En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una topología de Grothendieck es una estructura en una categoría C que hace que los objetos de C actúen como conjuntos abiertos de un espacio topológico . Una categoría junto con una elección de topología de Grothendieck se denomina sitio .
Las topologías de Grothendieck axiomatizan la noción de cubierta abierta . Utilizando la noción de cobertura proporcionada por una topología de Grothendieck, es posible definir gavillas en una categoría y su cohomología . Esto fue hecho por primera vez en geometría algebraica y teoría algebraica de números por Alexander Grothendieck para definir la cohomología étale de un esquema . Se ha utilizado para definir otras teorías de cohomología desde entonces, como la cohomología ℓ-ádica , la cohomología plana y la cohomología cristalina . Si bien las topologías de Grothendieck se utilizan con mayor frecuencia para definir teorías de cohomología, también han encontrado otras aplicaciones, como la teoría de la geometría analítica rígida de John Tate .
Existe una forma natural de asociar un sitio a un espacio topológico ordinario , y la teoría de Grothendieck se considera vagamente como una generalización de la topología clásica. Bajo hipótesis de un conjunto de puntos exiguos, a saber, la sobriedad , esto es completamente exacto: es posible recuperar un espacio sobrio desde su sitio asociado. Sin embargo, ejemplos simples como el espacio topológico indiscreto muestran que no todos los espacios topológicos pueden expresarse utilizando topologías de Grothendieck. Por el contrario, existen topologías de Grothendieck que no provienen de espacios topológicos.
El término "topología de Grothendieck" ha cambiado de significado. En Artin (1962) significaba lo que ahora se llama pretopología de Grothendieck, y algunos autores todavía utilizan este antiguo significado. Giraud (1964) modificó la definición para utilizar tamices en lugar de cubiertas. La mayor parte del tiempo esto no hace mucha diferencia, ya que cada pretopología de Grothendieck determina una topología de Grothendieck única, aunque pretopologías bastante diferentes pueden dar la misma topología.
Las famosas conjeturas de Weil de André Weil proponían que ciertas propiedades de las ecuaciones con coeficientes integrales deberían entenderse como propiedades geométricas de la variedad algebraica que definen. Sus conjeturas postularon que debería haber una teoría de cohomología de variedades algebraicas que proporcione información teórica de números sobre sus ecuaciones definitorias. Esta teoría de la cohomología se conocía como la "cohomología de Weil", pero utilizando las herramientas que tenía disponibles, Weil no pudo construirla.
A principios de la década de 1960, Alexander Grothendieck introdujo mapas de étale en la geometría algebraica como análogos algebraicos de los isomorfismos analíticos locales en la geometría analítica . Usó coberturas étale para definir un análogo algebraico del grupo fundamental de un espacio topológico. Pronto Jean-Pierre Serre notó que algunas propiedades de los recubrimientos étale imitaban las de las inmersiones abiertas y que, en consecuencia, era posible realizar construcciones que imitaran el funtor de cohomología . Grothendieck vio que sería posible utilizar la idea de Serre para definir una teoría de cohomología que sospechaba que sería la cohomología de Weil. Para definir esta teoría de cohomología, Grothendieck necesitaba reemplazar la noción topológica habitual de una cobertura abierta por una que usara coberturas étale en su lugar. Grothendieck también vio cómo expresar la definición de cobertura de manera abstracta; De aquí proviene la definición de topología de Grothendieck.
La definición clásica de gavilla comienza con un espacio topológico . Un haz asocia información a los conjuntos abiertos de . Esta información se puede expresar de manera abstracta dejando ser la categoría cuyos objetos son los subconjuntos abiertos de y cuyos morfismos son los mapas de inclusión de conjuntos abiertos y de . A estos mapas los llamaremos inmersiones abiertas , al igual que en el contexto de los esquemas . Entonces un pregavilla on es un functor contravariante de a la categoría de conjuntos, y una gavilla es un pregavilla que satisface el axioma de pegado (aquí incluido el axioma de separación). El axioma de pegado está expresado en términos de cobertura puntual , es decir, cubre si y sólo si . En esta definición, es un subconjunto abierto de . Las topologías de Grothendieck reemplazan cada una con una familia completa de subconjuntos abiertos; en este ejemplo, se reemplaza por la familia de todas las inmersiones abiertas . Esta colección se llama tamiz . La cobertura puntual se sustituye por la noción de familia de cobertura ; En el ejemplo anterior, el conjunto de todo lo que varía es una familia de cobertura de . Las familias de tamices y coberturas se pueden axiomatizar y, una vez hecho esto, los conjuntos abiertos y las coberturas puntuales se pueden reemplazar por otras nociones que describan otras propiedades del espacio .
En una topología de Grothendieck, la noción de una colección de subconjuntos abiertos de U estable bajo inclusión se reemplaza por la noción de tamiz . Si c es cualquier objeto dado en C , un tamiz en c es un subfuntor del funtor Hom(−, c ); (Esta es la incrustación de Yoneda aplicada a c ). En el caso de O ( X ), un tamiz S en un conjunto abierto U selecciona una colección de subconjuntos abiertos de U que es estable bajo inclusión. Más precisamente, considere que para cualquier subconjunto abierto V de U , S ( V ) será un subconjunto de Hom( V , U ), que tiene un solo elemento, la inmersión abierta V → U. Entonces V será considerado "seleccionado" por S si y sólo si S ( V ) no está vacío. Si W es un subconjunto de V , entonces existe un morfismo S ( V ) → S ( W ) dado por composición con la inclusión W → V. Si S ( V ) no está vacío, se deduce que S ( W ) tampoco está vacío.
Si S es un tamiz en X y f : Y → X es un morfismo, entonces la composición izquierda por f da un tamiz en Y llamado retroceso de S a lo largo de f , denotado por f S . Se define como el producto fibroso S × Hom(−, X ) Hom(−, Y ) junto con su incrustación natural en Hom(−, Y ). Más concretamente, para cada objeto Z de C , f S ( Z ) = { g : Z → Y | fg S ( Z ) }, y f S hereda su acción sobre los morfismos al ser un subfunctor de Hom(−, Y ). En el ejemplo clásico, el retroceso de una colección { V i } de subconjuntos de U a lo largo de una inclusión W → U es la colección { V i ∩W}.
Una topología de Grothendieck J en una categoría C es una colección, para cada objeto c de C , de tamices distinguidos en c , denotados por J ( c ) y llamados tamices de cobertura de c . Esta selección estará sujeta a ciertos axiomas, que se exponen a continuación. Siguiendo con el ejemplo anterior, un tamiz S sobre un conjunto abierto U en O ( X ) será un tamiz de cobertura si y sólo si la unión de todos los conjuntos abiertos V para los cuales S ( V ) no está vacío es igual a U ; en otras palabras, si y sólo si S nos da una colección de conjuntos abiertos que cubren U en el sentido clásico.
Las condiciones que imponemos a una topología de Grothendieck son:
El axioma de cambio de base corresponde a la idea de que si { U i } cubre U , entonces { U i ∩ V } debería cubrir U ∩ V . El axioma del carácter local corresponde a la idea de que si { U i } cubre U y { Vij } j J i cubre U i para cada i , entonces la colección { Vij } para todos i y j debería cubrir U . Por último, el axioma de identidad corresponde a la idea de que cualquier conjunto está cubierto por sí mismo a través del mapa de identidad.
De hecho, es posible expresar estos axiomas de otra forma en la que su carácter geométrico sea más evidente, suponiendo que la categoría C subyacente contenga determinados productos de fibra. En este caso, en lugar de especificar tamices, podemos especificar que ciertas colecciones de mapas con un codominio común deben cubrir su codominio. Estas colecciones se denominan familias de cobertura . Si la colección de todas las familias de cobertura satisface ciertos axiomas, entonces decimos que forman una pretopología de Grothendieck . Estos axiomas son:
Para cualquier pretopología, la colección de todos los tamices que contienen una familia de cobertura de la pretopología es siempre una topología de Grothendieck.
Para las categorías con productos con fibra, existe lo contrario. Dada una colección de flechas { X α → X }, construimos un tamiz S dejando que S ( Y ) sea el conjunto de todos los morfismos Y → X que factorizan alguna flecha X α → X . Esto se llama tamiz generado por { X α → X }. Ahora elija una topología. Digamos que { X α → X } es una familia de cobertura si y solo si el tamiz que genera es un tamiz de cobertura para la topología dada. Es fácil comprobar que esto define una pretopología.
(PT 3) a veces se reemplaza por un axioma más débil:
(PT 3) implica (PT 3'), pero no a la inversa. Sin embargo, supongamos que tenemos una colección de familias de cobertura que satisface (PT 0) hasta (PT 2) y (PT 3'), pero no (PT 3). Estas familias generan una pretopología. La topología generada por la colección original de familias de cobertura es entonces la misma que la topología generada por la pretopología, porque el tamiz generado por un isomorfismo Y → X es Hom(−, X ). En consecuencia, si restringimos nuestra atención a las topologías, (PT 3) y (PT 3') son equivalentes.
Sea C una categoría y sea J una topología de Grothendieck en C. El par ( C , J ) se llama sitio .
Un presheaf en una categoría es un funtor contravariante de C a la categoría de todos los conjuntos. Tenga en cuenta que para esta definición no es necesario que C tenga una topología. Sin embargo, una gavilla en un sitio debería permitir el pegado, al igual que las gavillas en la topología clásica. En consecuencia, definimos una gavilla en un sitio como una pregavilla F tal que para todos los objetos X y todos los tamices de cobertura S en X , el mapa natural Hom(Hom(−, X ), F ) → Hom( S , F ), inducida por la inclusión de S en Hom(-, X ), es una biyección. A medio camino entre una pregavilla y una gavilla está la noción de una pregavilla separada , donde se requiere que el mapa natural anterior sea solo una inyección, no una biyección, para todos los tamices S. Un morfismo de presheaves o de gavillas es una transformación natural de functores. La categoría de todas las gavillas en C es el topos definido por el sitio ( C , J ).
Utilizando el lema de Yoneda , es posible demostrar que un prehaz en la categoría O ( X ) es un haz en la topología definida anteriormente si y sólo si es un haz en el sentido clásico.
Las gavillas en una pretopología tienen una descripción particularmente simple: para cada familia de cobertura { X α → X }, el diagrama
Debe ser un ecualizador . Para una pregavilla separada, la primera flecha sólo necesita ser inyectiva.
De manera similar, se pueden definir prehaces y haces de grupos abelianos , anillos , módulos , etc. Se puede exigir que un prehaz F sea un funtor contravariante de la categoría de grupos abelianos (o anillos, o módulos, etc.), o que F sea un objeto de grupo abeliano (anillo, módulo, etc.) en la categoría de todos functores contravariantes de C a la categoría de conjuntos. Estas dos definiciones son equivalentes.
Sea C cualquier categoría. Para definir la topología discreta , declaramos que todos los tamices cubren tamices. Si C tiene todos los productos con fibras, esto equivale a declarar que todas las familias cubren familias. Para definir la topología indiscreta , también conocida como topología basta o caótica , [1] declaramos que sólo los tamices de la forma Hom(-, X ) son tamices de cobertura. La topología indiscreta es generada por la pretopología que solo tiene isomorfismos para cubrir familias. Una gavilla en el sitio indiscreto es lo mismo que una pregavilla.
Sea C cualquier categoría. La incrustación de Yoneda proporciona un funtor Hom(−, X ) para cada objeto X de C. La topología canónica es la topología más grande (mejor) tal que cada prehaz representable, es decir, prehaz de la forma Hom(−, X ), es un haz. Se dice que un tamiz de cobertura o una familia de cobertura para este sitio es estrictamente epimórfico universal porque consta de las patas de un cono de colimit (bajo el diagrama completo de los dominios de sus morfismos constituyentes) y estos colimits son estables bajo retrocesos a lo largo de los morfismos en C. . Una topología que es menos fina que la topología canónica, es decir, para la cual cada tamiz de cobertura es estrictamente universalmente epimórfico, se llama subcanónica . Los sitios subcanónicos son exactamente los sitios para los cuales cada prehaz de la forma Hom(−, X ) es un haz. La mayoría de los sitios encontrados en la práctica son subcanónicos.
Repetimos el ejemplo con el que empezamos arriba. Sea X un espacio topológico. Definimos O ( X ) como la categoría cuyos objetos son los conjuntos abiertos de X y cuyos morfismos son inclusiones de conjuntos abiertos. Tenga en cuenta que para un conjunto abierto U y un tamiz S en U , el conjunto S ( V ) contiene cero o un elemento para cada conjunto abierto V. Los tamices de cobertura de un objeto U de O ( X ) son aquellos tamices S que satisfacen la siguiente condición:
Esta noción de cobertura coincide con la noción habitual en la topología de conjuntos de puntos.
Naturalmente, esta topología también puede expresarse como una pretopología. Decimos que una familia de inclusiones { V α U } es una familia de cobertura si y sólo si la unión V α es igual a U . A este sitio se le llama sitio pequeño asociado a un espacio topológico X.
Sea Spc la categoría de todos los espacios topológicos. Dada cualquier familia de funciones { u α : V α → X }, decimos que es una familia sobreyectiva o que los morfismos u α son conjuntamente sobreyectivos si u α ( V α ) es igual a X . Definimos una pretopología en Spc tomando las familias de cobertura como familias sobreyectivas, todos cuyos miembros son inmersiones abiertas. Sea S un tamiz en Spc . S es un tamiz de cobertura para esta topología si y sólo si:
Arreglar un espacio topológico X . Considere la categoría de coma Spc/X de espacios topológicos con un mapa continuo fijo para X . La topología en Spc induce una topología en Spc/X . Los tamices de cobertura y las familias de cobertura son casi exactamente iguales; la única diferencia es que ahora todos los mapas involucrados conmutan con los mapas fijos a X . Este es el gran sitio asociado a un espacio topológico X. Observe que Spc es el gran sitio asociado al espacio de un punto. Este sitio fue considerado por primera vez por Jean Giraud .
Sea M una variedad . M tiene una categoría de conjuntos abiertos O ( M ) porque es un espacio topológico y obtiene una topología como en el ejemplo anterior. Para dos conjuntos abiertos U y V de M , el producto de fibra U × M V es el conjunto abierto U ∩ V , que todavía está en O ( M ). Esto significa que la topología en O ( M ) está definida por una pretopología, la misma pretopología que antes.
Sea Mfd la categoría de todas las variedades y mapas continuos. (O variedades suaves y mapas suaves, o variedades analíticas reales y mapas analíticos, etc.) Mfd es una subcategoría de Spc , y las inmersiones abiertas son continuas (o suaves, o analíticas, etc.), por lo que Mfd hereda una topología de Spc . Esto nos permite construir el sitio grande de la variedad M como el sitio Mfd/M . También podemos definir esta topología usando la misma pretopología que usamos anteriormente. Observe que para satisfacer (PT 0), debemos verificar que para cualquier aplicación continua de variedades X → Y y cualquier subconjunto abierto U de Y , el producto fibroso U × Y X está en Mfd/M . Ésta es sólo la afirmación de que la preimagen de un conjunto abierto es abierta. Sin embargo, observe que no todos los productos con fibras existen en Mfd porque la imagen previa de un mapa suave en un valor crítico no tiene por qué ser una variedad.
La categoría de esquemas , denominada Sch , tiene una enorme cantidad de topologías útiles. Una comprensión completa de algunas preguntas puede requerir examinar un esquema utilizando varias topologías diferentes. Todas estas topologías tienen sitios grandes y pequeños asociados. El gran sitio se forma tomando toda la categoría de esquemas y sus morfismos, junto con los tamices de cobertura especificados por la topología. El sitio pequeño sobre un esquema dado se forma tomando únicamente los objetos y morfismos que forman parte de una portada del esquema dado.
La más elemental de ellas es la topología de Zariski . Sea X un esquema. X tiene un espacio topológico subyacente, y este espacio topológico determina una topología de Grothendieck. La topología de Zariski en Sch es generada por la pretopología cuyas familias de cobertura son familias sobreyectivas conjuntas de inmersiones abiertas teóricas de esquemas. Los tamices de cobertura S para Zar se caracterizan por las dos propiedades siguientes:
A pesar de sus similitudes externas, ¡la topología de Zar no es la restricción de la topología de Spc ! Esto se debe a que existen morfismos de esquemas que son inmersiones topológicamente abiertas pero que no son inmersiones abiertas teóricas de esquemas. Por ejemplo, sea A un anillo no reducido y sea N su ideal de nilpotentes. El mapa de cociente A → A/N induce un mapa Spec A/N → Spec A , que es la identidad en los espacios topológicos subyacentes. Para ser una inmersión abierta teórica de esquemas, también debe inducir un isomorfismo en las gavillas de estructuras, lo que este mapa no hace. De hecho, este mapa es una inmersión cerrada.
La topología étale es más fina que la topología Zariski. Fue la primera topología de Grothendieck que se estudió de cerca. Sus familias de cobertura son familias sobreyectivas conjuntas de morfismos étale. Es más fina que la topología de Nisnevich, pero ni más fina ni más burda que las topologías cdh y l′.
Hay dos topologías planas , la topología fppf y la topología fpqc . fppf significa fidèlement plate de présentation finie , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de cobertura si es fielmente plano, de presentación finita y cuasi-finito. fpqc significa fidèlement plate et quasi-compacte , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de cobertura si es fielmente plano. En ambas categorías, una familia de cobertura se define como una familia que es una cobertura de subconjuntos abiertos de Zariski. [2] En la topología fpqc, cualquier morfismo fielmente plano y cuasi compacto es una tapadera. [3] Estas topologías están estrechamente relacionadas con el descenso . La topología fpqc es más fina que todas las topologías mencionadas anteriormente y está muy cerca de la topología canónica.
Grothendieck introdujo la cohomología cristalina para estudiar la parte de torsión p de la cohomología de las variedades características de p . En la topología cristalina , que es la base de esta teoría, la categoría subyacente tiene objetos dados por engrosamientos infinitesimales junto con estructuras de poder divididas . Los sitios cristalinos son ejemplos de sitios sin objeto final.
Hay dos tipos naturales de functores entre sitios. Están dados por functores que son compatibles con la topología en cierto sentido.
Si ( C , J ) y ( D , K ) son sitios y u : C → D es un funtor, entonces u es continua si para cada haz F en D con respecto a la topología K , el prehaz Fu es un haz con respecto a la topología J . Los funtores continuos inducen funtores entre los topoi correspondientes enviando un haz F a Fu . Estos functores se denominan pushforwards . Si y denota los topoi asociados a C y D , entonces el funtor de avance es .
Estados Unidos admite un adjunto izquierdo llamado retroceso . No necesitamos preservar límites, ni siquiera límites finitos.
De la misma manera, u envía un tamiz sobre un objeto X de C a un tamiz sobre el objeto uX de D. Un funtor continuo envía tamices de cobertura a tamices de cobertura. Si J es la topología definida por una pretopología, y si u conmuta con productos fibrosos, entonces u es continua si y solo si envía tamices de cobertura a tamices de cobertura y si y solo si envía familias de cobertura a familias de cobertura. En general, no es suficiente enviar tamices de cobertura a tamices de cobertura (ver SGA IV 3, Ejemplo 1.9.3).
Nuevamente, sean ( C , J ) y ( D , K ) sitios y v : C → D sea un functor. Si X es un objeto de C y R es un tamiz en vX , entonces R puede retroceder a un tamiz S de la siguiente manera: Un morfismo f : Z → X está en S si y solo si v ( f ) : vZ → vX está en R. Esto define un tamiz. v es cocontinuo si y sólo si para cada objeto X de C y cada tamiz de cobertura R de vX , el retroceso S de R es un tamiz de cobertura en X.
La composición con v envía un prehaz F en D a un prehaz Fv en C , pero si v es cocontinuo, esto no necesita enviar gavillas a gavillas. Sin embargo, este funtor en categorías previas al haz, generalmente denotado , admite un adjunto derecho . Entonces v es cocontinua si y sólo si envía gavillas a gavillas, es decir, si y sólo si se restringe a un funtor . En este caso, el compuesto de con el funtor de gavilla asociado es un adjunto izquierdo de v * denotado v * . Además, v * conserva límites finitos, por lo que los funtores adjuntos v * y v * determinan un morfismo geométrico de topoi .
Un funtor continuo u : C → D es un morfismo de sitios D → C ( no C → D ) si u s conserva límites finitos. En este caso, u s y u s determinan un morfismo geométrico de topoi . El razonamiento detrás de la convención de que se dice que un funtor continuo C → D determina un morfismo de sitios en la dirección opuesta es que esto concuerda con la intuición proveniente del caso de espacios topológicos. Un mapa continuo de espacios topológicos X → Y determina un funtor continuo O ( Y ) → O ( X ). Dado que se dice que el mapa original en espacios topológicos envía X a Y , también se dice que el morfismo de sitios.
Un caso particular de esto ocurre cuando un functor continuo admite un adjunto izquierdo. Supongamos que u : C → D y v : D → C son functores con u adjunto derecho a v . Entonces u es continua si y sólo si v es cocontinua, y cuando esto sucede, u s es naturalmente isomorfo a v * y u s es naturalmente isomorfo a v * . En particular, u es un morfismo de sitios.
