En topología , una rama de las matemáticas , la planicidad local es una condición de suavidad que se puede imponer a las subvariedades topológicas . En la categoría de variedades topológicas, las subvariedades localmente planas desempeñan un papel similar al de las subvariedades incrustadas en la categoría de variedades suaves . Las violaciones de la planicidad local describen redes de crestas y estructuras arrugadas , con aplicaciones en el procesamiento de materiales y la ingeniería mecánica .
Supóngase que una variedad de dimensión d N está embebida en una variedad de dimensión n M (donde d < n ). Si decimos que N es localmente plana en x si hay un entorno de x tal que el par topológico es homeomorfo al par , con la inclusión estándar de Es decir, existe un homeomorfismo tal que la imagen de coincide con . En términos diagramáticos, el siguiente cuadrado debe conmutar :
Decimos que N es localmente plano en M si N es localmente plano en cada punto. De manera similar, una función se dice localmente plana , incluso si no es una incrustación, si cada x en N tiene un entorno U cuya imagen es localmente plana en M.
La definición anterior supone que, si M tiene un límite , x no es un punto límite de M . Si x es un punto en el límite de M , entonces la definición se modifica de la siguiente manera. Decimos que N es localmente plano en un punto límite x de M si hay un entorno de x tal que el par topológico es homeomorfo al par , donde es un semiespacio estándar y se incluye como un subespacio estándar de su límite.
La planitud local de una incrustación implica propiedades fuertes que no son compartidas por todas las incrustaciones. Brown (1962) demostró que si d = n − 1, entonces N está encadenado; es decir, tiene un vecindario que es homeomorfo a N × [0,1] con N en sí mismo correspondiente a N × 1/2 (si N está en el interior de M ) o N × 0 (si N está en el límite de M ).
