En Filosofía de las matemáticas , el concepto de " objetos " toca temas de existencia , identidad y naturaleza de la realidad . [1] En metafísica , los objetos a menudo se consideran entidades que poseen propiedades y pueden estar en diversas relaciones entre sí. [2] Los filósofos debaten si los objetos tienen una existencia independiente fuera del pensamiento humano ( realismo ), o si su existencia depende de construcciones mentales o del lenguaje ( idealismo y nominalismo ). Los objetos pueden variar desde lo concreto , como los objetos físicos en el mundo, hasta lo abstracto , y es en este último donde generalmente se encuentran los objetos matemáticos. Lo que constituye un "objeto" es fundamental para muchas áreas de la filosofía, desde la ontología (el estudio del ser) hasta la epistemología (el estudio del conocimiento). En matemáticas, los objetos a menudo se ven como entidades que existen independientemente del mundo físico , lo que plantea preguntas sobre su estado ontológico. [3] [4] Hay distintas escuelas de pensamiento que ofrecen diferentes perspectivas sobre el tema, y muchos matemáticos y filósofos famosos tienen opiniones diferentes sobre cuál es más correcta. [5]
( Premisa 1) Debemos tener un compromiso ontológico con todas y sólo las entidades que son indispensables para nuestras mejores teorías científicas.
(Premisa 2) Las entidades matemáticas son indispensables para nuestras mejores teorías científicas.
( Conclusión ) Deberíamos tener un compromiso ontológico con las entidades matemáticas.
Este argumento resuena con una filosofía en matemáticas aplicadas llamada naturalismo [7] (o a veces predicativismo) [8] que establece que los únicos estándares autorizados sobre la existencia son los de la ciencia .
Platón : El antiguo filósofo griego que, aunque no era matemático, sentó las bases del platonismo al postular la existencia de un reino abstracto de formas o ideas perfectas, lo que influyó en pensadores posteriores en matemáticas.
Roger Penrose : físico matemático contemporáneo, Penrose ha defendido una visión platónica de las matemáticas, sugiriendo que las verdades matemáticas existen en un ámbito de realidad abstracta que descubrimos. [11]
Nominalismo
El nominalismo niega la existencia independiente de los objetos matemáticos. En cambio, sugiere que son meras ficciones convenientes o abreviaturas para describir relaciones y estructuras dentro de nuestro lenguaje y teorías. Según esta perspectiva, los objetos matemáticos no tienen una existencia más allá de los símbolos y conceptos que utilizamos. [12] [13]
Algunos nominalistas notables incluyen:
Nelson Goodman : filósofo conocido por su trabajo en filosofía de la ciencia y nominalismo. Argumentó en contra de la existencia de objetos abstractos y propuso que los objetos matemáticos son meramente un producto de nuestras convenciones lingüísticas y simbólicas.
Hartry Field : Filósofo contemporáneo que desarrolló una forma de nominalismo denominada « ficcionalismo », que sostiene que los enunciados matemáticos son ficciones útiles que no corresponden a ningún objeto abstracto real. [14]
Logicismo
El logicismo afirma que todas las verdades matemáticas pueden reducirse a verdades lógicas , y que todos los objetos que forman el objeto de estudio de esas ramas de las matemáticas son objetos lógicos. En otras palabras, las matemáticas son fundamentalmente una rama de la lógica , y todos los conceptos, teoremas y verdades matemáticas pueden derivarse de principios y definiciones puramente lógicas. El logicismo enfrentó desafíos, particularmente con los axiomas russilianos, el axioma multiplicativo (ahora llamado axioma de elección ) y su axioma de infinito , y más tarde con el descubrimiento de los teoremas de incompletitud de Gödel , que mostraron que cualquier sistema formal suficientemente poderoso (como los utilizados para expresar la aritmética ) no puede ser completo y consistente . Esto significaba que no todas las verdades matemáticas podían derivarse puramente de un sistema lógico, lo que socavaba el programa logicista. [15]
Algunos logicistas notables incluyen:
Gottlob Frege : Frege es considerado a menudo el fundador del logicismo. En su obra Grundgesetze der Arithmetik (Leyes básicas de la aritmética), Frege intentó demostrar que la aritmética podía derivarse de axiomas lógicos. Desarrolló un sistema formal que pretendía expresar toda la aritmética en términos de lógica. El trabajo de Frege sentó las bases de gran parte de la lógica moderna y fue muy influyente, aunque encontró dificultades, en particular la paradoja de Russell , que reveló inconsistencias en el sistema de Frege. [16]
Bertrand Russell : Russell, junto con Alfred North Whitehead , desarrollaron aún más el logicismo en su monumental obra Principia Mathematica . Intentaron derivar todas las matemáticas a partir de un conjunto de axiomas lógicos , utilizando una teoría de tipos para evitar las paradojas que encontró el sistema de Frege. Aunque Principia Mathematica fue enormemente influyente, el esfuerzo por reducir todas las matemáticas a la lógica fue visto en última instancia como incompleto. Sin embargo, hizo avanzar el desarrollo de la lógica matemática y la filosofía analítica . [17]
Formalismo
El formalismo matemático trata los objetos como símbolos dentro de un sistema formal . El enfoque se centra en la manipulación de estos símbolos según reglas específicas, más que en los objetos mismos. Una comprensión común del formalismo considera que las matemáticas no son un cuerpo de proposiciones que representan una parte abstracta de la realidad, sino que se asemejan más a un juego, que no conlleva un compromiso ontológico de objetos o propiedades mayor que el de jugar al parchís o al ajedrez . En esta perspectiva, las matemáticas tratan de la consistencia de los sistemas formales, más que del descubrimiento de objetos preexistentes. Algunos filósofos consideran que el logicismo es un tipo de formalismo. [18]
Algunos formalistas notables incluyen:
David Hilbert : matemático destacado de principios del siglo XX, Hilbert es uno de los defensores más destacados del formalismo. Creía que las matemáticas son un sistema de reglas formales y que su verdad reside en la coherencia de estas reglas, más que en cualquier conexión con una realidad abstracta. [19]
Hermann Weyl : matemático y filósofo alemán que, aunque no era estrictamente un formalista, contribuyó a las ideas formalistas, particularmente en su trabajo sobre los fundamentos de las matemáticas. [20]
Constructivismo
El constructivismo matemático afirma que es necesario encontrar (o "construir") un ejemplo específico de un objeto matemático para probar que existe un ejemplo. En contraste, en las matemáticas clásicas, uno puede probar la existencia de un objeto matemático sin "encontrar" ese objeto explícitamente, asumiendo su no existencia y luego derivando una contradicción de esa suposición. Tal prueba por contradicción podría llamarse no constructiva, y un constructivista podría rechazarla. El punto de vista constructivista implica una interpretación verificacional del cuantificador existencial , que está en desacuerdo con su interpretación clásica. [21] Hay muchas formas de constructivismo. [22] Estas incluyen el programa del intuicionismo fundado por Brouwer , el finitismo de Hilbert y Bernays , las matemáticas recursivas constructivas de los matemáticos Shanin y Markov , y el programa de análisis constructivo de Bishop . [23] El constructivismo también incluye el estudio de teorías de conjuntos constructivos como el Zermelo-Fraenkel constructivo y el estudio de la filosofía.
Estructuralismo
El estructuralismo sugiere que los objetos matemáticos se definen por su lugar dentro de una estructura o sistema. La naturaleza de un número, por ejemplo, no está ligada a ninguna cosa en particular, sino a su papel dentro del sistema de la aritmética . En cierto sentido, la tesis es que los objetos matemáticos (si existen tales objetos) simplemente no tienen naturaleza intrínseca. [24] [25]
Algunos estructuralistas notables incluyen:
Paul Benacerraf : Filósofo conocido por su trabajo en la filosofía de las matemáticas, particularmente su artículo "What Numbers Could Not Be", que aboga por una visión estructuralista de los objetos matemáticos.
Stewart Shapiro : Otro filósofo destacado que ha desarrollado y defendido el estructuralismo, especialmente en su libro Filosofía de las matemáticas: estructura y ontología . [26]
Objetos versus asignaciones
En matemáticas, un mapa o mapeo es una función en sentido general; aquí como en la asociación de cualquiera de las cuatro formas coloreadas en X con su color en Y. [27]
Frege distinguió entre funciones y objetos . [28] Según su punto de vista, una función es un tipo de entidad "incompleta" que asigna argumentos a valores y se denota por una expresión incompleta, mientras que un objeto es una entidad "completa" y puede denotarse por un término singular. Frege redujo las propiedades y relaciones a funciones y, por lo tanto, estas entidades no se incluyen entre los objetos. Algunos autores hacen uso de la noción de "objeto" de Frege cuando discuten objetos abstractos. [29] Pero aunque el sentido de "objeto" de Frege es importante, no es la única forma de usar el término. Otros filósofos incluyen propiedades y relaciones entre los objetos abstractos. Y cuando el contexto de fondo para discutir objetos es la teoría de tipos , las propiedades y relaciones de tipo superior (por ejemplo, propiedades de propiedades y propiedades de relaciones) pueden considerarse todas "objetos". Este último uso de "objeto" es intercambiable con "entidad". Es esta interpretación más amplia a la que se refieren los matemáticos cuando usan el término "objeto". [30]
^ Rettler, Bradley; Bailey, Andrew M. (2024), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Object", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de verano de 2024), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
^ Carroll, John W.; Markosian, Ned (2010). Introducción a la metafísica . Cambridge Introductions to Philosophy (1.ª edición). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN978-0-521-82629-7.
^ Falguera, José L.; Martínez-Vidal, Concha; Rosen, Gideon (2022), Zalta, Edward N. (ed.), "Abstract Objects", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de verano de 2022), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
^ Horsten, Leon (2023), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Filosofía de las matemáticas", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2023), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 29 de agosto de 2024
^ Colyvan, Mark (2024), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Argumentos de indispensabilidad en la filosofía de las matemáticas", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de verano de 2024), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
^ Paseau, Alexander (2016), Zalta, Edward N. (ed.), "El naturalismo en la filosofía de las matemáticas", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2016), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
^ Horsten, Leon (2023), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Filosofía de las matemáticas", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2023), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
^ Linnebo, Øystein (2024), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Platonism in the Philosophy of Mathematics", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de verano de 2024), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 27 de agosto de 2024
^ "Platonismo matemático | Enciclopedia de filosofía en Internet" . Consultado el 28 de agosto de 2024 .
^ Roibu, Tib (11 de julio de 2023). "Sir Roger Penrose". Geometry Matters . Consultado el 27 de agosto de 2024 .
^ Bueno, Otávio (2020), Zalta, Edward N. (ed.), "Nominalism in the Philosophy of Mathematics", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de otoño de 2020), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 27 de agosto de 2024
^ "Nominalismo matemático | Enciclopedia de filosofía en Internet" . Consultado el 28 de agosto de 2024 .
^ Field, Hartry (27 de octubre de 2016). Ciencia sin números. Oxford University Press. ISBN978-0-19-877791-5.
^ Tennant, Neil (2023), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Logicism and Neologicism", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2023), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 27 de agosto de 2024
^ "Frege, Gottlob | Enciclopedia de Filosofía en Internet" . Consultado el 29 de agosto de 2024 .
^ Glock, HJ (2008). ¿Qué es la filosofía analítica?. Cambridge University Press. pág. 1. ISBN978-0-521-87267-6. Consultado el 28 de agosto de 2023 .
^ Weir, Alan (2024), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Formalismo en la filosofía de las matemáticas", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de primavera de 2024), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
^ Simons, Peter (2009). "Formalismo". Filosofía de las matemáticas. Elsevier. pág. 292. ISBN9780080930589.
^ Bell, John L.; Korté, Herbert (2024), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Hermann Weyl", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de verano de 2024), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
^ Bridges, Douglas; Palmgren, Erik; Ishihara, Hajime (2022), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Constructive Mathematics", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de otoño de 2022), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
^ Troelstra, Anne Sjerp (1977a). "Aspectos de las matemáticas constructivas". Manual de lógica matemática . 90 : 973–1052. doi :10.1016/S0049-237X(08)71127-3
^ Bishop, Errett (1967). Fundamentos del análisis constructivo . Nueva York: Academic Press. ISBN 4-87187-714-0.
^ "Estructuralismo matemático | Enciclopedia de filosofía en Internet" . Consultado el 28 de agosto de 2024 .
^ Reck, Erich; Schiemer, Georg (2023), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "El estructuralismo en la filosofía de las matemáticas", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de primavera de 2023), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
^ Filosofía de las matemáticas: estructura y ontología . Oxford University Press, 1997. ISBN 0-19-513930-5
^ Halmos, Paul R. (1974). Teoría de conjuntos ingenua. Textos de pregrado en matemáticas. Nueva York: Springer-Verlag. p. 30. ISBN978-0-387-90092-6.
^ Marshall, William (1953). "Teoría de funciones y objetos de Frege". The Philosophical Review . 62 (3): 374–390. doi :10.2307/2182877. ISSN 0031-8108.
^ Hale, Bob, "Objetos abstractos", Routledge Encyclopedia of Philosophy , Londres: Routledge , consultado el 28 de agosto de 2024
^ Falguera, José L.; Martínez-Vidal, Concha; Rosen, Gideon (2022), Zalta, Edward N. (ed.), "Abstract Objects", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de verano de 2022), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 28 de agosto de 2024
^ Hu, Sze-Tsen (1971) [1959]. "Capítulo VII. Grupos de cohomotopía" (PDF) . Teoría de la homotopía (PDF) . Academic Press. págs. 205–228. LCCN 59-11526 . Consultado el 28 de agosto de 2024 .
Gold, Bonnie y Simons, Roger A., 2011. Prueba y otros dilemas: matemáticas y filosofía . Asociación Matemática de América.
Hersh, Reuben, 1997. ¿Qué son realmente las matemáticas? Oxford University Press.
Sfard, A. , 2000, "Simbolizar la realidad matemática para que exista, o cómo el discurso matemático y los objetos matemáticos se crean mutuamente", en Cobb, P., et al. , Simbolizar y comunicar en las aulas de matemáticas: Perspectivas sobre el discurso, las herramientas y el diseño instruccional . Lawrence Erlbaum.
Stewart Shapiro , 2000. Pensando en las matemáticas: La filosofía de las matemáticas . Oxford University Press.
