Estimación bayesiana de plantillas en anatomía computacional.

El análisis estadístico de formas y la teoría estadística de formas en anatomía computacional (CA) se realizan en relación con plantillas, por lo que es una teoría local de estadísticas sobre formas. La estimación de plantillas en anatomía computacional a partir de poblaciones de observaciones es una operación fundamental omnipresente en la disciplina. Han surgido varios métodos para la estimación de plantillas basados ​​en la probabilidad bayesiana y las estadísticas en el modelo de órbita aleatoria de CA para subvariedades ^{[1] [2]} y volúmenes de imágenes densos. ^[3]

El modelo de plantilla deformable de figuras y formas a través de acciones grupales difeomorfas.

El álgebra lineal es una de las herramientas centrales de la ingeniería moderna. Central para el álgebra lineal es la noción de una órbita de vectores, con las matrices formando grupos (matrices con inversas e identidad) que actúan sobre los vectores. En álgebra lineal, las ecuaciones que describen los elementos de la órbita, los vectores, son lineales en los vectores sobre los que actúan las matrices. En anatomía computacional, el espacio de todas las figuras y formas se modela como una órbita similar a los vectores en álgebra lineal, sin embargo, los grupos no actúan linealmente como lo hacen las matrices, y las figuras y formas no son aditivas. En anatomía computacional, la suma es esencialmente reemplazada por la ley de composición.

El grupo central que actúa CA definido en los volúmenes son los difeomorfismos que son asignaciones con 3 componentes , ley de composición de funciones , con inversa . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\doteq Diff}$ ${\displaystyle \phi (\cdot )=(\phi _{1}(\cdot ),\phi _{2}(\cdot ),\phi _{3}(\cdot ))}$ ${\displaystyle \phi \circ \phi ^{\prime }(\cdot )\doteq \phi (\phi ^{\prime }(\cdot ))}$ ${\displaystyle \phi \circ \phi ^{-1}(\cdot )=\phi (\phi ^{-1}(\cdot ))=id}$

Los grupos y el grupo están familiarizados con la comunidad de ingeniería con la popularización y estandarización universal del álgebra lineal como modelo básico.

Una acción grupal popular es en imágenes escalares, con acción a la derecha a través de la inversa. ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \phi \cdot I(x)=I\circ \phi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}.}$

Para subvariedades , parametrizadas por un gráfico o inmersión , la acción difeomorfa el flujo de la posición ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$

${\displaystyle \phi \cdot m(u)\doteq \phi \circ m(u),u\in U.}$

Se han definido varias acciones grupales en anatomía computacional .

Posicionamiento geodésico mediante la exponencial de Riemann

Para el estudio de la forma deformable en CA, se ha elegido un grupo de difeomorfismo más general, que es el análogo de dimensión infinita. Los grupos de difeomorfismo de alta dimensión utilizados en anatomía computacional se generan mediante flujos suaves que satisfacen la especificación lagrangiana y euleriana de los campos de flujo que satisfacen la ecuación diferencial ordinaria: ${\displaystyle \phi _{t},t\in [0,1]}$

Mostrando el flujo lagrangiano de coordenadas con campos vectoriales asociados que satisfacen la ecuación diferencial ordinaria . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}(\phi _{t}),\phi _{0}=id}$

con los campos vectoriales activados se denomina velocidad euleriana de las partículas en la posición del flujo. Los campos vectoriales son funciones en un espacio funcional, modelado como un espacio de Hilbert suave en el que los campos vectoriales tienen una derivada 1 continua. Para , con la inversa para el flujo dada por ${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle v_{t}={\dot {\phi }}_{t}\circ \phi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

y la matriz jacobiana para flujos se da como ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \ D\phi \doteq \left({\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

Los flujos se introdujeron por primera vez ^{[4] [5]} para grandes deformaciones en la comparación de imágenes; es la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo . con los campos vectoriales denominados velocidad euleriana de las partículas en la posición del flujo. El enfoque de modelado utilizado en CA impone una condición de diferenciabilidad continua en los campos vectoriales modelando el espacio de los campos vectoriales como un espacio de Hilbert del núcleo reproductor (RKHS), con la norma definida por un operador diferencial 1-1 , el inverso de Green . La norma según dónde para una función o distribución generalizada, entonces . Dado que es un operador diferencial, la finitud de la norma cuadrada incluye derivadas del operador diferencial que implican suavidad de los campos vectoriales. ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle K=A^{-1}}$ ${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot vdx,v\in V,}$ ${\displaystyle \sigma (v)\doteq Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle (\sigma \mid w)\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\sum _{i}w_{i}(x)\sigma _{i}(dx)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \int _{X}Av\cdot vdx<\infty }$

Para garantizar flujos fluidos de difeomorfismos con inversa, los campos vectoriales deben ser al menos 1 vez continuamente diferenciables en el espacio ^{[6] [7]} que se modelan como elementos del espacio de Hilbert utilizando los teoremas de incrustación de Sobolev para que cada elemento tenga 3- derivadas integrables al cuadrado. Por lo tanto, incorpore suavemente funciones diferenciables continuamente una vez. ^{[6] [7]} El grupo de difeomorfismo son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev: ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

El modelo Bayes de anatomía computacional.

El modelo estadístico central de la anatomía computacional en el contexto de las imágenes médicas es el modelo de canal fuente de la teoría de Shannon ; ^{[8] [9] [10]} la fuente es la plantilla deformable de imágenes , las salidas del canal son los sensores de imágenes con observables . La variación en las configuraciones anatómicas se modela por separado de las modalidades de imágenes médicas: máquina de tomografía axial computarizada , máquina de resonancia magnética , máquina de PET y otras. La teoría de Bayes modela la densidad previa sobre la fuente de imágenes y la densidad condicional sobre las imágenes observables , condicionada por . Para imágenes con acción grupal de difeomorfismo , entonces el anterior en el grupo induce al anterior en las imágenes , escrito como densidades, el registro posterior toma la forma ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle p(\cdot |I)\ {\text{on}}\ I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I\doteq \phi \cdot I_{\mathrm {temp} },\phi \in Diff_{V}}$ ${\displaystyle \pi _{Diff_{V}}(\cdot )}$ ${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$

${\displaystyle \log p(\phi \cdot I\mid I^{D})\simeq \log p(I^{D}\mid \phi \cdot I)+\log \pi _{\operatorname {Diff} _{V}}(\phi )\ .}$

La estimación de estimación máxima a posteriori (MAP) es fundamental para la teoría estadística moderna . Los parámetros de interés toman muchas formas, incluyendo (i) tipo de enfermedad, como enfermedades neurodegenerativas o del neurodesarrollo , (ii) tipo de estructura, como estructuras corticales o subcorticales en problemas asociados con la segmentación de imágenes, y (iii) reconstrucción de plantillas a partir de poblaciones. Dada la imagen observada , la estimación MAP maximiza la parte posterior: ${\displaystyle \theta \in \Theta }$ ${\displaystyle I^{D}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}\doteq \arg \max _{\theta \in \Theta }\log p(\theta \mid I^{D}).}$

Se muestran plantillas de forma de la amígdala, el hipocampo y el ventrículo generadas a partir de 754 muestras de ADNI. El panel superior indica las diferencias localizadas del grupo de áreas de superficie entre el envejecimiento normal y la enfermedad de Alzheimer (el positivo representa atrofia en el Alzheimer, mientras que el negativo sugiere expansión). El panel inferior denota las diferencias de grupo en las tasas de cambio anualizadas en las áreas de superficie localizadas (lo positivo representa tasas de atrofia más rápidas (o tasas de expansión más lentas) en Alzheimer, mientras que lo negativo sugiere tasas de expansión más rápidas (o tasas de atrofia más lentas) en Alzheimer); tomado de Tang et al. ^{[11] [12] [13]}

Esto requiere el cálculo de las probabilidades condicionales . El modelo de órbita de atlas múltiples aleatoriza el conjunto numerable de atlas . El modelo de imágenes en órbita toma la forma de una distribución de mezcla multimodal. ${\displaystyle p(\theta \mid I^{D})={\frac {p(I^{D},\theta )}{p(I^{D})}}}$ ${\displaystyle \{I_{a},a\in {\mathcal {A}}\}}$

${\displaystyle p(I^{D},\theta )=\textstyle \sum _{a\in {\mathcal {A}}}p(I^{D},\theta \mid I_{a})\pi _{\mathcal {A}}(a)\ .}$

Plantillas de superficie para neuroanatomía computacional y estructuras subcorticales.

El estudio de la neuroanatomía subcortical ha sido el foco de muchos estudios. Desde las publicaciones originales de Csernansky y colegas sobre el cambio del hipocampo en la esquizofrenia, ^{[14] [15] [16] [17]} la enfermedad de Alzheimer, ^{[18] [19] [20]} y la depresión, ^{[21] [22]} muchas formas neuroanatómicas Ahora se han completado estudios estadísticos utilizando plantillas construidas a partir de todas las estructuras subcorticales para la depresión, ^[23] Alzheimer, ^{[11] [12] [24] [25] [26] [27]} Trastorno bipolar, TDAH, ^[28] autismo. , ^[29] y la enfermedad de Huntington. ^{[30] [31]} Las plantillas se generaron utilizando datos de estimación de plantillas bayesianas de Ma, Younes y Miller. ^[32]

En la figura adjunta se muestra un ejemplo de plantillas de estructura subcortical generadas a partir de imágenes de resonancia magnética ponderadas en T1 por Tang et al. ^{[11] [12] [13]} para el estudio de la enfermedad de Alzheimer en la población de sujetos ADNI.

Estimación de superficie en anatomía computacional cardíaca.

Se muestran atlas poblacionales que identifican diferencias regionales en el grosor radial en la fase cardíaca telesistólica entre pacientes con miocardiopatía hipertrófica (izquierda) y enfermedad cardíaca hipertensiva (derecha). La malla gris muestra la plantilla de superficie común a la población, y el mapa de colores representa el tabique basilar y la pared epicárdica anterior con mayor espesor radial en pacientes con miocardiopatía hipertrófica versus enfermedad cardíaca hipertensiva. ^[33]

Actualmente se han realizado numerosos estudios sobre la hipertrofia cardíaca y el papel de las integraciónes estructurales en la mecánica funcional del corazón. Siamak Ardekani ha estado trabajando en poblaciones de anatomías cardíacas reconstruyendo sistemas de coordenadas de atlas a partir de poblaciones. ^{[34] [35] [36]} La figura de la derecha muestra el método de anatomía cardíaca computacional que se utiliza para identificar diferencias regionales en el grosor radial en la fase cardíaca telesistólica entre pacientes con miocardiopatía hipertrófica (izquierda) y enfermedad cardíaca hipertensiva (derecha). . El mapa de colores que se coloca en una plantilla de superficie común (malla gris) representa la región (septo basilar y pared epicárdica anterior) que tiene, en promedio, un espesor radial significativamente mayor en pacientes con miocardiopatía hipertrófica frente a enfermedad cardíaca hipertensiva (referencia a continuación). ^[33]

Estimación MAP de plantillas de volumen a partir de poblaciones y el algoritmo EM

Generar plantillas empíricamente a partir de poblaciones es una operación fundamental omnipresente en la disciplina. Han surgido varios métodos basados ​​en estadísticas bayesianas para subvariedades y volúmenes de imágenes densos. Para el caso del volumen de imagen densa, dado lo observable, el problema es estimar la plantilla en la órbita de imágenes densas . El procedimiento de Ma toma una hiperplantilla inicial como punto de partida y modela la plantilla en la órbita bajo el difeomorfismo desconocido que se va a estimar , con los parámetros a estimar, las coordenadas logarítmicas que determinan el mapeo geodésico de la hiperplantilla . ${\displaystyle I^{D_{1}},I^{D_{2}},\dots }$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I\doteq \phi _{0}\cdot I_{0}}$ ${\displaystyle \theta \doteq v_{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0}=I\in {\mathcal {I}}}$

En el modelo bayesiano de órbita aleatoria de anatomía computacional, las imágenes de resonancia magnética observadas se modelan como un campo aleatorio condicionalmente gaussiano con campo medio , con una transformación aleatoria desconocida de la plantilla. El problema de estimación de MAP consiste en estimar la plantilla desconocida dadas las imágenes de resonancia magnética observadas. ${\displaystyle I^{D_{i}}}$ ${\displaystyle \phi _{i}\cdot I}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$

El procedimiento de Ma para imágenes densas toma una hiperplantilla inicial como punto de partida y modela la plantilla en la órbita bajo el difeomorfismo desconocido que se va a estimar . Los observables se modelan como campos aleatorios condicionales, un campo aleatorio gaussiano condicional con campo medio . La variable desconocida que MAP debe estimar explícitamente es el mapeo de la hiperplantilla , y los otros mapeos se consideran variables molestas u ocultas que se integran mediante el procedimiento de Bayes. Esto se logra utilizando el algoritmo de expectativa-maximización (EM) . ${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I\doteq \phi _{0}\cdot I_{0}}$ ${\displaystyle I^{D_{i}}}$ ${\displaystyle \phi _{i}\cdot I\doteq \phi _{i}\cdot \phi _{0}\cdot I_{0}}$ ${\displaystyle \phi _{0}}$

El modelo de órbita se explota asociando los flujos desconocidos a estimar a sus coordenadas logarítmicas a través del registro geodésico de Riemann y exponencial para anatomía computacional el campo vectorial inicial en el espacio tangente en la identidad de modo que , con el mapeo de la hiper- plantilla. El problema de estimación MAP se convierte en ${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$ ${\displaystyle \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i})\doteq \phi _{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})}$

${\displaystyle \max _{v_{0}}p(I^{D},\theta =v_{0})=\int p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )\pi (v_{1},v_{2},\dots )\,dv}$

El algoritmo EM toma como datos completos las coordenadas del campo vectorial que parametrizan el mapeo y calcula iterativamente la expectativa condicional. ${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$

${\displaystyle {\begin{matrix}Q(\theta =v_{0};\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})&=-E(\log p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )|I^{D},\theta ^{\text{old}})\\&=-\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}\end{matrix}}}$

• Calcular nueva plantilla maximizando la función Q, configuración ${\displaystyle \theta ^{\text{new}}\doteq v_{0}^{\text{new}}=\arg \max _{\theta =v_{0}}Q(\theta ;\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})=-\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}}$
• Calcule la aproximación de moda para la expectativa actualizando los valores esperados para los valores de moda:

${\displaystyle v_{i}^{\text{new}}=\arg \max _{v:{\dot {\phi }}=v\circ \phi }-\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}^{2}\,dt-\|I^{D_{i}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0}^{\text{old}})^{-1}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v)^{-1}\|^{2}.i=1,2,\dots }$

${\displaystyle \beta ^{\text{new}}(x)=\sum _{i=1}^{n}|D\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|,{\text{ with }}{\bar {I}}^{\text{new}}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}I^{D_{i}}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})|D\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|}{\beta ^{\text{old}}(x)}}}$

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