anatomía computacional

Campo interdisciplinario de la biología.

La anatomía computacional es un campo interdisciplinario de la biología centrado en la investigación cuantitativa y el modelado de la variabilidad de las formas anatómicas. ^{[1] [2]} Implica el desarrollo y aplicación de métodos matemáticos, estadísticos y de análisis de datos para el modelado y simulación de estructuras biológicas.

El campo está ampliamente definido e incluye fundamentos en anatomía , matemáticas aplicadas y matemáticas puras , aprendizaje automático , mecánica computacional , ciencia computacional , imágenes biológicas , neurociencia , física , probabilidad y estadística ; también tiene fuertes conexiones con la mecánica de fluidos y la mecánica geométrica . Además, complementa campos interdisciplinarios más nuevos como la bioinformática y la neuroinformática en el sentido de que su interpretación utiliza metadatos derivados de las modalidades de imágenes de sensores originales (de las cuales la resonancia magnética es un ejemplo). Se centra en las estructuras anatómicas de las que se obtienen imágenes, en lugar de en los dispositivos de imágenes médicas. Es similar en espíritu a la historia de la lingüística computacional , una disciplina que se centra en las estructuras lingüísticas en lugar del sensor que actúa como medio de transmisión y comunicación.

En anatomía computacional, el grupo de difeomorfismo se utiliza para estudiar diferentes sistemas de coordenadas mediante transformaciones de coordenadas generadas mediante las velocidades de flujo lagrangianas y eulerianas . Los flujos entre coordenadas en anatomía computacional están obligados a ser flujos geodésicos que satisfacen el principio de mínima acción para la energía cinética del flujo. La energía cinética se define mediante una norma de suavidad de Sobolev con estrictamente más de dos derivadas generalizadas integrables al cuadrado para cada componente de la velocidad del flujo, lo que garantiza que los flujos entrantes sean difeomorfismos. ^[3] También implica que el momento de forma difeomorfa tomado puntualmente que satisface la ecuación de Euler-Lagrange para geodésicas está determinado por sus vecinos a través de derivadas espaciales en el campo de velocidades. Esto separa la disciplina del caso de los fluidos incompresibles ^[4] para los cuales el impulso es una función puntual de la velocidad. La anatomía computacional cruza el estudio de las variedades de Riemann y el análisis global no lineal , donde los grupos de difeomorfismos son el foco central. Las teorías emergentes de la forma de alta dimensión ^[5] son ​​fundamentales para muchos estudios en anatomía computacional, al igual que las preguntas que surgen del incipiente campo de la estadística de la forma . Las estructuras métricas en anatomía computacional están relacionadas en espíritu con la morfometría , con la distinción de que la anatomía computacional se centra en un espacio de dimensiones infinitas de sistemas de coordenadas transformados por un difeomorfismo , de ahí el uso central de la terminología difeomorfometría, el estudio espacial métrico de sistemas de coordenadas. a través de difeomorfismos. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Génesis

El corazón de la anatomía computacional es la comparación de formas reconociendo en una forma la otra. Esto lo conecta con los desarrollos de D'Arcy Wentworth Thompson Sobre el crecimiento y la forma , que han llevado a explicaciones científicas de la morfogénesis , el proceso mediante el cual se forman patrones en biología . Los cuatro libros sobre la proporción humana de Alberto Durero fueron posiblemente los primeros trabajos sobre anatomía computacional. ^{[6] [7] [8]} Los esfuerzos de Noam Chomsky como pionero de la lingüística computacional inspiraron la formulación original de la anatomía computacional como un modelo generativo de formas a partir de ejemplares sobre los que se actúa mediante transformaciones. ^[9]

Debido a la disponibilidad de mediciones tridimensionales densas a través de tecnologías como la resonancia magnética (MRI), la anatomía computacional ha surgido como un subcampo de las imágenes médicas y la bioingeniería para extraer sistemas de coordenadas anatómicas a escala de morfomas en 3D. El espíritu de esta disciplina comparte fuerte coincidencia con áreas como la visión por computadora y la cinemática de cuerpos rígidos , donde se estudian los objetos analizando los grupos responsables del movimiento en cuestión. La anatomía computacional se aleja de la visión por computadora y se centra en los movimientos rígidos, ya que el grupo de difeomorfismo de dimensión infinita es fundamental para el análisis de las formas biológicas. Es una rama de la escuela de análisis de imágenes y teoría de patrones de la Universidad de Brown ^[10] iniciada por Ulf Grenander . En la teoría general de patrones métricos de Grenander , convertir espacios de patrones en un espacio métrico es una de las operaciones fundamentales, ya que poder agrupar y reconocer configuraciones anatómicas a menudo requiere una métrica de formas cercanas y alejadas. La métrica difeomorfometría ^[11] de anatomía computacional mide qué tan lejos están dos cambios difeomorfos de coordenadas entre sí, lo que a su vez induce una métrica sobre las formas e imágenes indexadas a ellos. Los modelos de la teoría de patrones métricos, ^{[12] [13],} en particular la acción grupal sobre la órbita de formas y figuras, son una herramienta central para las definiciones formales en anatomía computacional.

Historia

La anatomía computacional es el estudio de la forma en el morfoma o milímetro de anatomía macroscópica , o escala de morfología , centrándose en el estudio de subvariedades de puntos , superficies curvas y subvolúmenes de la anatomía humana. Uno de los primeros neuroanatomistas computacionales modernos fue David Van Essen ^[14] que realizó algunos de los primeros desarrollos físicos del cerebro humano basándose en la impresión de una corteza humana y el corte. La publicación de Jean Talairach de las coordenadas de Talairach es un hito importante en la escala de morfomas que demuestra la base fundamental de los sistemas de coordenadas locales en el estudio de la neuroanatomía y, por lo tanto, el vínculo claro con los gráficos de geometría diferencial . Al mismo tiempo, el mapeo virtual en anatomía computacional a través de coordenadas de imágenes densas de alta resolución ya estaba ocurriendo en los primeros desarrollos de Ruzena Bajcy ^[15] y Fred Bookstein ^[16] basados ​​en tomografía axial computarizada e imágenes de resonancia magnética . La primera introducción del uso de flujos de difeomorfismos para la transformación de sistemas de coordenadas en el análisis de imágenes y las imágenes médicas fue realizada por Christensen, Joshi, Miller y Rabbitt. ^{[17] [18] [19]} ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3},}$

La primera formalización de la anatomía computacional como una órbita de plantillas ejemplares bajo la acción grupal del difeomorfismo fue en la conferencia original dada por Grenander y Miller con ese título en mayo de 1997 en el 50º Aniversario de la División de Matemáticas Aplicadas de la Universidad de Brown, ^[20] y publicación posterior. ^[9] Esta fue la base para la fuerte desviación de gran parte del trabajo anterior sobre métodos avanzados para la normalización espacial y el registro de imágenes que históricamente se basaban en nociones de suma y expansión de bases. La estructura que preserva las transformaciones centrales en el campo moderno de la anatomía computacional, los homeomorfismos y los difeomorfismos, transporta subvariedades suaves sin problemas. Se generan mediante flujos lagrangianos y eulerianos que satisfacen una ley de composición de funciones que forman la propiedad del grupo, pero no son aditivos.

El modelo original de anatomía computacional era el triple, el grupo , la órbita de figuras y formas , y las leyes de probabilidad que codifican las variaciones de los objetos en la órbita. La plantilla o colección de plantillas son elementos en la órbita de las formas. ${\displaystyle ({\mathcal {G}},{\mathcal {M}},{\mathcal {P}})\ ,}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {temp} }\in {\mathcal {M}}}$

Las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas de las ecuaciones de movimiento de la anatomía computacional despegaron después de 1997 con varias reuniones fundamentales, incluida la reunión Luminy de 1997 ^[21] organizada por la escuela Azencott ^{[22] de la} Ecole-Normale Cachan sobre las "Matemáticas del reconocimiento de formas". y el Trimestre de 1998 en el Instituto Henri Poincaré organizado por David Mumford "Questions Mathématiques en Traitement du Signal et de l'Image" que catalizó los grupos Hopkins-Brown-ENS Cachan y los desarrollos y conexiones posteriores de la anatomía computacional con los desarrollos en el análisis global.

Los desarrollos en anatomía computacional incluyeron el establecimiento de las condiciones de suavidad de Sobolev en la métrica de difeomorfometría para asegurar la existencia de soluciones de problemas variacionales en el espacio de difeomorfismos, ^{[23] [24]} la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange que caracterizan las geodésicas a través del grupo y leyes de conservación asociadas, ^{[25] [26] [27]} la demostración de las propiedades métricas de la métrica invariante derecha, ^[28] la demostración de que las ecuaciones de Euler-Lagrange tienen un problema de valor inicial bien planteado con soluciones únicas para todos tiempo, ^[29] y con los primeros resultados sobre curvaturas seccionales para la métrica de difeomorfometría en espacios señalizados. ^[30] Después de la reunión de Los Álamos en 2002, ^{[31] las soluciones} Landmark originales de gran deformación singular de Joshi ^[32] en anatomía computacional se conectaron a solitones puntiagudos o picoones ^[33] como soluciones para la ecuación de Camassa-Holm . Posteriormente, se hicieron conexiones entre las ecuaciones de Euler-Lagrange de anatomía computacional para densidades de momento para la métrica invariante por la derecha que satisface la suavidad de Sobolev con la caracterización de Vladimir Arnold ^[4] de la ecuación de Euler para flujos incompresibles como descripción de geodésicas en el grupo de difeomorfismos que preservan el volumen. ^{[34] [35]} Los primeros algoritmos, generalmente denominados LDDMM para mapeo difeomorfo de deformación grande para calcular conexiones entre puntos de referencia en volúmenes ^{[32] [36] [37]} y variedades esféricas, ^[38] curvas, ^[39] corrientes y superficies, Le siguieron ^{[40] [41] [42]} volúmenes, ^[43] tensores, ^[44] variedades, ^[45] y series de tiempo ^{[46] [47] [48] .}

Estas contribuciones de la anatomía computacional al análisis global asociado a las variedades de dimensión infinita de subgrupos del grupo del difeomorfismo están lejos de ser triviales. La idea original de hacer geometría diferencial, curvatura y geodésicas en variedades de dimensiones infinitas se remonta a la Habilitación de Bernhard Riemann (Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen ^{[49] [50]} ); El libro moderno clave que sienta las bases de tales ideas en el análisis global es de Micor. ^[51]

Las aplicaciones de la anatomía computacional dentro de las imágenes médicas continuaron floreciendo después de dos reuniones organizadas en las conferencias del Instituto de Matemáticas Puras y Aplicadas ^{[52] [53]} de la Universidad de California, Los Ángeles . La anatomía computacional ha sido útil para crear modelos precisos de la atrofia del cerebro humano a escala de morfoma, así como plantillas cardíacas, ^[54] así como para modelar sistemas biológicos. ^[55] Desde finales de la década de 1990, la anatomía computacional se ha convertido en una parte importante del desarrollo de tecnologías emergentes para el campo de las imágenes médicas. Los atlas digitales son una parte fundamental de la educación moderna en las facultades de medicina ^{[56] [57]} y en la investigación de neuroimagen a escala de morfoma. ^{[58] [59]} Los métodos basados ​​en Atlas y los libros de texto virtuales ^[60] que se adaptan a variaciones como en las plantillas deformables están en el centro de muchas plataformas de análisis de neuroimágenes, incluidas Freesurfer, ^[61] FSL, ^[62] MRIStudio, ^[63] SPM. . ^[64] El registro difeomórfico, ^[18] introducido en la década de 1990, es ahora un actor importante con bases de códigos existentes organizadas en torno a ANTS, ^[65] DARTEL, ^[66] DEMONS, ^[67] LDDMM, ^[68] StationaryLDDMM, ^[69] FastLDDMM, ^[70] son ​​ejemplos de códigos computacionales utilizados activamente para construir correspondencias entre sistemas de coordenadas basados ​​en características dispersas e imágenes densas. La morfometría basada en vóxeles es una tecnología importante basada en muchos de estos principios.

El modelo de órbita de plantilla deformable de anatomía computacional.

El modelo de anatomía humana es una plantilla deformable, una órbita de ejemplares bajo la acción grupal. Los modelos de plantillas deformables han sido fundamentales para la teoría de patrones métricos de Grenander, ya que tienen en cuenta la tipicidad mediante plantillas y la variabilidad mediante la transformación de la plantilla. Una órbita bajo acción grupal como representación de la plantilla deformable es una formulación clásica de la geometría diferencial. Se denota el espacio de las formas , con el grupo con ley de composición ; se denota la acción del grupo sobre las formas , donde la acción del grupo se define para satisfacer ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {G}},\circ )}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle g\cdot m}$ ${\displaystyle g\cdot m\in {\mathcal {M}},m\in {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle (g\circ g^{\prime })\cdot m=g\cdot (g^{\prime }\cdot m)\in {\mathcal {M}}.}$

La órbita de la plantilla se convierte en el espacio de todas las formas, siendo homogénea bajo la acción de los elementos de . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{m=g\cdot m_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Figura que representa tres estructuras del lóbulo temporal medial: la amígdala, la corteza entorrinal y el hipocampo con puntos de referencia representados también incrustados en el fondo de la resonancia magnética.

El modelo de órbita de anatomía computacional es un álgebra abstracta (comparable con el álgebra lineal ) ya que los grupos actúan de forma no lineal sobre las formas. Esta es una generalización de los modelos clásicos de álgebra lineal, en los que el conjunto de vectores de dimensión finita se reemplazan por subvariedades anatómicas de dimensión finita (puntos, curvas, superficies y volúmenes) y sus imágenes, y las matrices de álgebra lineal se reemplazado por transformaciones de coordenadas basadas en grupos lineales y afines y los grupos de difeomorfismo de alta dimensión más generales. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$

Formas y formas

Los objetos centrales son formas en anatomía computacional, un conjunto de ejemplos son las subvariedades de 0,1,2,3 dimensiones de , un segundo conjunto de ejemplos son imágenes generadas mediante imágenes médicas , como imágenes por resonancia magnética (MRI) y Imágenes por resonancia magnética funcional . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

Superficies de malla triangulares que representan estructuras subcorticales: amígdala, hipocampo, tálamo, caudado, putamen y ventrículos. Las formas se indican representadas como mallas trianguladas. ${\displaystyle m(u),u\in U\subset {\mathbb {R} }^{1}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}}$

Las variedades de dimensión 0 son hitos o puntos fiduciales; Las variedades unidimensionales son curvas como las curvas de surco y giro en el cerebro; Las variedades bidimensionales corresponden a límites de subestructuras en anatomía, como las estructuras subcorticales del mesencéfalo o la superficie giral de la neocorteza ; Los subvolúmenes corresponden a subregiones del cuerpo humano, el corazón , el tálamo , el riñón.

Los puntos de referencia son colecciones de puntos sin otra estructura, que delinean fiduciales importantes dentro de la forma humana (ver imagen de puntos de referencia asociada). Las formas de subvariedad , como las superficies , son colecciones de puntos modelados según los parámetros de un gráfico local o de inmersión ( consulte la Figura que muestra formas como superficies de malla). Las imágenes, como las imágenes de RM o las imágenes DTI , y son funciones densas, son escalares, vectores y matrices (consulte la Figura que muestra la imagen escalar). ${\displaystyle X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m:U\subset {\mathbb {R} }^{1,2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle I(x),x\in X\subset {\mathbb {R} }^{1,2,3}}$

Grupos y acciones grupales.

Muestra una sección de resonancia magnética a través de un cerebro en 3D que representa una imagen escalar basada en ponderación T1. ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{2}}$

Los grupos y las acciones grupales están familiarizados con la comunidad de ingenieros con la popularización y estandarización universal del álgebra lineal como modelo básico para el análisis de señales y sistemas en ingeniería mecánica , ingeniería eléctrica y matemáticas aplicadas . En álgebra lineal, los grupos de matrices (matrices con inversas) son la estructura central, con la acción del grupo definida por la definición habitual de matriz , actuando como vectores; la órbita en álgebra lineal es el conjunto de vectores dado por , que es una acción grupal de las matrices a través de la órbita de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle x\in {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y=A\cdot x\in {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

El grupo central en anatomía computacional definido en volúmenes son los difeomorfismos que son asignaciones con 3 componentes , ley de composición de funciones , con inversa . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\doteq \operatorname {Diff} }$ ${\displaystyle \varphi (\cdot )=(\varphi _{1}(\cdot ),\varphi _{2}(\cdot ),\varphi _{3}(\cdot ))}$ ${\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{\prime }(\cdot )\doteq \varphi (\varphi ^{\prime }(\cdot ))}$ ${\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{-1}(\cdot )=\varphi (\varphi ^{-1}(\cdot ))={\rm {id}}}$

Las más populares son las imágenes escalares, con acción a la derecha a través de la inversa. ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I(x)=I\circ \varphi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}.}$

Para subvariedades , parametrizadas por un gráfico o inmersión , la acción difeomorfa el flujo de la posición ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$

${\displaystyle \varphi \cdot m(u)\doteq \varphi \circ m(u),u\in U.}$

Se han definido varias acciones grupales en anatomía computacional . ^{[ cita necesaria ]}

Flujos lagrangianos y eulerianos para generar difeomorfismos

Para el estudio de la cinemática de cuerpos rígidos , los grupos de Lie de matrices de baja dimensión han sido el foco central. Los grupos de matrices son mapeos de baja dimensión, que son difeomorfismos que proporcionan correspondencias uno a uno entre sistemas de coordenadas, con una inversa suave. El grupo matricial de rotaciones y escalas se puede generar mediante matrices de dimensión finita de forma cerrada que son soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias simples con soluciones dadas por la matriz exponencial.

Para el estudio de la forma deformable en anatomía computacional, el grupo elegido ha sido un grupo de difeomorfismo más general, que es el análogo de dimensión infinita. Los grupos de difeomorfismo de alta dimensión utilizados en Anatomía Computacional se generan mediante flujos suaves que satisfacen las especificaciones lagrangianas y eulerianas de los campos de flujo tal como se introdujeron por primera vez en ^{[17] [19] [71]} satisfaciendo la ecuación diferencial ordinaria: ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$

Mostrando el flujo lagrangiano de coordenadas con campos vectoriales asociados que satisfacen la ecuación diferencial ordinaria . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}(\varphi _{t}),\varphi _{0}={\rm {id}}}$

con los campos vectoriales activados se denomina velocidad euleriana de las partículas en la posición del flujo. Los campos vectoriales son funciones en un espacio funcional, modelados como un espacio suave de Hilbert de alta dimensión, siendo el jacobiano del flujo un campo de alta dimensión también en un espacio funcional, en lugar de una matriz de baja dimensión como en la matriz. grupos. Los flujos se introdujeron por primera vez ^{[72] [73]} para grandes deformaciones en la comparación de imágenes; es la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo . ${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

La inversa requerida para el grupo se define en el campo vectorial euleriano con flujo inverso advectivo ${\displaystyle \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

El grupo de difeomorfismo de anatomía computacional.

El grupo de difeomorfismos es muy grande. Para garantizar flujos fluidos de difeomorfismos evitando soluciones similares a choques para la inversa, los campos vectoriales deben ser al menos 1 vez continuamente diferenciables en el espacio. ^{[74] [75]} Para los difeomorfismos en , los campos vectoriales se modelan como elementos del espacio de Hilbert utilizando los teoremas de incrustación de Sobolev de modo que cada elemento tenga estrictamente mayores que 2 derivadas espaciales generalizadas integrables al cuadrado (por lo tanto, es suficiente), lo que produce 1 vez funciones continuamente diferenciables. ^{[74] [75]} ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$

El grupo de difeomorfismos son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev:

donde con el operador lineal mapeando al espacio dual , con la integral calculada por integración por partes cuando es una función generalizada en el espacio dual. ${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v\in V\ ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A:V\mapsto V^{*}}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$

Suavidad de Sobolev y reproducción del núcleo Espacio de Hilbert con el núcleo de Green

La condición de suavidad de Sobolev en campos vectoriales modelada en un espacio de Hilbert con núcleo reproductivo

El enfoque de modelado utilizado en anatomía computacional impone una condición de diferenciabilidad continua en los campos vectoriales modelando el espacio de los campos vectoriales como un espacio de Hilbert del núcleo reproductor (RKHS), con la norma definida por un operador diferencial 1-1 , el inverso de Green . La norma del espacio de Hilbert es inducida por el operador diferencial. Para una función o distribución generalizada, defina la forma lineal como . Esto determina la norma según ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle K=A^{-1}}$ ${\displaystyle \sigma (v)\doteq Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle (\sigma |w)\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\sum _{i}w_{i}(x)\sigma _{i}(dx)}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle _{V}\doteq \int _{X}Av\cdot w\,dx,\ \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v,w\in V\ .}$

Dado que es un operador diferencial, la finitud del cuadrado normativo incluye derivadas del operador diferencial que implican suavidad de los campos vectoriales. Los argumentos del teorema de incrustación de Sobolev se presentaron en ^{[74] [75]} , demostrando que se requiere una derivada 1 continua para flujos suaves. . Para una elección adecuada, entonces hay un RKHS con el operador denominado operador de Green generado a partir de la función de Green (caso escalar) para el caso del campo vectorial. Los núcleos de Green asociados al operador diferencial se suavizan ya que el núcleo es continuamente diferenciable en ambas variables, lo que implica ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (Av|v)<\infty }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle K=A^{-1}:V^{*}\rightarrow V}$ ${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle K\sigma (x)_{i}\doteq \sum _{j}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}k_{ij}(x,y)\sigma _{j}(dy)}$

Cuando , una densidad vectorial, ${\displaystyle \sigma \doteq \mu \,dx}$ ${\displaystyle (\sigma \mid v)\doteq \int v\cdot \mu \,dx.}$

Difeomorfometría: el espacio métrico de figuras y formas.

El estudio de métricas sobre grupos de difeomorfismos y el estudio de métricas entre variedades y superficies ha sido un área de investigación importante. ^{[28] [76] [77] [78] [79] [80]} La métrica de difeomorfometría mide qué tan cerca y lejos están dos formas o imágenes entre sí; la longitud métrica es la longitud más corta del flujo que lleva un sistema de coordenadas al otro.

A menudo, la conocida métrica euclidiana no es directamente aplicable porque los patrones de formas e imágenes no forman un espacio vectorial. En el modelo de órbita computacional de Riemann , los difeomorfismos que actúan sobre las formas no actúan linealmente. Hay muchas formas de definir métricas, y para los conjuntos asociados a formas la métrica de Hausdorff es otra. El método que utilizamos para inducir la métrica de Riemann se utiliza para inducir la métrica en la órbita de formas definiéndola en términos de la longitud métrica entre transformaciones del sistema de coordenadas difeomorfas de los flujos. Medir las longitudes del flujo geodésico entre sistemas de coordenadas en la órbita de formas se llama difeomorfometría . ${\displaystyle \varphi \cdot m\in {\mathcal {M}},\varphi \in \operatorname {Diff} _{V},m\in {\mathcal {M}}}$

La métrica invariante por la derecha sobre difeomorfismos

Definir la distancia en el grupo de difeomorfismos.

esta es la métrica invariante por la derecha de la difeomorfometría, ^{[11] [28]} invariante a la reparametrización del espacio ya que para todos , ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi \circ \varphi ,\varphi \circ \varphi )}$.

La métrica sobre formas y figuras.

La distancia en formas y formas, ^[81] , ${\displaystyle d_{\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

las imágenes ^[28] se indican con la órbita como y métrica . ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle ,d_{\mathcal {I}}}$

La integral de acción para el principio de Hamilton sobre flujos difeomorfos.

En mecánica clásica la evolución de los sistemas físicos se describe mediante soluciones a las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas al principio de mínima acción de Hamilton . Esta es una forma estándar, por ejemplo, de obtener las leyes de Newton sobre el movimiento de partículas libres. De manera más general, las ecuaciones de Euler-Lagrange se pueden derivar para sistemas de coordenadas generalizadas . La ecuación de Euler-Lagrange en anatomía computacional describe los flujos de caminos geodésicos más cortos entre sistemas de coordenadas de la métrica de difeomorfismo. En anatomía computacional las coordenadas generalizadas son el flujo del difeomorfismo y su velocidad lagrangiana , los dos relacionados a través de la velocidad euleriana . El principio de Hamilton para generar la ecuación de Euler-Lagrange requiere la integral de acción en el lagrangiano dada por ${\displaystyle \varphi ,{\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle v\doteq {\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}$

el lagrangiano viene dado por la energía cinética:

Momento de forma difeomorfa o euleriana

En anatomía computacional, primero se llamó impulso de forma euleriana o difeomorfa ^[82] ya que cuando se integra contra la velocidad euleriana se obtiene densidad de energía, y dado que existe una conservación del momento de forma difeomorfa que se mantiene. El operador es el momento de inercia generalizado u operador inercial. ${\displaystyle Av}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$

La ecuación de Euler-Lagrange sobre el momento de forma para geodésicas en el grupo de difeomorfismos

El cálculo clásico de la ecuación de Euler-Lagrange a partir del principio de Hamilton requiere la perturbación del lagrangiano en el campo vectorial en la energía cinética con respecto a la perturbación de primer orden del flujo. Esto requiere un ajuste mediante el corchete de Lie del campo vectorial , dado por el operador que involucra el jacobiano dado por ${\displaystyle ad_{v}:w\in V\mapsto V}$

${\displaystyle ad_{v}[w]\doteq [v,w]\doteq (Dv)w-(Dw)v\in V}$.

Al definir el adjunto, entonces la variación de primer orden da el impulso de la forma euleriana que satisface la ecuación generalizada: ${\displaystyle ad_{v}^{*}:V^{*}\rightarrow V^{*},}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$

significado para todo suave ${\displaystyle w\in V,}$

${\displaystyle \int _{X}\left({\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})\right)\cdot w\,dx=\int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})dx=0.}$

La anatomía computacional es el estudio de los movimientos de subvariedades, puntos, curvas, superficies y volúmenes. El momento asociado a puntos, curvas y superficies son todos singulares, lo que implica que el momento se concentra en subconjuntos de los cuales son dimensiones en medida de Lebesgue . En tales casos, la energía sigue estando bien definida ya que aunque es una función generalizada, los campos vectoriales son suaves y el momento euleriano se entiende a través de su acción sobre funciones suaves. El ejemplo perfecto de esto es que incluso cuando se trata de una superposición de delta-diracs, la velocidad de las coordenadas en todo el volumen se mueve suavemente. La ecuación de Euler-Lagrange ( EL-general ) sobre difeomorfismos para funciones generalizadas se derivó en. ^[83] En la interpretación métrica de Riemann y de soporte de mentira de la ecuación de Euler-Lagrange en geodésicas, las derivaciones se proporcionan en términos del operador adjunto y la mentira. corchete para el grupo de difeomorfismos. Ha llegado a denominarse ecuación EPDiff para difeomorfismos que se conectan con el método de Euler-Poincaré y se ha estudiado en el contexto del operador inercial para fluidos incompresibles y libres de divergencia. ^{[35] [84]} ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \leq 2}$ ${\displaystyle (Av_{t}\mid v_{t})}$ ${\displaystyle Av_{t}}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle A=identity}$

Momento de forma difeomorfa: una función vectorial clásica

Para el caso de densidad de momento , entonces la ecuación de Euler-Lagrange tiene una solución clásica: ${\displaystyle (Av_{t}\mid w)=\int _{X}\mu _{t}\cdot w\,dx}$

La ecuación de Euler-Lagrange sobre difeomorfismos, definida clásicamente para densidades de impulso, apareció por primera vez en ^[85] para el análisis de imágenes médicas.

Exponencial de Riemann (posicionamiento geodésico) y logaritmo de Riemann (coordenadas geodésicas)

En imágenes médicas y anatomía computacional, posicionar y coordinar formas son operaciones fundamentales; el sistema para posicionar coordenadas y formas anatómicas basado en la métrica y la ecuación de Euler-Lagrange, un sistema de posicionamiento geodésico como se explicó por primera vez en Miller Trouve y Younes. ^[11] Resolver la geodésica a partir de la condición inicial se denomina exponencial de Riemann, un mapeo de identidad con el grupo. ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(\cdot ):V\to \operatorname {Diff} _{V}}$

La exponencial de Riemann satisface la condición inicial , dinámica de campo vectorial , ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})=\varphi _{1}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{0}=v_{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},t\in [0,1]}$

• para la ecuación clásica momento de forma difeomorfa , entonces ${\displaystyle \int _{X}Av_{t}\cdot w\,dx}$ ${\displaystyle Av\in V}$

${\displaystyle \ \ \ {\frac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;}$

• para ecuación generalizada, entonces , , ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle w\in V}$

${\displaystyle \ \ \ \int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})\,dx=0.}$

Calcular el flujo en coordenadas Logaritmo de Riemann , ^{[11] [81]} mapeo en la identidad de un campo vectorial ; ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle Log_{\rm {id}}(\cdot ):\operatorname {Diff} _{V}\to V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle v_{0}\in V}$

${\displaystyle \log _{\rm {id}}(\varphi )=v_{0}\ {\text{initial condition of EL geodesic}}{\dot {\varphi }}_{0}=v_{0},\varphi _{0}=id,\varphi _{1}=\varphi \ .}$

Extendidos a todo el grupo se convierten en

${\displaystyle \varphi =\operatorname {Exp} _{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\circ \varphi }$ ; . ${\displaystyle \log _{\varphi }(\varphi )\doteq \log _{\rm {id}}(\varphi \circ \varphi ^{-1})\circ \varphi }$

Estos son inversos entre sí para soluciones únicas de logaritmo; el primero se llama posicionamiento geodésico, el segundo coordenadas geodésicas (ver mapa exponencial, geometría de Riemann para la versión de dimensión finita). La métrica geodésica es un aplanamiento local del sistema de coordenadas de Riemann (ver figura).

Mostrando el aplanamiento local métrico de variedades coordinadas de figuras y formas. La métrica local viene dada por la norma del campo vectorial del mapeo geodésico. ${\displaystyle \|v_{0}\|_{V}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m}$

Formulación hamiltoniana de anatomía computacional.

En anatomía computacional, los difeomorfismos se utilizan para impulsar los sistemas de coordenadas y los campos vectoriales se utilizan como control dentro de la órbita anatómica o el espacio morfológico. El modelo es el de un sistema dinámico, el flujo de coordenadas y el control del campo vectorial se relacionan mediante La visión hamiltoniana ^{[81] [86] [87] [88] [89]} reparametriza la distribución del momento en términos del momento conjugado o Momento canónico , presentado como un multiplicador de Lagrange que limita la velocidad lagrangiana . En consecuencia: ${\displaystyle t\mapsto \varphi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle t\mapsto v_{t}\in V}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\cdot \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}}.}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle p:{\dot {\varphi }}\mapsto (p\mid {\dot {\varphi }})}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t}}$

${\displaystyle H(\varphi _{t},p_{t},v_{t})=\int _{X}p_{t}\cdot (v_{t}\circ \varphi _{t})\,dx-{\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx.}$

Esta función es el hamiltoniano extendido. El principio máximo de Pontryagin ^[81] proporciona el campo vectorial de optimización que determina el flujo geodésico que satisface así como el hamiltoniano reducido. ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}},}$

${\displaystyle H(\varphi _{t},p_{t})\doteq \max _{v}H(\varphi _{t},p_{t},v)\ .}$

El multiplicador de Lagrange en su acción como forma lineal tiene su propio producto interno del momento canónico que actúa sobre la velocidad del flujo y que depende de la forma, por ejemplo, para puntos de referencia, una suma, para superficies, una integral de superficie, y. para volúmenes es una integral de volumen con respecto a on . En todos los casos, los núcleos de Green tienen pesos que son el momento canónico que evoluciona según una ecuación diferencial ordinaria que corresponde a EL pero es la reparametrización geodésica en el momento canónico. El campo vectorial de optimización está dado por ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle v_{t}\doteq \operatorname {argmax} _{v}H(\varphi _{t},p_{t},v)}$

con dinámica de impulso canónico reparametrizando el campo vectorial a lo largo de la geodésica

Estacionariedad del hamiltoniano y energía cinética según Euler-Lagrange

Mientras que los campos vectoriales se extienden a lo largo de todo el espacio de fondo de , los flujos geodésicos asociados a las subvariedades tienen un momento de forma euleriana que evoluciona como una función generalizada concentrada en las subvariedades. Para los puntos de referencia ^{[90] [91] [92],} las geodésicas tienen un momento de forma euleriana que es una superposición de distribuciones delta que viajan con un número finito de partículas; el flujo difeomorfo de coordenadas tiene velocidades en el rango de los núcleos de Green ponderados. Para las superficies, el impulso es una integral de superficie de distribuciones delta que viajan con la superficie. ^[11] ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle Av_{t}\in V^{*}}$

Las geodésicas que conectan sistemas de coordenadas que satisfacen EL-general tienen estacionariedad lagrangiana. El hamiltoniano está dado por el extremo a lo largo de la trayectoria , igualando a la energía cinética lagrangiana y es estacionario a lo largo de EL-general . Definiendo la velocidad geodésica en la identidad , luego a lo largo de la geodésica ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle H(\varphi ,p)=\max _{v}H(\varphi ,p,v)}$ ${\displaystyle v_{0}=\arg \max _{v}H(\varphi _{0},p_{0},v)}$

La estacionariedad del hamiltoniano demuestra la interpretación del multiplicador de Lagrange como impulso; integrado contra la velocidad da densidad de energía. El impulso canónico tiene muchos nombres. En control óptimo , los flujos se interpretan como el estado y se interpreta como estado conjugado o momento conjugado. ^[93] La geodesi de EL implica la especificación de los campos vectoriales o el momento euleriano en , o la especificación del momento canónico determina el flujo. ${\displaystyle {\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle Av_{0}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle p_{0}}$

La métrica de los flujos geodésicos de puntos de referencia, superficies y volúmenes dentro de la órbita.

En anatomía computacional, las subvariedades son conjuntos de puntos, curvas, superficies y subvolúmenes que son las primitivas básicas. Los flujos geodésicos entre las subvariedades determinan la distancia y forman las herramientas básicas de medición y transporte de la difeomorfometría . En la geodésica, el campo vectorial está determinado por el momento conjugado y el núcleo de Green del operador inercial que define el momento euleriano . La distancia métrica entre sistemas de coordenadas conectados a través de la geodésica determinada por la distancia inducida entre la identidad y el elemento del grupo: ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$ ${\displaystyle K=A^{-1}}$

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}({\rm {id}},\varphi )=\|\log _{\rm {id}}(\varphi )\|_{V}=\|v_{0}\|_{V}={\sqrt {2H({\rm {id}},p_{0})}}}$

Leyes de conservación sobre el impulso de la forma difeomorfa para la anatomía computacional

Dada la mínima acción existe una definición natural de impulso asociado a coordenadas generalizadas; la cantidad que actúa contra la velocidad da energía. El campo ha estudiado dos formas, el impulso asociado al campo vectorial euleriano denominado impulso de forma difeomorfa euleriana , y el impulso asociado a las coordenadas iniciales o coordenadas canónicas denominado impulso de forma difeomorfa canónica . Cada uno tiene una ley de conservación. La conservación del impulso va de la mano con el EL-general . En anatomía computacional, es el momento euleriano ya que cuando se integra contra la velocidad euleriana da densidad de energía; operador el momento de inercia generalizado u operador inercial que actuando sobre la velocidad euleriana da un impulso que se conserva a lo largo de la geodésica: ${\displaystyle Av}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$

La conservación del impulso de la forma euleriana se muestra en ^[94] y se desprende de EL-general ; La conservación del impulso canónico se demostró en ^[81].

Prueba de conservación

La prueba se sigue de definir , lo que implica ${\displaystyle w_{t}=((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}w_{t}=(Dv_{t})w_{t}-(Dw_{t})v_{t}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(Av_{t}\mid ((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})=({\frac {d}{dt}}Av_{t}\mid ((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})+(Av_{t}\mid {\frac {d}{dt}}((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})=({\frac {d}{dt}}Av_{t}\mid w_{t})+(Av_{t}\mid (Dv_{t})w_{t}-(Dw_{t})v_{t})=0.}$

La prueba del impulso canónico se muestra a partir de : ${\displaystyle {\dot {p}}_{t}=-(Dv_{t})_{|_{\varphi _{t}}}^{T}p_{t}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(p_{t}\mid (D\varphi _{t})w)=({\dot {p}}_{t}\mid (D\varphi _{t})w)+(p_{t}\mid {\frac {d}{dt}}(D\varphi _{t})w)=({\dot {p}}_{t}\mid (D\varphi _{t})w)+(p_{t}\mid (Dv_{t})_{|_{\varphi _{t}}}(D\varphi _{t})w)=0}$.

Interpolación geodésica de información entre sistemas de coordenadas mediante problemas variacionales.

La construcción de correspondencias difeomorfas entre formas calcula las coordenadas del campo vectorial inicial y los pesos asociados en los núcleos de Green . Estas coordenadas iniciales se determinan mediante la coincidencia de formas, lo que se denomina mapeo métrico difeomorfo de gran deformación (LDDMM) . LDDMM se ha resuelto para puntos de referencia con y sin correspondencia ^{[32] [95] [96] [97] [98]} y para coincidencias de imágenes densas. ^{[99] [100]} curvas, ^[101] superficies, ^{[41] [102]} imágenes vectoriales densas ^[103] y tensoriales ^[104] y variantes que eliminan la orientación. ^[105] LDDMM calcula los flujos geodésicos del EL-general en las coordenadas del objetivo, agregando a la integral de acción una condición de coincidencia de puntos finales que mide la correspondencia de los elementos en la órbita bajo la transformación del sistema de coordenadas. Se examinó la existencia de soluciones para la comparación de imágenes. ^[24] La solución del problema variacional satisface la EL-general para con condición de frontera. ${\displaystyle v_{0}\in V}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt}$ ${\displaystyle E:\varphi _{1}\rightarrow R^{+}}$ ${\displaystyle t\in [0,1)}$

Emparejamiento basado en minimizar la acción de la energía cinética con la condición del punto final

${\displaystyle {\begin{aligned}&\min \left\{C(\varphi ):v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1},\varphi _{0}={\rm {id}}\right\}\\[5pt]\doteq {}&{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+E(\varphi _{1})\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Euler conservation }}&\displaystyle {\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0,\ t\in [0,1)\ ,\\{\text{Boundary condition }}&\displaystyle \varphi _{0}={\rm {id}},Av_{1}=\left.-{\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =\varphi _{1}}\ .\end{cases}}}$

La conservación desde EL-general prolonga el BC al resto del sendero . El problema de concordancia inexacta con el término de concordancia de punto final tiene varias formas alternativas. Una de las ideas clave de la estacionariedad del hamiltoniano a lo largo de la solución geodésica es que el costo de funcionamiento integrado se reduce al costo inicial en t  = 0, las geodésicas del EL-general están determinadas por su condición inicial . ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle t\in [0,1)}$ ${\displaystyle E(\varphi _{1})}$ ${\displaystyle v_{0}}$

El coste de funcionamiento se reduce al coste inicial determinado por Kernel -Surf.-Land.-Geodesics . ${\displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$

Emparejamiento basado en disparos geodésicos.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\min _{v_{0}}C(v_{0})\doteq {\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{0}\cdot v_{0}\,dx+E(\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0})\\[6pt]&\min _{p_{0}}C(p_{0})={\frac {1}{2}}\int _{X}p_{0}\cdot Kp_{0}\,dx+E(\mathrm {Exp} _{\text{id}}(Kp_{0})\cdot I_{0})\end{aligned}}}$

El problema de coincidencia explícitamente indexado a la condición inicial se llama disparo, que también puede repararmerizarse mediante el impulso conjugado . ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle p_{0}}$

Coincidencia densa de imágenes en anatomía computacional

La comparación densa de imágenes tiene una larga historia y los primeros esfuerzos ^{[106] [107]} explotan un marco de deformación pequeño. Las grandes deformaciones comenzaron a principios de la década de 1990, ^{[18] [19]} con la primera existencia de soluciones al problema variacional para flujos de difeomorfismos para la coincidencia de imágenes densas establecidas en. ^[24] Beg se resolvió mediante uno de los primeros algoritmos LDDMM basado en la resolución la coincidencia variacional con el punto final definido por las imágenes densas con respecto a los campos vectoriales, tomando variaciones con respecto a los campos vectoriales. ^[99] Otra solución para la coincidencia de imágenes densas reparametriza el problema de optimización en términos del estado que da la solución en términos de la acción infinitesimal definida por la ecuación de advección . ^{[11] [27] [100]} ${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \varphi _{t}^{-1},q_{0}=I}$

Coincidencia de imágenes densas LDDMM

Para LDDMM de Beg, indique la Imagen con acción grupal . Viendo esto como un problema de control óptimo, el estado del sistema es el flujo difeomorfo de coordenadas , con la dinámica que relaciona el control con el estado dada por . La condición de coincidencia de puntos finales da el problema variacional. ${\displaystyle I(x),x\in X}$ ${\displaystyle \varphi \cdot I\doteq I\circ \varphi ^{-1}}$ ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}=v\circ \varphi }$ ${\displaystyle E(\varphi _{1})\doteq \|I\circ \varphi _{1}^{-1}-I^{\prime }\|^{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Endpoint condition:}}&Av_{1}=\mu _{1}\,dx,\mu _{1}=(I\circ \varphi _{1}^{-1}-I^{\prime })\nabla (I\circ \varphi _{1}^{-1})\ ,\\[5pt]{\text{Conservation:}}&Av_{t}=\mu _{t}\,dx,\ \mu _{t}=(D\varphi _{t}^{-1})^{T}\mu _{0}\circ \varphi _{t}^{-1}|D\varphi _{t}^{-1}|\ .\\[5pt]&\mu _{0}=(I-I^{\prime }\circ \varphi _{1})\nabla I|D\varphi _{1}|\ .\\\end{cases}}}$

El algoritmo iterativo LDDMM de Beg tiene puntos fijos que satisfacen las condiciones necesarias del optimizador. El algoritmo iterativo se proporciona en el algoritmo LDDMM de Beg para coincidencia de imágenes densas .

LDDMM hamiltoniano en estado advectivo reducido

Denota la Imagen , con el estado y el estado y control relacionados con la dinámica dados por el término advectivo . El punto final da el problema variacional. ${\displaystyle I(x),x\in X}$ ${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \varphi _{t}^{-1}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}}$ ${\displaystyle E(q_{1})\doteq \|q_{1}-I^{\prime }\|^{2}}$

El LDDMM hamiltoniano iterativo de Viallard tiene puntos fijos que satisfacen las condiciones necesarias del optimizador.

Coincidencia de imágenes del tensor de difusión en anatomía computacional

Imagen que muestra una imagen de tensor de difusión con tres niveles de color que representan las orientaciones de los tres vectores propios de la imagen de matriz , imagen con valores de matriz; cada uno de los tres colores representa una dirección. ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{2}}$

La coincidencia de tensor LDDMM denso ^{[104] [108]} toma las imágenes como vectores 3x1 y tensores 3x3 y resuelve el problema variacional de coincidencia entre sistemas de coordenadas basándose en los vectores propios principales de la imagen de resonancia magnética del tensor de difusión (DTI) denotada por el tensor - en cada vóxel. . Varias de las acciones grupales definidas en base a la norma matricial de Frobenius entre matrices cuadradas . En la figura adjunta se muestra una imagen DTI ilustrada a través de su mapa de colores que muestra las orientaciones del vector propio de la matriz DTI en cada vóxel con el color determinado por la orientación de las direcciones. Denota la imagen del tensor con elementos propios ,. ${\displaystyle M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \|A\|_{F}^{2}\doteq \operatorname {trace} A^{T}A}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}(x),e_{i}(x),i=1,2,3\}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}}$

La transformación del sistema de coordenadas basada en imágenes DTI ha explotado dos acciones, una basada en el principio de vector propio o matriz completa .

La coincidencia LDDMM basada en el vector propio principal de la matriz del tensor de difusión toma la imagen como un campo de vector unitario definido por el primer vector propio. La acción grupal se convierte en ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0;\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

La coincidencia LDDMM basada en toda la matriz tensorial tiene acción de grupo y se transforma en vectores propios transformados ${\displaystyle \varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}}$.

El problema variacional que coincide con el vector propio principal o la matriz se describe como LDDMM Tensor Image Matching .

Coincidencia de imágenes de difusión de alta resolución angular (HARDI) en anatomía computacional

Las imágenes de difusión de alta resolución angular (HARDI) abordan la conocida limitación de la DTI, es decir, la DTI solo puede revelar una orientación de fibra dominante en cada ubicación. HARDI mide la difusión a lo largo de direcciones distribuidas uniformemente en la esfera y puede caracterizar geometrías de fibras más complejas. HARDI se puede utilizar para reconstruir una función de distribución de orientación (ODF) que caracteriza el perfil angular de la función de densidad de probabilidad de difusión de las moléculas de agua. El ODF es una función definida en una esfera unitaria, . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}$

La coincidencia densa de LDDMM ODF ^[109] toma los datos HARDI como ODF en cada vóxel y resuelve el problema variacional de LDDMM en el espacio de ODF. En el campo de la geometría de la información , ^[110] el espacio de ODF forma una variedad de Riemann con la métrica de Fisher-Rao. Para el mapeo LDDMM ODF, se elige la representación de raíz cuadrada porque es una de las representaciones más eficientes encontradas hasta la fecha, ya que las diversas operaciones de Riemann, como geodésicas, mapas exponenciales y mapas de logaritmos, están disponibles en forma cerrada. A continuación, indique ODF de raíz cuadrada ( ) como , donde no es negativo para garantizar la unicidad y . El problema variacional de emparejamiento supone que se pueden generar dos volúmenes ODF de uno a otro mediante flujos de difeomorfismos , que son soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias a partir del mapa de identidad . Denota la acción del difeomorfismo en la plantilla como ,, son respectivamente las coordenadas de la esfera unitaria y el dominio de la imagen, con el objetivo indexado de manera similar ,,, . ${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})\,d{\bf {s}}=1}$ ${\displaystyle \varphi _{t}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}(\varphi _{t}),t\in [0,1],}$ ${\displaystyle \varphi _{0}={\rm {id}}}$ ${\displaystyle \varphi _{1}\cdot \psi _{\mathrm {temp} }({\bf {s}},x)}$ ${\displaystyle {\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {{\mathbb {S} }^{2}}}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {targ} }({\bf {s}},x)}$ ${\displaystyle {\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}$ ${\displaystyle x\in X}$

La acción grupal del difeomorfismo sobre la plantilla se da según

${\displaystyle \varphi _{1}\cdot \psi (x)\doteq (D\varphi _{1})\psi \circ \varphi _{1}^{-1}(x),x\in X}$,

donde es el jacobiano del ODF transformado por afinidad y se define como ${\displaystyle (D\varphi _{1})}$

${\displaystyle (D\varphi _{1})\psi \circ \varphi _{1}^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\varphi _{1}^{-1}(x)\right).}$

Esta acción grupal de difeomorfismos en ODF reorienta el ODF y refleja cambios tanto en la magnitud como en las direcciones de muestreo debido a la transformación afín. Garantiza que la fracción de volumen de fibras orientadas hacia un parche pequeño debe permanecer igual después de que se transforma el parche. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\bf {s}}}$

El problema variacional LDDMM se define como

${\displaystyle C(v)=\inf _{v:{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+\lambda \int _{x\in \Omega }\|\log _{(D\varphi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \varphi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} }(x))\|_{(D\varphi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \varphi _{1}^{-1}(x)}^{2}\,dx.}$

donde el logaritmo de se define como ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\in \Psi }$

${\displaystyle \|\log _{\psi _{1}}(\psi _{2})\|_{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left(\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}\right),}$

¿Dónde está el producto escalar normal entre puntos de la esfera bajo la métrica? ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}}$

Este algoritmo de mapeo LDDMM-ODF se ha utilizado ampliamente para estudiar la degeneración de la materia blanca del cerebro en el envejecimiento, la enfermedad de Alzheimer y la demencia vascular. ^[111] El atlas de materia blanca del cerebro generado en base a ODF se construye mediante estimación bayesiana. ^[112] El análisis de regresión en ODF se desarrolla en el espacio múltiple de ODF. ^[113]

Metamorfosis

Demostrando la metamorfosis que permite tanto el cambio difeomórfico en la transformación de coordenadas como el cambio en la intensidad de la imagen asociado a las primeras tecnologías de Morphing, como el video de Michael Jackson. Observe la inserción de la intensidad del nivel de gris del tumor que no existe en la plantilla.

El principal modo de variación representado por el modelo de órbita es el cambio de coordenadas. Para entornos en los que pares de imágenes no están relacionadas por difeomorfismos pero tienen variación fotométrica o variación de imagen no representada por la plantilla, se introdujo el modelado de apariencia activo , originalmente por Edwards-Cootes-Taylor ^[114] y en imágenes médicas 3D en ^{. 115]} En el contexto de la anatomía computacional en el que se han estudiado las métricas de la órbita anatómica, la metamorfosis para modelar estructuras como tumores y cambios fotométricos que no residen en la plantilla se introdujo en ^[28] para los modelos de imágenes de resonancia magnética, con muchos desarrollos posteriores que amplían el marco de la metamorfosis. ^{[116] [117] [118]}

Para la coincidencia de imágenes, el marco de metamorfosis de la imagen amplía la acción para que con acción . En este contexto, la metamorfosis combina tanto la transformación del sistema de coordenadas difeomorfas de la anatomía computacional como las primeras tecnologías de transformación que solo atenuaban o modificaban la intensidad fotométrica o de la imagen. ${\displaystyle t\mapsto (\varphi _{t},I_{t})}$ ${\displaystyle \varphi _{t}\cdot I_{t}\doteq I_{t}\circ \varphi _{t}^{-1}}$

Entonces el problema de emparejamiento toma una forma con condiciones de frontera de igualdad:

${\displaystyle \min _{(v,I)}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx+\|{\dot {I}}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1}\|^{2}/\sigma ^{2}\right)\,dt{\text{ subject to}}\ \varphi _{0}={\rm {id}},I_{0}={\text{fixed}},I_{1}={\text{fixed}}}$

Coincidencia de puntos de referencia, curvas y superficies.

La transformación de sistemas de coordenadas basados ​​en puntos Landmark o características de marcadores fiduciales se remonta a los primeros trabajos de Bookstein sobre métodos de splines de deformación pequeña ^[119] para interpolar correspondencias definidas por puntos fiduciales con el espacio de fondo bidimensional o tridimensional en el que se definen los fiduciales. Los métodos de referencia de grandes deformaciones aparecieron a finales de los años 1990. ^{[26] [32] [120]} La figura anterior muestra una serie de puntos de referencia asociados a tres estructuras cerebrales: la amígdala, la corteza entorrinal y el hipocampo.

Hacer coincidir objetos geométricos como distribuciones de puntos, curvas o superficies sin etiquetar es otro problema común en anatomía computacional. Incluso en el entorno discreto donde estos se dan comúnmente como vértices con mallas, no hay correspondencias predeterminadas entre puntos a diferencia de la situación de los puntos de referencia descrita anteriormente. Desde el punto de vista teórico, si bien cualquier subvariedad en , puede parametrizarse en gráficos locales , todas las reparametrizaciones de estos gráficos dan geométricamente la misma variedad. Por lo tanto, desde el principio de la anatomía computacional, los investigadores identificaron la necesidad de representaciones invariantes de parametrización. Un requisito indispensable es que el término de coincidencia del punto final entre dos subvariedades sea independiente de sus parametrizaciones. Esto se puede lograr mediante conceptos y métodos tomados de la teoría de medidas geométricas , en particular corrientes ^[40] y variedades ^[45] que se han utilizado ampliamente para la comparación de curvas y superficies. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle d=1,2,3}$ ${\displaystyle m:u\in U\subset {\mathbb {R} }^{0,1,2,3}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$

Coincidencia de puntos o hitos con correspondencia

Ilustración del flujo geodésico de un punto de referencia, que demuestra el movimiento difeomorfo del espacio de fondo. La flecha roja muestra , la curva azul muestra , la cuadrícula negra muestra ${\displaystyle p_{0}(1)}$ ${\displaystyle \varphi _{t}(x_{1})}$ ${\displaystyle \varphi _{t}}$

Figura que muestra la coincidencia de hitos con correspondencia. Los paneles izquierdo y derecho representan dos núcleos diferentes con soluciones.

Denotada como la forma marcada con punto final , el problema variacional se convierte en ${\displaystyle X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle E(\varphi _{1})\doteq \textstyle \sum _{i}\displaystyle \|\varphi _{1}(x_{i})-x_{i}^{\prime }\|^{2}}$

El momento geodésico euleriano es una función generalizada , sustentada en el conjunto señalado en el problema variacional. La condición de punto final con conservación implica el impulso inicial en la identidad del grupo: ${\displaystyle \displaystyle Av_{t}\in V^{*}\textstyle ,t\in [0,1]}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Endpoint condition: }}&Av_{1}=\sum _{i=1}^{n}p_{1}(i)\delta _{\varphi _{1}(x_{i})},p_{1}(i)=(x_{i}^{\prime }-\varphi _{1}(x_{i}))\ ,\\[5pt]{\text{Conservation: }}&Av_{t}=\sum _{i=1}^{n}p_{t}(i)\delta _{\varphi _{t}(x_{i})},\ p_{t}(i)=(D\varphi _{t1})_{|\varphi _{t}(x_{i})}^{T}p_{1}(i)\ ,\ \varphi _{t1}\doteq \varphi _{1}\circ \varphi _{t}^{-1}\ ,\\[5pt]&Av_{0}=\sum _{i}\delta _{x_{i}}(\cdot )p_{0}(i)\ {\text{ with }}p_{0}(i)=(D\varphi _{1})_{|x_{i}}^{T}(x_{i}^{\prime }-\varphi _{1}(x_{i}))\end{cases}}}$

Se proporciona el algoritmo iterativo para el mapeo métrico difeomorfo de gran deformación para puntos de referencia .

Coincidencia de medidas: puntos de referencia no registrados

Glaunes y sus colaboradores introdujeron por primera vez la coincidencia difeomorfa de conjuntos de puntos en el entorno general de distribuciones coincidentes. ^[121] A diferencia de los puntos de referencia, esto incluye en particular la situación de nubes de puntos ponderados sin correspondencias predefinidas y posiblemente con diferentes cardinalidades. La plantilla y las nubes de puntos discretas objetivo se representan como dos sumas ponderadas de Diracs y viven en el espacio de medidas firmadas de . El espacio está equipado con una métrica de Hilbert obtenida a partir de un núcleo positivo real en , dando la siguiente norma: ${\displaystyle \mu _{m}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}\delta _{x_{i}}}$ ${\displaystyle \mu _{m^{\prime }}=\sum _{i=1}^{n^{\prime }}\rho _{i}^{\prime }\delta _{x_{i}^{\prime }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle k(x,y)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \|\mu _{m}\|_{\mathrm {mea} }^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}\rho _{i}\rho _{j}k(x_{i},x_{j})}$

El problema de coincidencia entre una plantilla y una nube de puntos de destino se puede formular utilizando esta métrica del núcleo para el término de coincidencia de puntos finales:

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|\mu _{\varphi _{1}\cdot m}-\mu _{m^{\prime }}\|_{\mathrm {mea} }^{2}}$

¿Dónde está la distribución transportada por la deformación? ${\displaystyle \mu _{\varphi _{1}\cdot m}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}\delta _{\varphi _{1}(x_{i})}}$

Coincidencia de curvas

En el caso unidimensional, una curva en 3D se puede representar mediante una incrustación y la acción grupal de Diff se convierte en . Sin embargo, la correspondencia entre curvas e incrustaciones no es uno a uno ya que cualquier reparametrización , para un difeomorfismo del intervalo [0,1], representa geométricamente la misma curva. Para preservar esta invariancia en el término de coincidencia del punto final, se pueden considerar varias extensiones del enfoque anterior de coincidencia de medidas de dimensión 0. ${\displaystyle m:u\in [0,1]\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \varphi \cdot m=\varphi \circ m}$ ${\displaystyle m\circ \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

• Coincidencia de curvas con corrientes.

En el caso de curvas orientadas, las corrientes brindan una configuración eficiente para construir términos coincidentes invariantes. En dicha representación, las curvas se interpretan como elementos de un espacio funcional dual a los campos vectoriales espaciales y se comparan a través de normas centrales en estos espacios. Emparejamiento de dos curvas y escrituras eventualmente como problema variacional ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m^{\prime }}$

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

con el punto final el término se obtiene de la norma ${\displaystyle E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}/2}$

${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}K_{C}(m(u),m(v))\partial m(u)\cdot \partial m(v)\,du\,dv}$

siendo la derivada el vector tangente a la curva y un núcleo de matriz dado de . Tales expresiones son invariantes para cualquier reparametrización positiva de y y, por lo tanto, aún dependen de la orientación de las dos curvas. ${\displaystyle \partial m(u)}$ ${\displaystyle K_{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'}$

• Combinación de curvas con variedades

Varifold es una alternativa a las corrientes cuando la orientación se convierte en un problema, como por ejemplo en situaciones que involucran múltiples paquetes de curvas para las cuales no se puede definir una orientación "consistente". Las variantes extienden directamente las medidas de dimensión 0 agregando una dirección espacial tangente adicional a la posición de los puntos, lo que lleva a representar curvas como medidas sobre el producto de y el Grassmanniano de todas las líneas rectas en . El problema de coincidencia entre dos curvas consiste entonces en reemplazar el término de coincidencia del punto final por con diversas normas de la forma: ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {V}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {V}}_{m^{\prime }}\|_{\text{cur}}^{2}/2}$

${\displaystyle \|{\mathcal {V}}_{m}\|_{var}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}k_{\mathbb {R} ^{3}}(m(u),m(v))k_{\mathbf {Gr} }\left([\partial m(u)],[\partial m(v)]\right)\partial m(u){|}\partial m(v){|}\,du\,dv}$

donde es la recta no orientada dirigida por un vector tangente y dos núcleos escalares respectivamente en y el Grassmanniano. Debido a la naturaleza inherente no orientada de la representación Grassmanniana, tales expresiones son invariantes ante las reparametrizaciones positivas y negativas. ${\displaystyle [\partial m(u)]}$ ${\displaystyle \partial m(u)}$ ${\displaystyle k_{\mathbb {R} ^{3}},k_{\mathbf {Gr} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Coincidencia de superficies

La coincidencia de superficies comparte muchas similitudes con el caso de las curvas. Las superficies en están parametrizadas en gráficos locales mediante incrustaciones , siendo todas las reparametrizaciones con un difeomorfismo de U equivalentes geométricamente. También se pueden utilizar corrientes y variedades para formalizar la coincidencia de superficies. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m:u\in U\subset {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m\circ \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

• Coincidencia de superficies con corrientes.

Las superficies orientadas se pueden representar como 2 corrientes que son duales a 2 formas diferenciales. En , se pueden identificar aún más 2 formas con campos vectoriales a través del producto de cuña estándar de vectores 3D. En esa configuración, la coincidencia de superficies escribe nuevamente: ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

con el término del punto final dado a través de la norma ${\displaystyle E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}/2}$

${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}=\iint _{U\times U}K_{C}(m(u),m(v)){\vec {n}}(u)\cdot {\vec {n}}(v)\,du\,dv}$

con el vector normal a la superficie parametrizado por . ${\displaystyle {\vec {n}}=\partial _{u_{1}}m\wedge \partial _{u_{2}}m}$ ${\displaystyle m}$

Este algoritmo de mapeo de superficies ha sido validado para superficies corticales cerebrales frente a CARET y FreeSurfer. ^[122] El mapeo LDDMM para superficies multiescala se analiza en. ^[123]

• Coincidencia de superficies con variedades

Para superficies no orientables o no orientadas, la estructura variada suele ser más adecuada. Identificando la superficie paramétrica con una variedad en el espacio de medidas sobre el producto de y el Grassmanniano, simplemente se reemplaza la métrica actual anterior por: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{m}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

${\displaystyle \|{\mathcal {V}}_{m}\|_{\mathrm {var} }^{2}=\iint _{U\times U}k_{\mathbb {R} ^{3}}(m(u),m(v))k_{\mathbf {Gr} }\left([{\vec {n}}(u)],[{\vec {n}}(v)]\right){|}{\vec {n}}(u){|}{|}{\vec {n}}(v){|}\,du\,dv}$

¿Dónde está la línea (no orientada) dirigida por el vector normal a la superficie? ${\displaystyle [{\vec {n}}(u)]}$

Crecimiento y atrofia a partir de series temporales longitudinales.

Hay muchos entornos en los que hay una serie de mediciones, una serie de tiempo con la que se combinarán y fluirán los sistemas de coordenadas subyacentes. Esto ocurre, por ejemplo, en los modelos dinámicos de crecimiento y atrofia y en el seguimiento del movimiento, como los que se han explorado en ^{[46] [124] [125] [126]} . Se proporciona una secuencia temporal observada y el objetivo es inferir el flujo temporal del cambio geométrico. de coordenadas que llevan a los ejemplares o templarios a través del período de observaciones.

El problema genérico de coincidencia de series de tiempo considera que la serie de tiempos es . El flujo se optimiza en la serie de costos dando problemas de optimización de la forma ${\displaystyle 0<t_{1}<\cdots <t_{K}=1}$ ${\displaystyle E(t_{k}),k=1,\ldots ,K}$

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1},\varphi _{0}=id}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}(Av_{t}\mid v_{t})\,dt+\sum _{k=1}^{K}E(\varphi _{t_{k}})}$.

Hasta ahora se han ofrecido al menos tres soluciones: geodésica por partes, ^[46] geodésica principal ^[126] y splines. ^[127]

El modelo de órbita aleatoria de anatomía computacional.

Órbitas de cerebros asociadas a la acción de grupos difeomórficos en plantillas representadas a través de un flujo suave asociado a flujos geodésicos con pulverización aleatoria asociada a la generación aleatoria del campo vectorial espacial tangente inicial ; publicado en. ^[11] ${\displaystyle v_{0}\in V}$

El modelo de órbita aleatoria de anatomía computacional apareció por primera vez en ^{[128] [129] [130]} modelando el cambio de coordenadas asociado a la aleatoriedad del grupo que actúa sobre las plantillas, lo que induce la aleatoriedad sobre la fuente de imágenes en la órbita anatómica de formas y formas y observaciones resultantes a través de los dispositivos de imágenes médicas. Este modelo de órbita aleatoria en el que la aleatoriedad en el grupo induce aleatoriedad en las imágenes fue examinado por el Grupo Euclidiano Especial para el reconocimiento de objetos. ^[131]

En la figura se muestra una representación de las órbitas aleatorias alrededor de cada ejemplar, generadas al aleatorizar el flujo generando el campo vectorial espacial tangente inicial en la identidad y luego generando un objeto aleatorio . ${\displaystyle m_{0}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle v_{0}\in V}$ ${\displaystyle n\doteq \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m_{0}\in {\mathcal {M}}}$

El modelo de órbita aleatoria induce la priorización de formas e imágenes condicionadas a un atlas particular . Para esto, el modelo generativo genera el campo medio como un cambio aleatorio en las coordenadas de la plantilla según , donde el cambio difeomorfo en las coordenadas se genera aleatoriamente a través de los flujos geodésicos. Las transformaciones aleatorias previas son inducidas por el flujo , y se construyen como un campo aleatorio gaussiano previo . La densidad de los observables aleatorios a la salida del sensor está dada por ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I_{a}\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$ ${\displaystyle \pi _{\text{Diff}}(d\varphi )}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \pi _{V}(dv)}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{D}}$

Figura que muestra la dispersión aleatoria de estructuras subcorticales sintetizadas dispuestas en la cuadrícula bidimensional que representa la varianza de la función propia utilizada para el impulso de síntesis.

${\displaystyle p(I^{D}\mid I_{a})=\int _{V}p(I^{D}\mid \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v)\cdot I_{a})\pi _{V}(dv)\ .}$

En la Figura de la derecha, la órbita de dibujos animados es una pulverización aleatoria de las variedades subcorticales generadas al aleatorizar los campos vectoriales soportados sobre las subvariedades. ${\displaystyle v_{0}}$

El modelo bayesiano de anatomía computacional

Modelo de canal fuente que muestra la fuente de imágenes, la plantilla deformable y la salida del canal asociada con el sensor de resonancia magnética. ${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{\mathrm {temp} }\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$

El modelo estadístico central de la anatomía computacional en el contexto de las imágenes médicas ha sido el modelo de canal fuente de la teoría de Shannon ; ^{[128] [129] [130]} la fuente es la plantilla deformable de imágenes , las salidas del canal son los sensores de imágenes con observables (ver Figura). ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$

Consulte El modelo bayesiano de anatomía computacional para obtener información sobre (i) estimación MAP con múltiples atlas, (ii) segmentación MAP con múltiples atlas, estimación MAP de plantillas de poblaciones.

Teoría estadística de la forma en anatomía computacional.

La forma en anatomía computacional es una teoría local que indexa formas y estructuras en plantillas a las que se asignan biyectivamente. La forma estadística en anatomía computacional es el estudio empírico de correspondencias difeomorfas entre poblaciones y sistemas de coordenadas de plantilla comunes. Esta es una fuerte desviación de los análisis de Procrustes y las teorías de formas iniciadas por David G. Kendall ^[132] en el sentido de que el grupo central de las teorías de Kendall son los grupos de Lie de dimensión finita, mientras que las teorías de la forma en anatomía computacional ^{[133] [134] [135]} se han centrado en el grupo de difeomorfismo, que en primer orden a través del jacobiano puede considerarse como un campo, por lo tanto de dimensión infinita, de grupos de escala y rotaciones de Lie de baja dimensión.

Figura que muestra cientos de estructuras subcorticales incrustadas en un espacio de impulso bidimensional generado a partir de los dos primeros vectores propios de la covarianza empírica estimada a partir de la población de formas.

El modelo de órbita aleatoria proporciona el entorno natural para comprender la forma empírica y las estadísticas de forma dentro de la anatomía computacional, ya que la no linealidad de la ley de probabilidad inducida sobre formas y formas anatómicas se induce mediante la reducción de los campos vectoriales en el espacio tangente en la identidad de el grupo del difeomorfismo. El flujo sucesivo de la ecuación de Euler induce el espacio aleatorio de figuras y formas . ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle v_{0}\in V}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m\in {\mathcal {M}}}$

Realizar estadísticas empíricas en este espacio tangente en la identidad es la forma natural de inducir leyes de probabilidad en las estadísticas de la forma. Dado que tanto los campos vectoriales como el momento euleriano están en un espacio de Hilbert, el modelo natural es uno de un campo aleatorio gaussiano, por lo que dada la función de prueba , los productos internos con las funciones de prueba tienen una distribución gaussiana con media y covarianza. ${\displaystyle Av_{0}}$ ${\displaystyle w\in V}$

Esto se muestra en la figura adjunta, donde las estructuras cerebrales subcorticales se representan en un sistema de coordenadas bidimensional basado en productos internos de sus campos vectoriales iniciales que las generan a partir de la plantilla y se muestra en un lapso bidimensional del espacio de Hilbert.

Estimación de plantilla a partir de poblaciones.

Representación de la estimación de plantilla a partir de superficies subcorticales multiplicadas en poblaciones de imágenes de RM utilizando la solución del algoritmo EM de Ma. ^[136]

El estudio de la forma y las estadísticas de las poblaciones son teorías locales que indexan formas y estructuras a plantillas a las que se asignan biyectivamente. La forma estadística es entonces el estudio de las correspondencias difeomorfas relativas a la plantilla. Una operación central es la generación de plantillas a partir de poblaciones, estimando una forma que coincida con la población. Existen varios métodos importantes para generar plantillas, incluidos métodos basados ​​en el promedio de Frechet , ^[137] y enfoques estadísticos basados ​​en el algoritmo de maximización de expectativas y los modelos de órbita aleatoria de Bayes de anatomía computacional. ^{[136] [138]} En la figura adjunta se muestra una reconstrucción de plantilla subcortical de la población de sujetos de resonancia magnética. ^[139]

Software para mapeo difeomorfo

Los paquetes de software que contienen una variedad de algoritmos de mapeo difeomorfos incluyen los siguientes:

• HORMIGAS ^[65]
• DARTEL ^[66] Morfometría basada en vóxeles
• DEFORMÉTRICA ^[140]
• DEMONIOS ^[67]
• LDDMM ^[68] Mapeo métrico difeomorfo de gran deformación
• LDDMM basado en kernel basado en marcos ^[141]
• EstacionarioLDDMM ^[69]

software en la nube

• MRICloud ^[142]

Ver también

• Estimación bayesiana de plantillas en anatomía computacional.
• Neuroanatomía computacional
• Análisis de datos geométricos.
• Mapeo métrico difeomorfo de gran deformación.
• Análisis de Procusto
• Métrica de Riemann y soporte de Lie en anatomía computacional
• Análisis de forma (desambiguación)
• Análisis estadístico de formas.

Referencias

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