Mapeo métrico difeomórfico de gran deformación

El mapeo métrico difeomórfico de gran deformación ( LDDMM ) es un conjunto específico de algoritmos utilizados para el mapeo difeomórfico y la manipulación de imágenes densas basadas en el mapeo métrico difeomórfico dentro de la disciplina académica de la anatomía computacional , que debe distinguirse de su precursor basado en el mapeo difeomórfico . La distinción entre los dos es que los mapas métricos difeomórficos satisfacen la propiedad de que la longitud asociada a su flujo que se aleja de la identidad induce una métrica en el grupo de difeomorfismos , que a su vez induce una métrica en la órbita de formas y figuras dentro del campo de la anatomía computacional . El estudio de formas y figuras con la métrica del mapeo métrico difeomórfico se llama difeomorfometría .

Un sistema de mapeo difeomórfico es un sistema diseñado para mapear, manipular y transferir información almacenada en muchos tipos de imágenes médicas distribuidas espacialmente.

El mapeo difeomórfico es la tecnología subyacente para mapear y analizar información medida en sistemas de coordenadas anatómicas humanas que se han medido a través de imágenes médicas ^{[ cita requerida ]} . El mapeo difeomórfico es un término amplio que en realidad se refiere a una serie de algoritmos, procesos y métodos diferentes. Está asociado a muchas operaciones y tiene muchas aplicaciones para el análisis y la visualización. El mapeo difeomórfico se puede utilizar para relacionar varias fuentes de información que se indexan como una función de la posición espacial como la variable de índice clave. Los difeomorfismos son, por su estructura de raíz latina, transformaciones que preservan, que a su vez son diferenciables y, por lo tanto, suaves, lo que permite el cálculo de cantidades basadas en métricas como la longitud del arco y las áreas de superficie. La ubicación espacial y las extensiones en los sistemas de coordenadas anatómicas humanas se pueden registrar a través de una variedad de modalidades de imágenes médicas, generalmente denominadas imágenes médicas multimodales, que brindan cantidades escalares o vectoriales en cada ubicación espacial. Algunos ejemplos son las imágenes por resonancia magnética escalar T1 o T2 , o las matrices de tensor de difusión 3x3 de la resonancia magnética y las imágenes ponderadas por difusión , hasta densidades escalares asociadas a la tomografía computarizada (TC), o imágenes funcionales como los datos temporales de la resonancia magnética funcional y densidades escalares como la tomografía por emisión de positrones (PET) .

La anatomía computacional es una subdisciplina dentro del campo más amplio de la neuroinformática dentro de la bioinformática y las imágenes médicas . El primer algoritmo para el mapeo de imágenes densas a través del mapeo métrico difeomórfico fue el LDDMM de Beg ^{[1] [2]} para volúmenes y la coincidencia de puntos de referencia de Joshi para conjuntos de puntos con correspondencia, ^{[3] [4]} con algoritmos LDDMM ahora disponibles para calcular mapas métricos difeomórficos entre puntos de referencia no correspondientes ^[5] y coincidencia de puntos de referencia intrínseca a variedades esféricas, ^[6] curvas, ^[7] corrientes y superficies, ^{[8] [9] [10]} tensores, ^[11] varifolds, ^[12] y series de tiempo. ^{[13] [14] [15]} El término LDDMM se estableció por primera vez como parte de la Red de Investigación de Informática Biomédica apoyada por los Institutos Nacionales de Salud . ^[16]

En un sentido más general, el mapeo difeomórfico es cualquier solución que registre o construya correspondencias entre sistemas de coordenadas densos en imágenes médicas al garantizar que las soluciones sean difeomórficas. En la actualidad, existen muchos códigos organizados en torno al registro difeomórfico ^[17], incluidos ANTS, ^[18] DARTEL, ^[19] DEMONS, ^[20] StationaryLDDMM, ^[21] FastLDDMM, [ ^{22] [23]} como ejemplos de códigos computacionales utilizados activamente para construir correspondencias entre sistemas de coordenadas basados ​​en imágenes densas.

La distinción entre la aplicación métrica difeomórfica que forma la base de LDDMM y los primeros métodos de aplicación difeomórfica es la introducción de un principio de Hamilton de mínima acción en el que se seleccionan grandes deformaciones de longitud más corta correspondientes a flujos geodésicos. Esta importante distinción surge de la formulación original de la métrica de Riemann correspondiente a la invariancia derecha. Las longitudes de estas geodésicas dan la métrica en la estructura del espacio métrico de la anatomía humana. Las formulaciones no geodésicas de la aplicación difeomórfica en general no corresponden a ninguna formulación métrica.

Historia del desarrollo

El mapeo difeomórfico de información tridimensional a través de sistemas de coordenadas es fundamental para la obtención de imágenes médicas de alta resolución y para el área de la neuroinformática dentro del campo emergente de la bioinformática . El mapeo difeomórfico de sistemas de coordenadas tridimensionales medidos a través de imágenes densas de alta resolución tiene una larga historia en 3D que comenzó con la tomografía axial computarizada (TAC) a principios de los años 80 por el grupo de la Universidad de Pensilvania dirigido por Ruzena Bajcsy , ^[24] y posteriormente la escuela Ulf Grenander en la Universidad de Brown con los experimentos HAND. ^{[25] [26]} En los años 90 hubo varias soluciones para el registro de imágenes que se asociaron a linealizaciones de pequeñas deformaciones y elasticidad no lineal. ^{[27] [28] [29] [30] [31]}

El enfoque central del subcampo de la anatomía computacional (AC) dentro de las imágenes médicas es el mapeo de información a través de sistemas de coordenadas anatómicos a escala de morfoma de 1 milímetro . En la AC, el mapeo de información densa medida dentro de sistemas de coordenadas basados ​​en imágenes de resonancia magnética (IRM), como en el cerebro, se ha resuelto mediante la coincidencia inexacta de imágenes de RM 3D entre sí. La primera introducción del uso del mapeo difeomórfico a través de grandes flujos de deformación de difeomorfismos para la transformación de sistemas de coordenadas en análisis de imágenes e imágenes médicas fue por Christensen, Rabbitt y Miller ^{[17] [32]} y Trouve. ^[33] La introducción de flujos, que son similares a las ecuaciones de movimiento utilizadas en dinámica de fluidos, explota la noción de que las coordenadas densas en el análisis de imágenes siguen las ecuaciones de movimiento lagrangianas y eulerianas . Este modelo se vuelve más apropiado para estudios transversales en los que los cerebros o corazones no son necesariamente deformaciones de uno a otro. Los métodos basados ​​en la energía de elasticidad lineal o no lineal que crece con la distancia desde la aplicación de identidad de la plantilla no son apropiados para el estudio transversal. En cambio, en los modelos basados ​​en flujos lagrangianos y eulerianos de difeomorfismos, la restricción está asociada a propiedades topológicas, como la conservación de conjuntos abiertos, la no intersección de coordenadas, lo que implica unicidad y existencia de la aplicación inversa, y los conjuntos conectados que permanecen conectados. El uso de métodos difeomórficos creció rápidamente hasta dominar el campo de los métodos de aplicación después del artículo original de Christensen, y se dispuso de métodos rápidos y simétricos. ^{[19] [34]}

Estos métodos son poderosos porque introducen nociones de regularidad de las soluciones para que puedan diferenciarse y calcularse inversas locales. Las desventajas de estos métodos es que no había una propiedad global de mínima acción asociada que pudiera puntuar los flujos de energía mínima. Esto contrasta con los movimientos geodésicos que son centrales para el estudio de la cinemática de cuerpos rígidos y los muchos problemas resueltos en Física a través del principio de mínima acción de Hamilton . En 1998, Dupuis, Grenander y Miller ^[35] establecieron las condiciones para garantizar la existencia de soluciones para la coincidencia de imágenes densas en el espacio de flujos de difeomorfismos. Estas condiciones requieren una acción que penalice la energía cinética medida a través de la norma de Sobolev sobre las derivadas espaciales del flujo de campos vectoriales.

El código de mapeo métrico difeomórfico de gran deformación (LDDMM) que Faisal Beg derivó e implementó para su doctorado en la Universidad Johns Hopkins ^[36] desarrolló el primer código algorítmico que resolvió flujos con puntos fijos que satisfacen las condiciones necesarias para el problema de correspondencia de imágenes densas sujeto a la acción mínima. La anatomía computacional ahora tiene muchos códigos existentes organizados en torno al registro difeomórfico ^[17], incluidos ANTS, ^[18] DARTEL, ^[19] DEMONS, ^[37] LDDMM, ^[2] StationaryLDDMM ^[21] como ejemplos de códigos computacionales utilizados activamente para construir correspondencias entre sistemas de coordenadas basados ​​en imágenes densas.

Estos grandes métodos de deformación se han extendido a puntos de referencia sin registro a través de la correspondencia de medidas, ^[38] curvas, ^[39] superficies, ^[40] imágenes densas de vectores ^[41] y tensores ^[42] y varifolds que eliminan la orientación. ^[43]

El modelo de órbita difeomorfista en anatomía computacional

La forma deformable en la anatomía computacional (CA) ^{[44] [45] [46] [47]} se estudia mediante el uso del mapeo difeomórfico para establecer correspondencias entre coordenadas anatómicas en imágenes médicas. En este contexto, las imágenes médicas tridimensionales se modelan como una deformación aleatoria de algún ejemplar, denominado plantilla , con el conjunto de elementos de imágenes observadas en el modelo de órbita aleatoria de CA para imágenes . La plantilla se mapea sobre el objetivo definiendo un problema variacional en el que la plantilla se transforma a través del difeomorfismo utilizado como un cambio de coordenadas para minimizar una condición de coincidencia de error cuadrático entre la plantilla transformada y el objetivo. ${\displaystyle I_{temp}}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}\doteq \{I=I_{\text{temp}}\circ \varphi ,\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$

Los difeomorfismos se generan a través de flujos suaves , con , satisfaciendo la especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo asociado a la ecuación diferencial ordinaria, ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle \varphi \doteq \varphi _{1}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\ \varphi _{0}={\rm {id}},}$

con los campos vectoriales eulerianos determinando el flujo. Se garantiza que los campos vectoriales sean 1-vez continuamente diferenciables al modelarlos para que estén en un espacio de Hilbert suave que admita una derivada 1-continua. ^[48] La inversa está definida por el campo vectorial euleriano con flujo dado por ${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle v_{t}\in C^{1}}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

Para asegurar flujos suaves de difeomorfismos con inversa, los campos vectoriales con componentes en deben ser al menos 1 vez continuamente diferenciables en el espacio ^{[49] [50]} que se modelan como elementos del espacio de Hilbert utilizando los teoremas de incrustación de Sobolev de modo que cada elemento tenga derivadas débiles integrables al cuadrado 3 veces. Por lo tanto, se incrusta suavemente en funciones 1 vez continuamente diferenciables. ^{[37] [50]} El grupo de difeomorfismos son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

El problema variacional de la correspondencia de imágenes densas y la correspondencia de puntos de referencia dispersos

Algoritmo LDDMM para la correspondencia de imágenes densas

En CA, el espacio de los campos vectoriales se modela como un espacio de Hilbert de núcleo reproductor (RKHS) definido por un operador diferencial 1-1 que determina la norma donde la integral se calcula por integración por partes cuando es una función generalizada en el espacio dual . El operador diferencial se selecciona de modo que el núcleo de Green, el inverso del operador, sea continuamente diferenciable en cada variable, lo que implica que los campos vectoriales admiten una derivada 1-continua ; consulte ^[48] para conocer las condiciones necesarias sobre la norma para la existencia de soluciones. ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{R^{3}}Av\cdot v\,dx,\ v\in V\ ,}$ ${\displaystyle Av}$ ${\displaystyle V^{*}}$

Los algoritmos originales de mapeo métrico difeomórfico de gran deformación (LDDMM) de Beg, Miller, Trouve, Younes ^[51] se derivaron tomando variaciones con respecto a la parametrización del campo vectorial del grupo, ya que están en espacios vectoriales. Beg resolvió la coincidencia de imagen densa minimizando la integral de acción de la energía cinética del flujo difeomórfico mientras minimizaba el término de coincidencia de punto final de acuerdo con ${\displaystyle v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}$

• Algoritmo iterativo de Beg para la comparación de imágenes densas

Actualizar hasta la convergencia, cada iteración, con : ${\displaystyle \phi _{t}^{old}\leftarrow \phi _{t}^{new}}$ ${\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}$

Esto implica que el punto fijo en satisface ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \mu _{0}^{*}=Av_{0}^{*}=(I-J\circ \phi _{1}^{*})\nabla I|D\phi _{1}^{*}|}$,

lo que a su vez implica que satisface la ecuación de conservación dada por la condición de coincidencia de puntos finales de acuerdo con

${\displaystyle Av_{t}^{*}=(D\phi _{t}^{*-1})^{T}Av_{0}^{*}\circ \phi _{t}^{*-1}|D\phi _{t}^{*-1}|}$

^{[52] [53]}

Coincidencia de puntos de referencia registrados en LDDMM

El problema de coincidencia de puntos de referencia tiene una correspondencia puntual que define la condición del punto final con geodésicas dadas por el siguiente mínimo:

${\displaystyle \min _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\sum _{i}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (\phi _{1}(x_{i})-y_{i})}$;

La figura muestra la correspondencia de imágenes densas LDMM. La fila superior muestra el transporte de la imagen bajo el flujo ; la fila del medio muestra la secuencia de campos vectoriales t=0,1/5,2/5,3/5,4/5,1; la fila inferior muestra la secuencia de cuadrículas bajo ${\displaystyle I\circ \phi _{t}^{-1}}$ ${\displaystyle v_{t},}$ ${\displaystyle \phi _{t}.}$

• Algoritmo iterativo para la comparación de puntos de referencia

Joshi definió originalmente el problema de coincidencia de puntos de referencia registrados. ^[3] Actualizar hasta la convergencia, en cada iteración, con : ${\displaystyle \phi _{t}^{old}\leftarrow \phi _{t}^{new}}$ ${\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}$

Esto implica que el punto fijo satisface

${\displaystyle Av_{0}=-\sum _{i}(D\phi _{1})(x_{i})^{T}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{x_{i}}}$

con

${\displaystyle Av_{t}=-\sum _{i}(D\phi _{t1})^{T}|_{\phi _{t}(x_{i})}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{\phi _{t}(x_{i})}}$.

Variaciones para la coincidencia de puntos de referencia e imágenes densas LDDMM

El cálculo de variaciones se utilizó en Beg ^{[49] [53]} para derivar el algoritmo iterativo como una solución que cuando converge satisface las condiciones de maximización necesarias dadas por las condiciones necesarias para una variación de primer orden que requiere la variación del punto final con respecto a una variación de primer orden del campo vectorial. La derivada direccional calcula la derivada de Gateaux como se calculó en el artículo original de Beg ^[49] y. ^{[54] [55]}

Variación de primer orden del flujo y del campo vectorial para la correspondencia de imágenes densas y puntos de referencia

La variación de primer orden en los campos vectoriales requiere la variación de generaliza la perturbación matricial de la inversa mediante . Para expresar la variación en términos de , utilice la solución del corchete de Lie que da ${\displaystyle v+\epsilon \delta v}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}}$ ${\displaystyle (\phi +\epsilon \delta \phi \circ \phi )\circ (\phi ^{-1}+\epsilon \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1})=id+o(\epsilon )}$ ${\displaystyle \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1}=-(D\phi _{1}^{-1})\delta \phi }$ ${\displaystyle \delta v}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\delta \phi _{|\phi }\right)=(Dv)_{|\phi }\delta \phi _{|\phi }+\delta v_{|\phi }}$

${\displaystyle \delta \phi _{1}=(D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}}\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}dt}$

• Coincidencia de imágenes:

Tomando la derivada direccional de la condición del punto final de la imagen se obtiene ${\displaystyle E(\phi )=\int _{X}|I\circ \phi ^{-1}-J|^{2}dx}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\epsilon }}{\frac {1}{2}}\int _{X}|I\circ (\phi ^{-1}+\epsilon \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1})-J|^{2}dx|_{\epsilon =0}=\int _{X}(I\circ \phi ^{-1}-J)\nabla I|_{\phi ^{-1}}\delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1}dx}$ ${\displaystyle =\int _{X}(I\circ \phi ^{-1}-J)\nabla I|_{\phi ^{-1}}(-D\phi _{1}^{-1})\delta \phi dx}$

${\displaystyle =\int _{X}(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla I|_{\phi _{1}^{-1}}(-D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}})\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{|{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}}dtdx}$.

Sustituyendo obtenemos la condición necesaria para un óptimo: ${\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\epsilon }}C(v+\epsilon \delta v)|_{\epsilon =0}&=\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \delta v_{t}\ dx\ dt-\int _{0}^{1}\int _{X}(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla I|_{\phi _{1}^{-1}}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{|{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}}\ dx\,dt\\&=\int _{0}^{1}\int _{X}\left(Av_{t}-(I\circ \phi _{t}^{-1}-J\circ \phi _{t1})\nabla I|_{\phi _{t}^{-1}}(D\phi _{t})_{|\phi _{t}^{-1}}^{-1}|D\phi _{t1}|\right)\cdot \delta v_{t}\ dx\,dt\\&=0\end{aligned}}}$.

• Coincidencia de puntos de referencia:

Tome la variación en los campos vectoriales de utilice la regla de la cadena para la perturbación para obtener la primera variación ${\displaystyle v+\epsilon \delta v}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i}|\phi _{1}(x_{i})-y_{i})|^{2}}$ ${\displaystyle \delta \phi \circ \phi }$

${\displaystyle \sum _{i}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot D\phi _{1}|_{\phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}^{-1}\delta v_{t}|_{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}dt}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{X}\sum _{i}\delta _{\phi _{t}(x_{i})}(x)(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (D\phi _{1})_{\phi _{t}^{-1}(x)}(D\phi _{t})_{\phi _{t}^{-1}(x)}^{-1}\delta v_{t}(x)dxdt=\int _{0}^{1}\int _{X}\sum _{i}\delta _{\phi _{t}(x_{i})}(y)(D\phi _{t1})_{\phi _{t}(x_{i})}^{T}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot \delta v_{t}(x)dxdt}$

Coincidencia de imágenes del tensor de difusión LDDMM

La correspondencia LDDMM basada en el vector propio principal de la matriz del tensor de difusión toma la imagen como un campo vectorial unitario definido por el primer vector propio. ^[41] La acción del grupo se convierte en ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

donde esto denota la norma del error al cuadrado de la imagen. ${\displaystyle \|\cdot \|}$

La correspondencia LDDMM basada en toda la matriz tensorial ^[56] tiene vectores propios transformados por acción de grupo ${\displaystyle \varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}}$.

Problema de coincidencia densa sobre el vector propio principal de DTI

El problema variacional de la correspondencia de imágenes vectoriales con puntos finales ${\displaystyle I^{\prime }(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot I-I^{\prime }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\|)^{2}\,dx).}$

se convierte en

${\displaystyle \min _{v:{\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+\alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot I-I^{\prime }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\|)^{2}\,dx\ .}$

Problema de coincidencia densa en la MATRIZ DTI

El problema variacional de la correspondencia entre: con punto final ${\displaystyle M^{\prime }(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot M(x)-M^{\prime }(x)\|_{F}^{2}dx}$

con la norma de Frobenius, dando lugar a un problema variacional ${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$

LDDMM-ODF

La difusión de imágenes de alta resolución angular (HARDI) aborda la limitación bien conocida de la DTI, es decir, la DTI solo puede revelar una orientación dominante de la fibra en cada ubicación. HARDI mide la difusión a lo largo de direcciones distribuidas uniformemente en la esfera y puede caracterizar geometrías de fibra más complejas mediante la reconstrucción de una función de distribución de orientación (ODF) que caracteriza el perfil angular de la función de densidad de probabilidad de difusión de las moléculas de agua. La ODF es una función definida en una esfera unitaria, . ^[57] Denote la raíz cuadrada de la ODF ( ) como , donde no es negativo para garantizar la unicidad y . La métrica define la distancia entre dos funciones como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$ ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\in \Psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\psi _{1},\psi _{2})=\|\log _{\psi _{1}}(\psi _{2})\|_{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left(\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}\right),\end{aligned}}}$

donde es el producto escalar normal entre puntos en la esfera bajo la métrica. La plantilla y el objetivo se denotan como , , indexados a lo largo de la esfera unitaria y el dominio de la imagen, con el objetivo indexado de manera similar. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {temp} }({\bf {s}},x)}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {targ} }({\bf {s}},x)}$ ${\displaystyle {\bf {s}}\in {{\mathbb {S} }^{2}}}$ ${\displaystyle x\in X}$

Defina el problema variacional suponiendo que se pueden generar dos volúmenes de ODF de uno a otro mediante flujos de difeomorfismos , que son soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias . La acción de grupo del difeomorfismo sobre la plantilla se da de acuerdo con , donde es el jacobiano del ODF transformado afín y se define como ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}(\phi _{t}),t\in [0,1],\phi _{0}={id}}$ ${\displaystyle \phi _{1}\cdot \psi (x)\doteq (D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x),x\in X}$ ${\displaystyle (D\phi _{1})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi _{1}^{-1}(x)\right).\end{aligned}}}$

El problema variacional LDDMM se define como

${\displaystyle {\begin{aligned}\min _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}={id}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dx\ dt+\lambda \int _{R^{3}}\|\log _{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} }(x))\|_{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}^{2}dx\end{aligned}}}$.

LDDMM hamiltoniano para correspondencia de imágenes densas

Beg resolvió los primeros algoritmos LDDMM resolviendo el emparejamiento variacional tomando variaciones con respecto a los campos vectoriales. ^[58] Otra solución de Vialard, ^[59] reparametriza el problema de optimización en términos del estado , para la imagen , con la ecuación de dinámica controlando el estado por el control dado en términos de la ecuación de advección según . El término de emparejamiento de punto final da el problema variacional: ${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \phi _{t}^{-1},q_{0}=I}$ ${\displaystyle I(x),x\in X=R^{3}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}}$ ${\displaystyle E(q_{1})\doteq {\frac {1}{2}}\|q_{1}-J\|^{2}}$

Prueba de la dinámica hamiltoniana

La dinámica hamiltoniana con estado advectivo y dinámica de control , con hamiltoniano extendido da el problema variacional ^[53] ${\displaystyle q_{t}=I\circ \phi _{t}^{-1}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}=-\nabla q\cdot v}$ ${\displaystyle H(q,p,v)=(p|-\nabla q\cdot v)-{\frac {1}{2}}(Av|v)}$

${\displaystyle \min _{p,q,v}C(p,q,v)\doteq (p|{\dot {q}})-\left((p|-\nabla q\cdot v)-{\frac {1}{2}}(Av|v)\right)+E(q_{1})=(p|{\dot {q}})-H(p,q,v)+E(q_{1})\ .}$

La primera variación da la condición en el campo vectorial optimizador , con la condición del punto final y la dinámica en los multiplicadores de Lagrange determinados por las condiciones de la derivada de Gatteux y el estado . ${\displaystyle Av=-p\nabla q}$ ${\displaystyle p_{1}=-{\frac {\partial E}{\partial q}}(q_{1})}$ ${\displaystyle (-{\dot {p}}-\nabla \cdot (pv)|\delta q))=0}$ ${\displaystyle (\delta p|{\dot {q}}+\nabla q\cdot v)=0}$

Software para mapeo difeomórfico

Los paquetes de software que contienen una variedad de algoritmos de mapeo difeomórfico incluyen los siguientes:

• Deformétrica ^[60]
• HORMIGAS ^[18]
• DARTEL ^[61] Morfometría basada en vóxeles (VBM)
• DEMONIOS ^[62]
• LDMM ^[2]
• LDDMM estacionario ^[21]

Software en la nube

• Nube de resonancia magnética ^[63]

Véase también

• Anatomía computacional § Coincidencia de imágenes densas en anatomía computacional
• Métrica de Riemann y corchete de Lie en anatomía computacional
• Modelo bayesiano de anatomía computacional

Referencias

1. MF Beg; MI Miller; A. Trouve; L. Younes (2005). "Computing Large Deformation Metric Mappings via Geodesic Flows of Diffeomorphisms" (Cálculo de asignaciones métricas de deformación a gran escala mediante flujos geodésicos de difeomorfismos). International Journal of Computer Vision (Revista internacional de visión por computadora ). 61 (2): 139–157. doi :10.1023/B:VISI.0000043755.93987.aa. S2CID :  17772076. Consultado el 27 de enero de 2016 .
2. "NITRC: LDDMM: Información sobre herramientas y recursos". www.nitrc.org . Consultado el 11 de diciembre de 2015 .
3. Joshi, SC; Miller, MI (1 de enero de 2000). "Coincidencia de puntos de referencia mediante difeomorfismos de deformación de gran tamaño". IEEE Transactions on Image Processing . 9 (8): 1357–1370. Bibcode :2000ITIP....9.1357J. doi :10.1109/83.855431. ISSN  1057-7149. PMID  18262973. S2CID  6659707.
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