". Revista de Química Computacional . 36 (6): 408–422. doi :10.1002/jcc.23816. ISSN  1096-987X. PMC 4324100 . PMID  25523342. 
124. Xia, Kelin; Wei, Guo Wei (1 de agosto de 2014). "Análisis de homología persistente de la estructura, flexibilidad y plegamiento de proteínas". Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería biomédica . 30 (8): 814–844. arXiv : 1412.2779 . Código Bib : 2014arXiv1412.2779X. doi :10.1002/cnm.2655. ISSN  2040-7947. PMC 4131872 . PMID  24902720. 
125. Adcock, Aarón; Carlsson, Erik; Carlsson, Gunnar (31 de mayo de 2016). "El anillo de funciones algebraicas en códigos de barras de persistencia" (PDF) . Homología, Homotopía y Aplicaciones . 18 (1): 381–402. doi : 10.4310/hha.2016.v18.n1.a21 . S2CID  2964961.
126. Chepushtanova, Sofía; Emerson, Tegan; Hanson, Eric; Kirby, Michael; Motta, Francisco; Neville, Raquel; Peterson, Chris; Marinero, Patricio; Ziegelmeier, Lori (22 de julio de 2015). "Imágenes de persistencia: una representación alternativa de homología persistente". arXiv : 1507.06217 [cs.CG].
127. Adams, H., Atanasov, A. y Carlsson, G. (6 de octubre de 2011). Teoría Morse en análisis de datos topológicos . Presentado en la Conferencia SIAM sobre Geometría Algebraica Aplicada. Consultado el 28 de octubre de 2023.
128. Deheuvels, René (1 de enero de 1955). "Topología de una función". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 61 (1): 13–72. doi :10.2307/1969619. JSTOR  1969619.
129. de Silva, Vin; Munch, Elizabeth; Patel, Amit (13 de abril de 2016). "Gráficos de Reeb categorizados". Geometría Discreta y Computacional . 55 (4): 854–906. arXiv : 1501.04147 . doi :10.1007/s00454-016-9763-9. S2CID  7111141.
130. Goodman, Jacob E. (1 de enero de 2008). Estudios sobre geometría discreta y computacional: veinte años después: Conferencia conjunta de investigación de verano AMS-IMS-SIAM, 18 al 22 de junio de 2006, Snowbird, Utah. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821842393.
131. Edelsbrunner, Herbert; Harer, John (2008). "Homología persistente: una encuesta". Estudios sobre geometría discreta y computacional: veinte años después. Matemáticas Contemporáneas. vol. 453. AMS. págs. 15-18. CiteSeerX 10.1.1.87.7764 . doi :10.1090/conm/453/08802. ISBN  9780821842393. Sección 5
132. Giunti, B., Lazovskis, J. y Rieck, B. (24 de abril de 2023). DONUT -- Creación, Desarrollo y Oportunidades de una Base de Datos. arXiv. http://arxiv.org/abs/2304.12417. Consultado el 28 de octubre de 2023.
133. Barbara Giunti, Janis Lazovskis y Bastian Rieck, base de datos Zotero de aplicaciones del mundo real de análisis de datos topológicos, 2020. https://www.zotero.org/groups/tda-applications.
134. Giunti, B., Lazovskis, J. y Rieck, B. (2023). DONUT: Creación, Desarrollo y Oportunidades de una Base de Datos. AVISOS DE LA SOCIEDAD AMERICANA DE MATEMÁTICAS , 70 (10), 1640-1644. https://doi.org/10.1090/noti2798

Otras lecturas

Breves introducciones

• Lesnick, Michael (2013). "Estudiar la forma de los datos mediante topología". Instituto de Estudios Avanzados.
• Material fuente para el análisis de datos topológicos por Mikael Vejdemo-Johansson

Monografía

• Oudot, Steve Y. (2015). Teoría de la persistencia: de las representaciones de Quiver al análisis de datos. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-1-4704-2545-6.

Libros de texto sobre topología

• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-79540-0.Disponible para descarga
• Edelsbrunner, Herbert; Harer, John (2010). Topología computacional: una introducción. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821849255.
• Topología aplicada elemental, por Robert Ghrist

enlaces externos

• Base de datos de usos originales y no teóricos de la topología (DONUT)

Videoconferencias

• Introducción a la homología y topología persistentes para el análisis de datos, por Matthew Wright
• La forma de los datos, de Gunnar Carlsson

Otros recursos de TDA

• Topología aplicada, por Stanford
• Red de investigación de topología algebraica aplicada Archivado el 31 de enero de 2016 en Wayback Machine , por el Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones