Acciones grupales en anatomía computacional.

Las acciones grupales son fundamentales para la geometría de Riemann y la definición de órbitas (teoría del control) . Las órbitas de la anatomía computacional constan de formas anatómicas e imágenes médicas ; las formas anatómicas son subvariedades de geometría diferencial que constan de puntos, curvas, superficies y subvolúmenes. Esto generalizó las ideas de las órbitas más familiares del álgebra lineal, que son espacios vectoriales lineales . Las imágenes médicas son imágenes escalares y tensoriales procedentes de imágenes médicas . Las acciones grupales se utilizan para definir modelos de forma humana que se adaptan a la variación. Estas órbitas son plantillas deformables tal como se formularon originalmente de manera más abstracta en la teoría de patrones .

El modelo orbital de anatomía computacional.

El modelo central de la anatomía humana en anatomía computacional es un grupo y acción grupal , una formulación clásica de la geometría diferencial . La órbita se llama espacio de figuras y formas . ^[1] Se denota el espacio de las formas , con el grupo con ley de composición ; se denota la acción del grupo sobre las formas , donde la acción del grupo se define para satisfacer ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {G}},\circ )}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle g\cdot m}$ ${\displaystyle g\cdot m\in {\mathcal {M}},m\in {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle (g\circ g^{\prime })\cdot m=g\cdot (g^{\prime }\cdot m)\in {\mathcal {M}}.}$

La órbita de la plantilla se convierte en el espacio de todas las formas . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{m=g\cdot m_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}\}}$

Varias acciones grupales en anatomía computacional.

El grupo central en CA definido en volúmenes en es el grupo de difeomorfismo que son asignaciones con 3 componentes , ley de composición de funciones , con inversa . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\doteq \mathrm {Diff} }$ ${\displaystyle \phi (\cdot )=(\phi _{1}(\cdot ),\phi _{2}(\cdot ),\phi _{3}(\cdot ))}$ ${\displaystyle \phi \circ \phi ^{\prime }(\cdot )\doteq \phi (\phi ^{\prime }(\cdot ))}$ ${\displaystyle \phi \circ \phi ^{-1}(\cdot )=\phi (\phi ^{-1}(\cdot ))=\operatorname {id} }$

Subvariedades: órganos, estructuras subcorticales, gráficos e inmersiones.

Para subvariedades , parametrizadas por un gráfico o inmersión , la acción difeomorfa el flujo de la posición ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$

${\displaystyle \phi \cdot m(u)\doteq \phi \circ m(u),u\in U}$.

Imágenes escalares como MRI, CT, PET

Las más populares son las imágenes escalares, con acción a la derecha a través de la inversa. ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \phi \cdot I(x)=I\circ \phi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$.

Tangentes orientadas en curvas, vectores propios de matrices tensoriales

Se utilizan muchas modalidades de imágenes diferentes con diversas acciones. Para imágenes que son un vector tridimensional, entonces ${\displaystyle I(x)}$

${\displaystyle \varphi \cdot I=((D\varphi )\,I)\circ \varphi ^{-1},}$

${\displaystyle \varphi \star I=((D\varphi ^{T})^{-1}I)\circ \varphi ^{-1}}$

Matrices tensoriales

Cao et al. ^[2] examinaron acciones para mapear imágenes de resonancia magnética medidas mediante imágenes con tensor de difusión y representadas mediante su vector propio principal. Para campos tensoriales, una base ortonormal orientada positivamente , denominada marcos, el producto vectorial vectorial se denota entonces ${\displaystyle I(x)=(I_{1}(x),I_{2}(x),I_{3}(x))}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle I_{1}\times I_{2}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I=\left({\frac {D\varphi I_{1}}{\|D\varphi \,I_{1}\|}},{\frac {(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\times D\varphi \,I_{1}}{\|(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\times D\varphi \,I_{1}\|}},{\frac {(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}}{\|(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\|}}\right)\circ \varphi ^{-1}\ ,}$

El marco de Frénet de tres vectores ortonormales, se deforma como una tangente, se deforma como una normal al plano generado por , y . H está únicamente restringido porque la base es positiva y ortonormal. ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{3}}$ ${\displaystyle I_{1}\times I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$

Para matrices simétricas no negativas, una acción sería . ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \varphi \cdot I=(D\varphi \,ID\varphi ^{T})\circ \varphi ^{-1}}$

Para mapear imágenes MRI DTI ^{[3] [4]} (tensores), los valores propios se conservan con el difeomorfismo que gira los vectores propios y conserva los valores propios. Dados los elementos propios , entonces la acción se convierte en ${\displaystyle \{\lambda _{i},e_{i},i=1,2,3\}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I\doteq (\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{1}={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,{\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},(D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\|D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},(D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}\|}}\ ,\ {\hat {e}}_{3}\doteq {\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\ .}$

Función de distribución de orientación y alta resolución angular HARDI

La función de distribución de orientación (ODF) caracteriza el perfil angular de la función de densidad de probabilidad de difusión de las moléculas de agua y puede reconstruirse a partir de imágenes de difusión de alta resolución angular (HARDI). La ODF es una función de densidad de probabilidad definida en una esfera unitaria, . En el campo de la geometría de la información , ^[5] el espacio de ODF forma una variedad de Riemann con la métrica de Fisher-Rao. Para el mapeo LDDMM ODF, se elige la representación de raíz cuadrada porque es una de las representaciones más eficientes encontradas hasta la fecha, ya que las diversas operaciones de Riemann, como geodésicas, mapas exponenciales y mapas de logaritmos, están disponibles en forma cerrada. A continuación, indique ODF de raíz cuadrada ( ) como , donde no es negativo para garantizar la unicidad y . ${\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1}$

Denota transformación difeomorfa como . La acción grupal del difeomorfismo sobre , , necesita garantizar la no negatividad y . Según la derivación en ^[6] , esta acción de grupo se define como ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \phi \cdot \psi }$ ${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\phi \cdot \psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(D\phi )\psi \circ \phi ^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi ^{-1}(x)\right),\end{aligned}}}$

¿Dónde está el jacobiano de ? ${\displaystyle (D\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$

Referencias

1. Molinero, Michael I.; Younes, Laurent; Trouvé, Alain (1 de marzo de 2014). "Sistemas de difeomorfometría y posicionamiento geodésico para la anatomía humana". Tecnología . 2 (1): 36. doi :10.1142/S2339547814500010. ISSN  2339-5478. PMC  4041578 . PMID  24904924.
2. Cao Y1, Miller MI, Winslow RL, Younes, Mapeo métrico difeomorfo de gran deformación de campos vectoriales. Imágenes IEEE Trans Med. 2005 septiembre;24(9):1216-30.
3. Alejandro, CC; Pierpaoli, C.; Basser, PJ; Vaya, JC (1 de noviembre de 2001). "Transformaciones espaciales de imágenes de resonancia magnética con tensor de difusión" (PDF) . Transacciones IEEE sobre imágenes médicas . 20 (11): 1131-1139. doi : 10.1109/42.963816. ISSN  0278-0062. PMID  11700739. S2CID  6559551.
4. Cao, Yan; Molinero, Michael I.; Mori, Susumu; Winslow, Raimond L.; Younes, Laurent (5 de julio de 2006). "Coincidencia difeomorfa de imágenes de tensor de difusión". 2006 Conferencia sobre Visión por Computador y Taller de Reconocimiento de Patrones (CVPRW'06) . vol. 2006. pág. 67. doi :10.1109/CVPRW.2006.65. ISBN 978-0-7695-2646-1. ISSN  1063-6919. PMC  2920614 . PMID  20711423.
5. Amari, S (1985). Métodos Geométricos Diferenciales en Estadística . Saltador.
6. Du, J; Dios, A; Qiu, A (2012). "Mapeo métrico difeomórfico de imágenes de difusión de alta resolución angular basado en la estructura de Riemann de funciones de distribución de orientación". Imágenes IEEE Trans Med . 31 (5): 1021-1033. doi :10.1109/TMI.2011.2178253. PMID  22156979. S2CID  11533837.