Estructura de poder dividida

En matemáticas , específicamente en álgebra conmutativa , una estructura de potencia dividida es una forma de introducir elementos con propiedades similares a las que tienen las expresiones de la forma , también cuando en realidad no es posible dividir por . ${\displaystyle x^{n}/n!}$ ${\displaystyle n!}$

Definición

Sea A un anillo conmutativo con un I ideal . Una estructura de poder dividida (o estructura PD , según las puissances divisées francesas ) en I es una colección de mapas para n = 0, 1, 2, ... tal que: ${\displaystyle \gamma _{n}:I\to A}$

1. ${\displaystyle \gamma _{0}(x)=1}$y para , mientras que para n > 0. ${\displaystyle \gamma _{1}(x)=x}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle \gamma _{n}(x)\in I}$
2. ${\displaystyle \gamma _{n}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}\gamma _{n-i}(x)\gamma _{i}(y)}$para . ${\displaystyle x,y\in I}$
3. ${\displaystyle \gamma _{n}(\lambda x)=\lambda ^{n}\gamma _{n}(x)}$para . ${\displaystyle \lambda \in A,x\in I}$
4. ${\displaystyle \gamma _{m}(x)\gamma _{n}(x)=((m,n))\gamma _{m+n}(x)}$para , donde es un número entero. ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle ((m,n))={\frac {(m+n)!}{m!n!}}}$
5. ${\displaystyle \gamma _{n}(\gamma _{m}(x))=C_{n,m}\gamma _{mn}(x)}$para y , donde es un número entero. ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle m>0}$ ${\displaystyle C_{n,m}={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}}$

Para facilitar la notación, a menudo se escribe así cuando está claro a qué se refiere la estructura de poder dividido. ${\displaystyle \gamma _{n}(x)}$ ${\displaystyle x^{[n]}}$

El término ideal de poder dividido se refiere a un ideal con una estructura de poder dividida dada, y anillo de poder dividido se refiere a un anillo con un ideal dado con una estructura de poder dividida.

Los homomorfismos de las álgebras de poder dividido son homomorfismos de anillo que respetan la estructura de poder dividido en su origen y destino.

Ejemplos

• El álgebra de potencia dividida libre en un generador: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} \langle {x}\rangle :=\mathbb {Z} \left[x,{\tfrac {x^{2}}{2}},\ldots ,{\tfrac {x^{n}}{n!}},\ldots \right]\subset \mathbb {Q} [x].}$

• Si A es un álgebra, entonces cada ideal I tiene una estructura de poder dividida única donde ^[1] De hecho, este es el ejemplo que motiva la definición en primer lugar. ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \gamma _{n}(x)={\tfrac {1}{n!}}\cdot x^{n}.}$

• Si M es un módulo A , denotemos el álgebra simétrica de M sobre A. Entonces su dual tiene una estructura canónica de anillo de poder dividido. De hecho, es canónicamente isomorfo a una terminación natural de (ver más abajo) si M tiene rango finito. ${\displaystyle S^{\bullet }M}$ ${\displaystyle (S^{\bullet }M)^{\vee }={\text{Hom}}_{A}(S^{\bullet }M,A)}$ ${\displaystyle \Gamma _{A}({\check {M}})}$

Construcciones

Si A es cualquier anillo, existe un anillo de poder dividido.

${\displaystyle A\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\rangle }$

que consiste en polinomios de potencia dividida en las variables

${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$

es decir, sumas de monomios de potencia dividida de la forma

${\displaystyle cx_{1}^{[i_{1}]}x_{2}^{[i_{2}]}\cdots x_{n}^{[i_{n}]}}$

con . Aquí el ideal de potencia dividida es el conjunto de polinomios de potencia dividida con coeficiente constante 0. ${\displaystyle c\in A}$

De manera más general, si M es un módulo A , existe un álgebra A universal , llamada

${\displaystyle \Gamma _{A}(M),}$

con PD ideal

${\displaystyle \Gamma _{+}(M)}$

y un mapa A -lineal

${\displaystyle M\to \Gamma _{+}(M).}$

(El caso de polinomios de potencia dividida es el caso especial en el que M es un módulo libre sobre A de rango finito).

Si I es cualquier ideal de un anillo A , existe una construcción universal que extiende A con potencias divididas de elementos de I para obtener una envolvente de potencia dividida de I en A.

Aplicaciones

La envolvente de potencia dividida es una herramienta fundamental en la teoría de los operadores diferenciales de PD y la cohomología cristalina , donde se utiliza para superar las dificultades técnicas que surgen en las características positivas .

El funtor de potencia dividida se utiliza en la construcción de funtores co-Schur.

Ver también

• Cohomología cristalina

Referencias

1. La unicidad se deriva del hecho fácilmente verificable de que, en general ,. ${\displaystyle x^{n}=n!\gamma _{n}(x)}$

• Berthelot, Pierre ; Ogus, Arthur (1978). Notas sobre cohomología cristalina . Anales de estudios de matemáticas. Prensa de la Universidad de Princeton . Zbl  0383.14010.
• Hazewinkel, Michiel (1978). Grupos Formales y Aplicaciones . Matemática pura y aplicada, una serie de monografías y libros de texto. vol. 78. Elsevier . pag. 507.ISBN​ 0123351502. Zbl  0454.14020.
• Cohomología p-ádica derivada de Rham: contiene material excelente sobre anillos polinomiales de PD y envolventes de PD
• ¿Cuál es el nombre del análogo de las álgebras de potencia dividida para x^i/i? Contiene una equivalencia útil con las álgebras de potencia dividida como álgebras duales.