Corchete de Lie de campos vectoriales

Operador en topología diferencial

En el campo matemático de la topología diferencial , el corchete de Lie de campos vectoriales , también conocido como corchete de Jacobi-Lie o conmutador de campos vectoriales , es un operador que asigna a cualesquiera dos campos vectoriales X e Y en una variedad suave M un tercer campo vectorial denotado [ X , Y ] .

Conceptualmente, el corchete de Lie [ X , Y ] es la derivada de Y a lo largo del flujo generado por X y, a veces, se denota como ("derivada de Lie de Y a lo largo de X"). Esto se generaliza a la derivada de Lie de cualquier campo tensorial a lo largo del flujo generado por X . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$

El corchete de Lie es una operación R - bilineal y convierte el conjunto de todos los campos vectoriales suaves en la variedad M en un álgebra de Lie (de dimensión infinita) .

El corchete de Lie juega un papel importante en la geometría diferencial y la topología diferencial , por ejemplo en el teorema de integrabilidad de Frobenius , y también es fundamental en la teoría geométrica de los sistemas de control no lineal . ^[1]

VI Arnold se refiere a esto como la "derivada del pescador", ya que uno puede imaginarse siendo un pescador, sosteniendo una caña de pescar, sentado en un bote. Tanto el bote como el flotador fluyen de acuerdo con el campo vectorial X , y el pescador alarga/encoge y gira la caña de pescar de acuerdo con el campo vectorial Y. El corchete de Lie es la cantidad de arrastre en el flotador de pesca en relación con el agua circundante. ^[2]

Definiciones

Hay tres enfoques conceptualmente diferentes pero equivalentes para definir el corchete de Lie:

Campos vectoriales como derivaciones

Cada campo vectorial suavizado de una variedad M puede considerarse un operador diferencial que actúa sobre funciones suavizadas (donde y de clase ) cuando definimos como otra función cuyo valor en un punto es la derivada direccional de f en p en la dirección X ( p ). De esta manera, cada campo vectorial suavizado X se convierte en una derivación de C ^∞ ( M ). Además, cualquier derivación de C ^∞ ( M ) surge de un único campo vectorial suavizado X . ${\displaystyle X:M\rightarrow TM}$ ${\displaystyle f(p)}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle p}$

En general, el conmutador de dos derivaciones cualesquiera y es nuevamente una derivación, donde denota composición de operadores. Esto se puede utilizar para definir el corchete de Lie como el campo vectorial correspondiente a la derivación del conmutador: ${\displaystyle \delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$ ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))\;\;{\text{ for all }}f\in C^{\infty }(M).}$

Flujos y límites

Sea el flujo asociado al campo vectorial X y sea D el operador de derivada de la función tangente . Entonces, el corchete de Lie de X e Y en el punto x ∈ M se puede definir como la derivada de Lie : ${\displaystyle \Phi _{t}^{X}}$

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ ({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}\ :=\ \lim _{t\to 0}{\frac {(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}\,-\,Y_{x}}{t}}\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}.}$

Esto también mide la falla del flujo en las direcciones sucesivas para regresar al punto x : ${\displaystyle X,Y,-X,-Y}$

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ \left.{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right|_{t=0}(\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X})(x)\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{X})(x).}$

En coordenadas

Aunque las definiciones anteriores del corchete de Lie son intrínsecas (independientes de la elección de coordenadas en la variedad M ), en la práctica, a menudo se desea calcular el corchete en términos de un sistema de coordenadas específico . Escribimos para la base local asociada del fibrado tangente, de modo que se puedan escribir campos vectoriales generales y para funciones suaves . Entonces, el corchete de Lie se puede calcular como: ${\displaystyle \{x^{i}\}}$ ${\displaystyle \partial _{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ ${\displaystyle \textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}\partial _{i}}$ ${\displaystyle \textstyle Y=\sum _{i=1}^{n}Y^{i}\partial _{i}}$ ${\displaystyle X^{i},Y^{i}:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle [X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}.}$

Si M es (un subconjunto abierto de) R ⁿ , entonces los campos vectoriales X e Y pueden escribirse como mapas suaves de la forma y , y el corchete de Lie está dado por: ${\displaystyle X:M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Y:M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle [X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y}$

donde y son matrices jacobianas n × n ( y respectivamente usando notación de índice) que multiplican los vectores columna n × 1 X e Y . ${\displaystyle J_{Y}}$ ${\displaystyle J_{X}}$ ${\displaystyle \partial _{j}Y^{i}}$ ${\displaystyle \partial _{j}X^{i}}$

Propiedades

El corchete de Lie de los campos vectoriales equipa al espacio vectorial real de todos los campos vectoriales en M (es decir, secciones suaves del fibrado tangente ) con la estructura de un álgebra de Lie , lo que significa que [ • , • ] es un mapa con: ${\displaystyle V=\Gamma (TM)}$ ${\displaystyle TM\to M}$ ${\displaystyle V\times V\to V}$

• R - bilinealidad
• Antisimetría, ${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$
• Identidad de Jacobi , ${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.}$

Una consecuencia inmediata de la segunda propiedad es que para cualquier . ${\displaystyle [X,X]=0}$ ${\displaystyle X}$

Además, existe una " regla del producto " para los corchetes de Lie. Dada una función suave (con valores escalares) f en M y un campo vectorial Y en M , obtenemos un nuevo campo vectorial fY multiplicando el vector Y _x por el escalar f ( x ) en cada punto x ∈ M . Entonces:

• ${\displaystyle [X,fY]\ =\ X\!(f)\,Y\,+\,f\,[X,Y],}$

donde multiplicamos la función escalar X ( f ) por el campo vectorial Y , y la función escalar f por el campo vectorial [ X , Y ] . Esto convierte los campos vectoriales con el corchete de Lie en un algebroide de Lie .

La desaparición del corchete de Lie de X e Y significa que seguir los flujos en estas direcciones define una superficie incrustada en M , con X e Y como campos de vectores de coordenadas:

Teorema: si y solo si los flujos de X e Y conmutan localmente, es decir, para todo x ∈ M y s suficientemente pequeño , t . ${\displaystyle [X,Y]=0\,}$ ${\displaystyle (\Phi _{t}^{Y}\Phi _{s}^{X})(x)=(\Phi _{s}^{X}\,\Phi _{t}^{Y})(x)}$

Éste es un caso especial del teorema de integrabilidad de Frobenius .

Ejemplos

Para un grupo de Lie G , el álgebra de Lie correspondiente es el espacio tangente en la identidad , que puede identificarse con el espacio vectorial de campos vectoriales invariantes por la izquierda en G . El corchete de Lie de dos campos vectoriales invariantes por la izquierda también es invariante por la izquierda, lo que define la operación de corchete de Jacobi–Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T_{e}G}$ ${\displaystyle [\,\cdot \,,\,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

Para un grupo de Lie matricial, cuyos elementos son matrices , cada espacio tangente puede representarse como matrices: , donde significa multiplicación de matrices e I es la matriz identidad. El campo vectorial invariante correspondiente a está dado por , y un cálculo muestra que el corchete de Lie en corresponde al conmutador habitual de matrices: ${\displaystyle g\in G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T_{g}G=g\cdot T_{I}G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}=T_{I}G}$ ${\displaystyle X_{g}=g\cdot X\in T_{g}G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [X,Y]\ =\ X\cdot Y-Y\cdot X.}$

Generalizaciones

Como se mencionó anteriormente, la derivada de Lie puede considerarse una generalización del corchete de Lie. Otra generalización del corchete de Lie (a formas diferenciales con valores vectoriales ) es el corchete de Frölicher–Nijenhuis .

Referencias

1. Isaías 2009, págs. 20-21, sistemas no holonómicos ; Khalil 2002, págs. 523-530, linealización de retroalimentación .
2. Arnolʹd, VI; Khesin, Boris A. (1999). Métodos topológicos en hidrodinámica . Ciencias matemáticas aplicadas (Corr. 2.ª edición). Nueva York, Berlín, Heidelberg: Springer. pág. 6. ISBN 978-0-387-94947-5.

• "Corchete de Lie", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Isaiah, Pantelis (2009), "Estacionamiento controlado [Pregunte a los expertos]", IEEE Control Systems Magazine , 29 (3): 17–21, 132, doi :10.1109/MCS.2009.932394, S2CID  42908664
• Khalil, HK (2002), Sistemas no lineales (3.ª ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall , ISBN 0-13-067389-7
• Kolář, I., Michor, P. y Slovák, J. (1993), Operaciones naturales en geometría diferencial, Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-56235-4{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)Amplia discusión de los corchetes de Lie y la teoría general de las derivadas de Lie.
• Lang, S. (1995), Variedades diferenciales y riemannianas , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94338-1Para generalizaciones a dimensiones infinitas.
• Warner, Frank (1983) [1971], Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , Nueva York-Berlín: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90894-3