Función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables

Ecuaciones diferenciales parciales

En física , la función de Green (o solución fundamental ) para el laplaciano (u operador de Laplace) en tres variables se utiliza para describir la respuesta de un tipo particular de sistema físico a una fuente puntual . En particular, esta función de Green surge en sistemas que pueden describirse mediante la ecuación de Poisson , una ecuación diferencial parcial (EDP) de la forma donde es el operador de Laplace en , es el término fuente del sistema y es la solución de la ecuación. Debido a que es un operador diferencial lineal , la solución de un sistema general de este tipo puede escribirse como una integral sobre una distribución de fuente dada por : donde la función de Green para el laplaciano en tres variables describe la respuesta del sistema en el punto a una fuente puntual ubicada en : y la fuente puntual está dada por , la función delta de Dirac . $${\displaystyle \nabla ^{2}u(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )}$$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle u(\mathbf {x} )=\int G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )f(\mathbf {x'} )d\mathbf {x} '}$$ ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x'} }$ $${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$$ ${\displaystyle \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$

Motivación

Un sistema físico de este tipo es una distribución de carga en electrostática . En un sistema de este tipo, el campo eléctrico se expresa como el gradiente negativo del potencial eléctrico y se aplica la ley de Gauss en forma diferencial: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {x} )\\[1ex]{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho (\mathbf {x} )}{\varepsilon _{0}}}\end{aligned}}}$$

Combinando estas expresiones obtenemos la ecuación de Poisson : $${\displaystyle -\mathbf {\nabla } ^{2}\phi (\mathbf {x} )={\frac {\rho (\mathbf {x} )}{\varepsilon _{0}}}}$$

Podemos encontrar la solución de esta ecuación para una distribución de carga arbitraria considerando temporalmente la distribución creada por una carga puntual ubicada en : ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {x'} }$ $${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=q\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$$

En este caso, lo que demuestra que para dará la respuesta del sistema a la carga puntual . Por lo tanto, a partir de la discusión anterior, si podemos encontrar la función de Green de este operador, podemos encontrar que para una distribución de carga general. $${\displaystyle -{\frac {\varepsilon _{0}}{q}}\mathbf {\nabla } ^{2}\phi (\mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$$ ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$ ${\textstyle -{\frac {\varepsilon _{0}}{q}}\nabla ^{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )=\int G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )\,d\mathbf {x} '}$$

Exposición matemática

La función de Green en el espacio libre para el operador de Laplace en tres variables se da en términos de la distancia recíproca entre dos puntos y se conoce como " núcleo de Newton " o " potencial newtoniano ". Es decir, la solución de la ecuación es donde son las coordenadas cartesianas estándar en un espacio tridimensional, y es la función delta de Dirac . $${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$$ $${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)}$ ${\displaystyle \delta }$

La expresión algebraica de la función de Green para el operador de Laplace de tres variables, además del término constante expresado en coordenadas cartesianas, se denominará ${\displaystyle -1/(4\pi )}$ $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\left[\left(x-x'\right)^{2}+\left(y-y'\right)^{2}+\left(z-z'\right)^{2}\right]^{-{1}/{2}}.}$$

Son posibles muchas fórmulas de expansión, dada la expresión algebraica para la función de Green. Una de las más conocidas, la expansión de Laplace para la ecuación de Laplace de tres variables, se da en términos de la función generadora de polinomios de Legendre , que se ha escrito en términos de coordenadas esféricas . La notación menor que (mayor que) significa que se toma el radio esférico con o sin prima, dependiendo de cuál sea menor que (mayor que) el otro. La representa el ángulo entre los dos vectores arbitrarios dados por $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}}P_{l}(\cos \gamma ),}$$ ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$ $${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ').}$$

La función de Green cilíndrica circular de espacio libre (ver abajo) se da en términos de la distancia recíproca entre dos puntos. La expresión se deriva de la Electrodinámica Clásica de Jackson . ^[1] Usando la función de Green para el operador de Laplace de tres variables, uno puede integrar la ecuación de Poisson para determinar la función potencial. Las funciones de Green pueden expandirse en términos de los elementos base (funciones armónicas) que se determinan usando los sistemas de coordenadas separables para la ecuación diferencial parcial lineal . Hay muchas expansiones en términos de funciones especiales para la función de Green. En el caso de un límite puesto en el infinito con la condición de límite que fija la solución en cero en el infinito, entonces uno tiene una función de Green de extensión infinita. Para el operador de Laplace de tres variables, uno puede, por ejemplo, expandirlo en los sistemas de coordenadas rotacionalmente invariantes que permiten la separación de variables . Por ejemplo: donde y es la función de Legendre de grado impar-semicontero de segundo tipo, que es un armónico toroidal. Aquí la expansión se ha escrito en términos de coordenadas cilíndricas . Véase, por ejemplo, coordenadas toroidales . $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\frac {1}{\pi {\sqrt {RR'}}}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{im(\varphi -\varphi ')}Q_{m-{\frac {1}{2}}}(\chi )}$$ $${\displaystyle \chi ={\frac {R^{2}+{R'}^{2}+\left(z-z'\right)^{2}}{2RR'}}}$$ ${\displaystyle Q_{m-{\frac {1}{2}}}(\chi )}$ ${\displaystyle (R,\varphi ,z)}$

Utilizando una de las fórmulas de Whipple para armónicos toroidales podemos obtener una forma alternativa de la función de Green en términos de un armónico toroidal del primer tipo. $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\sqrt {\frac {\pi }{2RR'(\chi ^{2}-1)^{1/2}}}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{m}}{\Gamma (m+1/2)}}P_{-{\frac {1}{2}}}^{m}{\left({\frac {\chi }{\sqrt {\chi ^{2}-1}}}\right)}e^{im(\varphi -\varphi ')}}$$

Esta fórmula se utilizó en 1999 para aplicaciones astrofísicas en un artículo publicado en The Astrophysical Journal , publicado por Howard Cohl y Joel Tohline. ^[2] La fórmula mencionada anteriormente también es conocida en la comunidad de ingeniería. Por ejemplo, un artículo escrito en el Journal of Applied Physics en el volumen 18, 1947 páginas 562-577 muestra que NG De Bruijn y CJ Boukamp conocían la relación anterior. De hecho, prácticamente todas las matemáticas que se encuentran en artículos recientes ya fueron realizadas por Chester Snow. Esto se encuentra en su libro titulado Hypergeometric and Legendre Functions with Applications to Integral Equations of Potential Theory , National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 19, 1952. Busque específicamente en las páginas 228-263. El artículo de Chester Snow, "Magnetic Fields of Cylindrical Coils and Annular Coils" (National Bureau of Standards, Applied Mathematical Series 38, 30 de diciembre de 1953), muestra claramente la relación entre la función de Green en el espacio libre en coordenadas cilíndricas y la expresión de la función Q. Asimismo, véase otro de los trabajos de Snow, titulado "Formulas for Computing Capacitance and Inductance", National Bureau of Standards Circular 544, 10 de septiembre de 1954, pp 13-41. De hecho, no se ha publicado mucho recientemente sobre el tema de las funciones toroidales y sus aplicaciones en ingeniería o física. Sin embargo, existen varias aplicaciones de ingeniería. Se publicó una aplicación; El artículo fue escrito por JP Selvaggi, S. Salon, O. Kwon y MVK Chari, "Calculating the External Magnetic Field From Permanent Magnets in Permanent-Magnet Motors-An Alternative Method", IEEE Transactions on Magnetics, vol. 40, n.º 5, septiembre de 2004. Estos autores han realizado un trabajo extenso con funciones de Legendre de segundo tipo y funciones toroidales o de grado semiintegral de orden cero. Han resuelto numerosos problemas que presentan simetría cilíndrica circular empleando las funciones toroidales.

Las expresiones anteriores para la función de Green para el operador de Laplace de tres variables son ejemplos de expresiones de suma simple para esta función de Green. También hay expresiones de una sola integral para esta función de Green. Se puede ver que existen ejemplos de estas en coordenadas cilíndricas rotacionales como una transformada integral de Laplace en la diferencia de alturas verticales cuyo núcleo se da en términos de la función de Bessel de orden cero de primera especie como donde son las variables mayor (menor) y . De manera similar, la función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables se puede dar como una transformada integral del coseno de Fourier de la diferencia de alturas verticales cuyo núcleo se da en términos de la función de Bessel modificada de orden cero de segunda especie como $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\int _{0}^{\infty }J_{0}{\left(k{\sqrt {R^{2}+{R'}^{2}-2RR'\cos(\varphi -\varphi ')}}\right)}e^{-k(z_{>}-z_{<})}\,dk,}$$ ${\displaystyle z_{>}(z_{<})}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }K_{0}{\left(k{\sqrt {R^{2}+{R'}^{2}-2RR'\cos(\varphi -\varphi ')}}\right)}\cos[k(z-z')]\,dk.}$$

Funciones de Green invariantes rotacionalmente para el operador de Laplace de tres variables

Las expansiones de la función de Green existen en todos los sistemas de coordenadas rotacionalmente invariantes que se sabe que producen soluciones a la ecuación de Laplace de tres variables a través de la técnica de separación de variables.

• coordenadas cilíndricas
• coordenadas esféricas
• Coordenadas esferoidales alargadas
• Coordenadas esferoidales oblatas
• Coordenadas parabólicas
• Coordenadas toroidales
• Coordenadas bisféricas
• Coordenadas de ciclidos de anillo plano
• Coordenadas del ciclado de disco plano
• Coordenadas del biciclo
• Coordenadas del cap-cicluro

Véase también

• Potencial newtoniano
• Expansión de Laplace

Referencias

1. Jackson. Electrodinámica clásica (3.ª ed.). págs. 125–127.
2. Cohl, Howard S.; Tohline, Joel E. (10 de diciembre de 1999). "Una expansión compacta y cilíndrica de la función de Green para la solución de problemas potenciales". The Astrophysical Journal . 527 (1): 86–101. doi :10.1086/308062. ISSN  0004-637X.