Métrica de Riemann y corchete de Lie en anatomía computacional

Aplicación de la geometría diferencial.

La anatomía computacional (CA) es el estudio de la figura y la forma en imágenes médicas . El estudio de formas deformables en anatomía computacional se basa en grupos de difeomorfismo de alta dimensión que generan órbitas de la forma . En CA, esta órbita se considera en general una variedad de Riemann suave ya que en cada punto de la variedad hay un producto interno que induce la norma en el espacio tangente que varía suavemente de un punto a otro en la variedad de formas . Esto se genera al ver el grupo de difeomorfismos como una variedad de Riemann con , asociada al espacio tangente en . Esto induce la norma y la métrica en la órbita bajo la acción del grupo de difeomorfismos. ${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot m\mid \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{m}}$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\varphi }}$ ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$

El grupo de difeomorfismos generados como flujos lagrangianos y eulerianos

Los difeomorfismos en anatomía computacional se generan para satisfacer la especificación lagrangiana y euleriana de los campos de flujo , generados mediante la ecuación diferencial ordinaria. ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$

con los campos vectoriales eulerianos en for , con el inverso para el flujo dado por ${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle v_{t}={\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

y la matriz jacobiana para flujos se da como ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

Para garantizar flujos fluidos de difeomorfismos con inversa, los campos vectoriales deben ser al menos 1 vez continuamente diferenciables en el espacio ^{[1] [2]} que se modelan como elementos del espacio de Hilbert utilizando los teoremas de incrustación de Sobolev para que cada elemento tenga 3- Por lo tanto, las derivadas integrables al cuadrado implican incrustaciones suaves en funciones únicas y continuamente diferenciables. ^{[1] [2]} El grupo de difeomorfismo son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev: ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

El modelo de órbita de Riemann

Las formas en Anatomía Computacional (CA) se estudian mediante el uso de mapeo difeomorfo para establecer correspondencias entre sistemas de coordenadas anatómicas. En este entorno, las imágenes médicas tridimensionales se modelan como transformaciones difemorficas de algún ejemplar, denominada plantilla , lo que da como resultado que las imágenes observadas sean elementos del modelo de órbita aleatoria de CA. Para las imágenes, estos se definen como , y para los gráficos que representan subvariedades se indican como . ${\displaystyle I_{temp}}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}\doteq \{I=I_{temp}\circ \varphi ,\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot m_{temp}:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$

La métrica de Riemann

La órbita de figuras y formas en Anatomía Computacional se genera por la acción grupal . Esto se convierte en una órbita de Riemann introduciendo una métrica asociada a cada punto y un espacio tangente asociado. Para ello se define una métrica en el grupo que induce la métrica en la órbita. Tome como métrica para Anatomía computacional en cada elemento del espacio tangente en el grupo de difeomorfismos. ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot m:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$ ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle \|{\dot {\varphi }}\|_{\varphi }\doteq \|{\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}\|_{V}=\|v\|_{V}}$,

con los campos vectoriales modelados para estar en un espacio de Hilbert con la norma en el espacio de Hilbert . Modelamos como un espacio de Hilbert de núcleo reproductor (RKHS) definido por un operador diferencial 1-1 . Para una distribución o función generalizada, la forma lineal determina la norma: y el producto interno de acuerdo con ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle \sigma (v)\doteq Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle (\sigma \mid w)\doteq \int _{\mathbb {R} ^{3}}\sum _{i}w_{i}(x)\sigma _{i}(dx)}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle _{V}\doteq \int _{X}Av\cdot w\,dx,\ \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v,w\in V\ .}$

donde la integral se calcula mediante integración por partes para una función generalizada el espacio dual. El operador diferencial se selecciona de modo que el núcleo de Green asociado a la inversa sea lo suficientemente suave como para que los campos vectoriales admitan la derivada 1 continua . ${\displaystyle Av}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$

La métrica invariante por la derecha sobre difeomorfismos

La métrica del grupo de difeomorfismos se define por la distancia definida en pares de elementos en el grupo de difeomorfismos según

Esta distancia proporciona una métrica de difeomorfometría invariante por la derecha, ^{[3] [4] [5]} invariante a la reparametrización del espacio ya que para todos , ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi \circ \varphi ,\varphi \circ \varphi ).}$

El grupo de Lie en el grupo de difeomorfismos

El corchete de Lie da el ajuste del término de velocidad resultante de una perturbación del movimiento en el entorno de espacios curvos. Utilizando el principio de acción mínima de Hamilton se derivan los flujos de optimización como un punto crítico para la integral de acción de la integral de la energía cinética. El corchete de Lie para campos vectoriales en anatomía computacional se introdujo por primera vez en Miller, Trouve y Younes. ^[6] La derivación calcula la perturbación en los campos vectoriales en términos de la derivada en el tiempo de la perturbación del grupo ajustada por la corrección del soporte de Lie de los campos vectoriales en esta configuración de función que involucra la matriz jacobiana, a diferencia del caso del grupo de matrices: ${\displaystyle \delta v}$ ${\displaystyle v^{\varepsilon }=v+\varepsilon \delta v}$

Prueba: demostrar que el corchete de campos vectoriales toma una perturbación de primer orden del flujo en el punto . ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$

Soporte de mentira de campos vectoriales

Tomando la perturbación de primer orden se obtiene , con límite fijo , con , dando las siguientes dos ecuaciones: ${\displaystyle \varphi _{t}^{\varepsilon }\doteq (\operatorname {id} +\varepsilon w)\circ \varphi =\varphi +\varepsilon w\circ \varphi }$ ${\displaystyle w_{0}=w_{1}=0}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{\varepsilon }=v_{t}^{\varepsilon }\circ \varphi _{t}^{\varepsilon },\varphi _{0}^{\varepsilon }=\operatorname {id} ,\varphi _{1}^{\varepsilon }=\varphi _{1}}$

• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{\varepsilon }={\frac {d}{dt}}\varphi _{t}+\varepsilon {\frac {d}{dt}}(w_{t}\circ \varphi _{t})=v_{t}\circ \varphi _{t}+(Dw_{t})\circ \varphi _{t}v_{t}\circ \varphi _{t}+o(\varepsilon )\ .}$
• ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}^{\varepsilon }=(v_{t}+\varepsilon \delta v_{t})\circ (\varphi _{t}+\varepsilon w_{t}\circ \varphi _{t})\simeq v_{t}\circ \varphi _{t}+\varepsilon (Dv_{t})\circ \varphi _{t}w_{t}\circ \varphi _{t}+\delta v_{t}\circ \varphi _{t}+o(\varepsilon )\ .}$

Al equiparar las dos ecuaciones anteriores se obtiene la perturbación del campo vectorial en términos del ajuste del corchete de Lie.

El corchete de Lie da la variación de primer orden del campo vectorial con respecto a la variación de primer orden del flujo.

${\displaystyle \delta v_{t}={\frac {d}{dt}}w_{t}-ad_{v_{t}}(w_{t})={\frac {d}{dt}}w_{t}-((Dv_{t})w_{t}-(Dw_{t})v_{t})\ .}$

La ecuación generalizada de Euler-Lagrange para la métrica de flujos difeomorfos

La ecuación de Euler-Lagrange se puede utilizar para calcular los flujos geodésicos a través del grupo que forma la base de la métrica. La integral de acción para el Lagrangiano de la energía cinética para el principio de Hamilton queda como

La integral de acción en términos del campo vectorial corresponde a integrar la energía cinética

${\displaystyle J(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}^{2}dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\ dt\ .}$

Los caminos más cortos para las conexiones geodésicas en la órbita se definen mediante el Principio de acción mínima de Hamilton que requiere variaciones de primer orden de las soluciones en las órbitas de Anatomía Computacional que se basan en calcular puntos críticos sobre la longitud métrica o energía del camino. La derivación original de la ecuación de Euler ^[7] asociada al flujo geodésico de difeomorfismos explota la ecuación de función generalizada cuando es una distribución, o función generalizada, toma la variación de primer orden de la integral de acción usando el operador adjunto para el corchete de Lie. ( adjoint-Lie-bracket ) proporciona suavidad , ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle w\in V}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\varepsilon }}J(\varphi ^{\varepsilon })|_{\varepsilon =0}=\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \delta v_{t}\,dx\,dt=\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \left({\frac {d}{dt}}w_{t}-((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})\right)\,dx\,dt.}$

Usando el soporte y da ${\displaystyle ad_{v}:w\in V\mapsto V}$ ${\displaystyle ad_{v}^{*}:V^{*}\rightarrow V^{*}}$

significado para todo suave ${\displaystyle w\in V,}$

${\displaystyle \int _{X}\left({\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})\right)\cdot w\,dx=\int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot \left((Dv_{t})w-(Dw)v_{t}\right)\,dx=0.}$

La ecuación ( Euler-general ) es la ecuación de Euler cuando el impulso de forma difeomorfa es una función generalizada. ^[8] Esta ecuación ha sido denominada EPDiff, ecuación de Euler-Poincaré para difeomorfismos y ha sido estudiada en el contexto de la mecánica de fluidos para fluidos incompresibles con sistema métrico. ^{[9] [10]} ${\displaystyle L^{2}}$

Exponencial de Riemann para posicionamiento

En el modelo de órbita aleatoria de anatomía computacional , todo el flujo se reduce a la condición inicial que forma las coordenadas que codifican el difeomorfismo, además de proporcionar los medios para posicionar la información en la órbita. Este fue el primer término para un sistema de posicionamiento geodésico en Miller, Trouve y Younes. ^[4] A partir de la condición inicial , el posicionamiento geodésico con respecto a la métrica de Riemann de anatomía computacional resuelve el flujo de la ecuación de Euler-Lagrange. Resolver la geodésica a partir de la condición inicial se denomina exponencial de Riemann, un mapeo de identidad con el grupo. ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\operatorname {id} }(\cdot ):V\to \operatorname {Diff} _{V}}$

La exponencial de Riemann satisface la condición inicial , dinámica de campo vectorial , ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\operatorname {id} }(v_{0})=\varphi _{1}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{0}=v_{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},t\in [0,1]}$

• para la ecuación clásica sobre la forma difeomorfa, el momento como un vector suave con la ecuación de Euler existe en el sentido clásico como primera derivada para la densidad: ^[11] ${\displaystyle Av_{t}=\mu _{t}\,dx}$ ${\displaystyle \int _{X}\mu _{t}\cdot w\,dx\ ,w\in V}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mu _{t}+(Dv_{t})^{T}\mu _{t}+(D\mu _{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)\mu _{t}=0\ ,\ Av_{t}=\mu _{t}\,dx;}$

• para la ecuación generalizada, , entonces ${\displaystyle Av\in V^{*}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0\ ,\ t\in [0,1]\ .}$

Se hace extensivo a todo el grupo . ${\displaystyle \varphi =\operatorname {Exp} _{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq \operatorname {Exp} _{\operatorname {id} }(v_{0})\circ \varphi }$

El problema de variación para hacer coincidir o registrar información del sistema de coordenadas en anatomía computacional

Hacer coincidir información entre sistemas de coordenadas es fundamental para la anatomía computacional . Agregar un término coincidente a la integral de acción de la ecuación ( integral de acción de Hamilton ) que representa el punto final objetivo ${\displaystyle E:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\rightarrow R^{+}}$

${\displaystyle C(\varphi )\doteq \int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+E(\varphi _{1})\ .}$

El término de punto final agrega una condición de frontera para la ecuación de Euler-Lagrange ( EL-General ) que da la ecuación de Euler con término de frontera. Tomando la variación da

• Condición geodésica necesaria:

${\displaystyle {\begin{cases}&{\dfrac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;\\[4pt]&Av_{1}+{\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi _{1}}}=0\end{cases}}}$

Prueba: ^[11] La prueba mediante cálculo de variación utiliza las perturbaciones anteriores y los argumentos clásicos del cálculo de variación.

Prueba mediante cálculo de variaciones con energía de punto final.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \left({\frac {d}{dt}}\delta \varphi _{t}-(Dv_{t}\delta \varphi _{t}-D\delta \varphi _{t}v_{t})\right)\,dx\,dt+\int _{X}\left({\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi _{1}}}\cdot \delta \varphi _{1}\,dx\right)\\[6pt]={}&-\int _{0}^{1}\int _{X}\left({\frac {dAv_{t}}{dt}}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})\right)\cdot \delta \varphi _{t}\,dx\,dt+\int _{X}\left(Av_{1}+{\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi _{1}}}\right)\cdot \delta \varphi _{1}\,dx.\end{aligned}}}$

Condiciones del punto final geodésico de Euler-Lagrange para la coincidencia de imágenes

Los primeros algoritmos de mapeo métrico difeomorfo de gran deformación ( LDDMM ) resolvieron problemas de coincidencia asociados a imágenes y puntos de referencia registrados. están en espacios vectoriales. La ecuación geodésica que coincide con la imagen satisface la ecuación dinámica clásica con la condición de punto final. Las condiciones necesarias para que la geodésica coincida con imágenes toma la forma de la Ecuación clásica ( EL-Classic ) de Euler-Lagrange con condición de frontera:

${\displaystyle \min _{\varphi :{\dot {\varphi }}=v_{t}\circ \varphi _{t}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+{\frac {1}{2}}\int _{X}|I\circ \varphi _{1}^{-1}(x)-J(x)|^{2}\,dx}$

• Condición geodésica necesaria:

${\displaystyle {\begin{cases}&{\dfrac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;\\[4pt]&Av_{1}=(I\circ \varphi _{1}^{-1}-J)\nabla (I\circ \varphi _{1}^{-1})\end{cases}}}$

Condiciones del punto final geodésico de Euler-Lagrange para la coincidencia de puntos de referencia

El problema de coincidencia de puntos de referencia registrados satisface la ecuación dinámica para funciones generalizadas con condición de punto final:

${\displaystyle \min _{\varphi :{\dot {\varphi }}=v_{t}\circ \varphi _{t}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+{\frac {1}{2}}\sum _{i}(\varphi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (\varphi _{1}(x_{i})-y_{i}).}$

• Condiciones geodésicas necesarias:

${\displaystyle {\begin{cases}&{\dfrac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0\ ,\ t\in [0,1]\ ,\\[4pt]&Av_{1}=\sum _{i=1}^{n}\delta _{\varphi _{1}(x_{i})}(y_{i}-\varphi _{1}(x_{i}))\end{cases}}}$

Prueba: ^[11]

La variación requiere variación de la inversa generaliza la perturbación matricial de la inversa dando ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \varphi }}E(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi ^{-1}}$ ${\displaystyle (\varphi +\varepsilon \delta \varphi \circ \varphi )\circ (\varphi ^{-1}+\varepsilon \delta \varphi ^{-1}\circ \varphi ^{-1})=\operatorname {id} +o(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \delta \varphi ^{-1}\circ \varphi ^{-1}=-(D\varphi _{1}^{-1})\delta \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{d\varepsilon }}{\frac {1}{2}}\left.\int _{X}|I\circ (\varphi ^{-1}+\varepsilon \delta \varphi ^{-1}\circ \varphi ^{-1})-J|^{2}\,dx\right|_{\varepsilon =0}\\[6pt]={}&\int _{X}(I\circ \varphi ^{-1}-J)\nabla I|_{\varphi ^{-1}}(-D\varphi _{1}^{-1})\delta \varphi \,dx\\[6pt]={}&-\int _{X}(I\circ \varphi _{1}^{-1}-J)\nabla (I\circ \varphi _{1}^{-1})\delta \varphi \,dx.\end{aligned}}}$

Referencias

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5. Molinero, Michael I.; Trouvé, Alain; Younes, Laurent (1 de enero de 2015). "Sistemas hamiltonianos y control óptimo en anatomía computacional: 100 años desde D'Arcy Thompson". Revista Anual de Ingeniería Biomédica . 17 (1): 447–509. doi :10.1146/annurev-bioeng-071114-040601. PMID  26643025.
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11. MI Miller, A. Trouve, L Younes, Sobre las métricas y las ecuaciones de Euler-Lagrange de anatomía computacional, Annu. Rev. Biomed. Ing. 2002. 4:375–405 doi :10.1146/annurev.bioeng.4.092101.125733 Copyright °c 2002 por Annual Reviews.