Cambio de base

Cambio de coordenadas en álgebra lineal.

En matemáticas , una base ordenada de un espacio vectorial de dimensión finita n permite representar de forma única cualquier elemento del espacio vectorial mediante un vector de coordenadas , que es una secuencia de n escalares llamados coordenadas . Si se consideran dos bases diferentes, el vector de coordenadas que representa un vector v en una base es, en general, diferente del vector de coordenadas que representa v en la otra base. Un cambio de base consiste en convertir toda afirmación expresada en términos de coordenadas relativas a una base en una afirmación expresada en términos de coordenadas relativas a la otra base. ^{[1] [2] [3]}

Esta conversión resulta de la fórmula de cambio de base que expresa las coordenadas relativas a una base en términos de coordenadas relativas a la otra base. Usando matrices , esta fórmula se puede escribir

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }=A\,\mathbf {x} _{\mathrm {new} },}$

donde "viejo" y "nuevo" se refieren respectivamente a la primera base definida y a la otra base, y son los vectores columna de las coordenadas del mismo vector en las dos bases, y es la matriz de cambio de base (también llamada transición matriz ), que es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los nuevos vectores base sobre la base anterior. ${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {new} }}$ ${\displaystyle A}$

Este artículo trata principalmente de espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, muchos de los principios también son válidos para espacios vectoriales de dimensión infinita.

Fórmula de cambio de base

Sea una base de un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un campo F . ^[a] ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$

Para j = 1, ..., n , se puede definir un vector w _j por sus coordenadas sobre ${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }\colon }$

${\displaystyle w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}.}$

Dejar

${\displaystyle A=\left(a_{i,j}\right)_{i,j}}$

ser la matriz cuya j- ésima columna está formada por las coordenadas de w _j . (Aquí y en lo que sigue, el índice i siempre se refiere a las filas de A y mientras que el índice j siempre se refiere a las columnas de A y dicha convención es útil para evitar errores en cálculos explícitos). ${\displaystyle v_{i},}$ ${\displaystyle w_{j};}$

Establecer uno es una base de V si y sólo si la matriz A es invertible , o equivalentemente si tiene un determinante distinto de cero . En este caso, se dice que A es la matriz de cambio de base de base a base ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }=(w_{1},\ldots ,w_{n}),}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }.}$

Dado un vector, sean las coordenadas de over y sus coordenadas over que son ${\displaystyle z\in V,}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} },}$ ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} };}$

${\displaystyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}.}$

(Se podría tomar el mismo índice de suma para las dos sumas, pero elegir sistemáticamente los índices i para la base anterior y j para la nueva aclara las fórmulas que siguen y ayuda a evitar errores en las pruebas y cálculos explícitos).

La fórmula de cambio de base expresa las coordenadas sobre la base anterior en términos de las coordenadas sobre la nueva base. Con la notación anterior, es

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$

En términos de matrices, la fórmula de cambio de base es

${\displaystyle \mathbf {x} =A\,\mathbf {y} ,}$

donde y son los vectores columna de las coordenadas de z sobre y respectivamente. ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} },}$

Prueba: Usando la definición anterior de la matriz de cambio de base, se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)v_{i}.\end{aligned}}}$

Como la fórmula de cambio de base resulta de la unicidad de la descomposición de un vector sobre una base. ${\displaystyle z=\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i},}$

Ejemplo

Considere el espacio vectorial euclidiano. Su base estándar consta de los vectores y. Si uno los gira en un ángulo de t , se obtiene una nueva base formada por y ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle v_{1}=(1,0)}$ ${\displaystyle v_{2}=(0,1).}$ ${\displaystyle w_{1}=(\cos t,\sin t)}$ ${\displaystyle w_{2}=(-\sin t,\cos t).}$

Entonces, la matriz de cambio de base es ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}.}$

La fórmula de cambio de base afirma que, si son las nuevas coordenadas de un vector, entonces se tiene ${\displaystyle y_{1},y_{2}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2}),}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.}$

Eso es,

${\displaystyle x_{1}=y_{1}\cos t-y_{2}\sin t\qquad {\text{and}}\qquad x_{2}=y_{1}\sin t+y_{2}\cos t.}$

Esto puede verificarse escribiendo

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}&=(y_{1}\cos t-y_{2}\sin t)v_{1}+(y_{1}\sin t+y_{2}\cos t)v_{2}\\&=y_{1}(\cos(t)v_{1}+\sin(t)v_{2})+y_{2}(-\sin(t)v_{1}+\cos(t)v_{2})\\&=y_{1}w_{1}+y_{2}w_{2}.\end{aligned}}}$

En términos de mapas lineales.

Normalmente, una matriz representa un mapa lineal , y el producto de una matriz y un vector columna representa la aplicación de la función del mapa lineal correspondiente al vector cuyas coordenadas forman el vector columna. La fórmula de cambio de base es un caso específico de este principio general, aunque esto no queda inmediatamente claro a partir de su definición y demostración.

Cuando se dice que una matriz representa una aplicación lineal, se hace referencia implícitamente a las bases de los espacios vectoriales implícitos y al hecho de que la elección de una base induce un isomorfismo entre un espacio vectorial y F ⁿ , donde F es el campo de los escalares. Cuando sólo se considera una base para cada espacio vectorial, vale la pena dejar este isomorfismo implícito y llegar a un isomorfismo. Como aquí se consideran varias bases del mismo espacio vectorial, se requiere una redacción más precisa.

Sea F un campo , el conjunto de las n -tuplas es un F -espacio vectorial cuya suma y multiplicación escalar se definen por componentes. Su base estándar es la base que tiene como i ésimo elemento la tupla con todos los componentes iguales a 0 excepto el i ésimo que es 1 . ${\displaystyle F^{n}}$

Una base de un F -espacio vectorial V define un isomorfismo lineal por ${\displaystyle B=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle \phi \colon F^{n}\to V}$

${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}.}$

Por el contrario, tal isomorfismo lineal define una base, que es la imagen de la base estándar de ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle F^{n}.}$

Sea la "vieja base" de un cambio de base y el isomorfismo asociado. Dada una matriz de cambio de base A , se podría considerarla la matriz de un endomorfismo de Finalmente, defina ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle \psi _{A}}$ ${\displaystyle F^{n}.}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}}$

(donde denota composición de funciones ), y ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle B_{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {new} }(\phi _{\mathrm {old} }^{-1}(B_{\mathrm {old} })).}$

Una simple comprobación muestra que esta definición de es la misma que la del apartado anterior. ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$

Ahora, al componer la ecuación con a la izquierda y a la derecha, se obtiene ${\displaystyle \phi _{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }^{-1}}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {new} }^{-1}}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }^{-1}=\psi _{A}\circ \phi _{\mathrm {new} }^{-1}.}$

De ello se deduce que, porque uno tiene ${\displaystyle v\in V,}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }^{-1}(v)=\psi _{A}(\phi _{\mathrm {new} }^{-1}(v)),}$

que es la fórmula de cambio de base expresada en términos de mapas lineales en lugar de coordenadas.

Función definida en un espacio vectorial

Una función que tiene un espacio vectorial como dominio se especifica comúnmente como una función multivariada cuyas variables son las coordenadas sobre alguna base del vector sobre el que se aplica la función .

Cuando se cambia la base, se cambia la expresión de la función. Este cambio se puede calcular sustituyendo las coordenadas "antiguas" por sus expresiones en términos de las coordenadas "nuevas". Más precisamente, si f ( x ) es la expresión de la función en términos de las coordenadas antiguas, y si x = Ay es la fórmula de cambio de base, entonces f ( Ay ) es la expresión de la misma función en términos de las nuevas coordenadas.

El hecho de que la fórmula de cambio de base exprese las antiguas coordenadas en términos de la nueva puede parecer antinatural, pero parece útil, ya que aquí no se necesita inversión de matriz .

Como la fórmula de cambio de base involucra solo funciones lineales , muchas propiedades de la función se mantienen mediante un cambio de base. Esto permite definir estas propiedades como propiedades de funciones de un vector variable que no están relacionadas con ninguna base específica. Entonces, una función cuyo dominio es un espacio vectorial o un subconjunto del mismo es

• una función lineal,
• una función polinómica ,
• una función continua ,
• una función diferenciable ,
• una función suave ,
• una función analítica ,

si la función multivariada que lo representa sobre alguna base (y por tanto sobre todas las bases) tiene la misma propiedad.

Esto es especialmente útil en la teoría de variedades , ya que permite extender los conceptos de funciones continuas, diferenciables, suaves y analíticas a funciones que se definen en una variedad.

mapas lineales

Considere un mapa lineal T : W → V desde un espacio vectorial W de dimensión n a un espacio vectorial V de dimensión m . Está representado en bases "antiguas" de V y W mediante una matriz m × n M. Un cambio de bases se define mediante una matriz de cambio de base de m × m P para V y una matriz de cambio de base de n × n Q para W.

En las "nuevas" bases, la matriz de T es

${\displaystyle P^{-1}MQ.}$

Ésta es una consecuencia directa de la fórmula del cambio de base.

Endomorfismos

Los endomorfismos , son aplicaciones lineales de un espacio vectorial V a sí mismo. Para un cambio de base se aplica la fórmula del apartado anterior, con la misma matriz de cambio de base en ambos lados de la fórmula. Es decir, si M es la matriz cuadrada de un endomorfismo de V sobre una base "antigua" y P es una matriz de cambio de base, entonces la matriz del endomorfismo sobre la base "nueva" es

${\displaystyle P^{-1}MP.}$

Como toda matriz invertible puede usarse como matriz de cambio de base, esto implica que dos matrices son similares si y sólo si representan el mismo endomorfismo en dos bases diferentes.

Formas bilineales

Una forma bilineal en un espacio vectorial V sobre un campo F es una función V × V → F que es lineal en ambos argumentos. Es decir, B  : V × V → F es bilineal si los mapas y son lineales para cada punto fijo ${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$ ${\displaystyle v\mapsto B(w,v)}$ ${\displaystyle w\in V.}$

La matriz B de una forma bilineal B sobre una base (la base "antigua" en lo que sigue) es la matriz cuya entrada de la i -ésima fila y j -ésima columna es B ( i , j ) . De ello se deduce que si v y w son los vectores columna de las coordenadas de dos vectores v y w , se tiene ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$

${\displaystyle B(v,w)=\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \mathbf {w} ,}$

donde denota la transpuesta de la matriz v . ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}$

Si P es una matriz de cambio de base, entonces un cálculo sencillo muestra que la matriz de la forma bilineal sobre la nueva base es

${\displaystyle P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P.}$

Una forma bilineal simétrica es una forma bilineal B tal que para cada v y w en V . De ello se deduce que la matriz de B sobre cualquier base es simétrica . Esto implica que la propiedad de ser una matriz simétrica debe mantenerse mediante la fórmula de cambio de base anterior. También se puede comprobar esto observando que la transpuesta de un producto matricial es el producto de las transpuestas calculadas en orden inverso. En particular, ${\displaystyle B(v,w)=B(w,v)}$

${\displaystyle (P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P)^{\mathsf {T}}=P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}P,}$

y los dos miembros de esta ecuación son iguales si la matriz B es simétrica. ${\displaystyle P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P}$

Si la característica del campo terrestre F no es dos, entonces para cada forma bilineal simétrica hay una base para la cual la matriz es diagonal . Además, las entradas resultantes distintas de cero en la diagonal se definen hasta la multiplicación por un cuadrado. Entonces, si el campo básico es el campo de los números reales , estas entradas distintas de cero se pueden elegir para que sean 1 o –1 . La ley de inercia de Sylvester es un teorema que afirma que los números de 1 y de –1 dependen sólo de la forma bilineal y no del cambio de base. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Las formas bilineales simétricas sobre los reales se encuentran a menudo en geometría y física , típicamente en el estudio de cuádricas y de la inercia de un cuerpo rígido . En estos casos, las bases ortonormales son especialmente útiles; esto significa que generalmente se prefiere restringir los cambios de base a aquellos que tienen una matriz de cambio de base ortogonal , es decir, una matriz tal que Tales matrices tienen la propiedad fundamental de que la fórmula de cambio de base es la misma para una forma bilineal simétrica y el endomorfismo que está representado por la misma matriz simétrica. El teorema espectral afirma que, dada una matriz simétrica, hay un cambio de base ortogonal tal que la matriz resultante (tanto de la forma bilineal como del endomorfismo) es una matriz diagonal con los valores propios de la matriz inicial en la diagonal. De ello se deduce que, sobre los reales, si la matriz de un endomorfismo es simétrica, entonces es diagonalizable . ${\displaystyle P^{\mathsf {T}}=P^{-1}.}$

Ver también

• Transformación activa y pasiva
• Covarianza y contravarianza de vectores.
• Transformada integral , el análogo continuo del cambio de base.

Notas

1. Aunque una base generalmente se define como un conjunto de vectores (por ejemplo, como un conjunto generador que es linealmente independiente), la notación de tupla es conveniente aquí, ya que la indexación por los primeros números enteros positivos hace que la base sea una base ordenada .

Referencias

1. Antón (1987, págs. 221-237)
2. Beauregard y Fraleigh (1973, págs. 240-243)
3. Nering (1970, págs. 50-52)

Bibliografía

• Anton, Howard (1987), Álgebra lineal elemental (5ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
• Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2ª ed.), Nueva York: Wiley , LCCN  76091646

enlaces externos

• Conferencia de álgebra lineal del MIT sobre cambio de base, del MIT OpenCourseWare
• Conferencia de Khan Academy sobre el cambio de base, de Khan Academy