Principios de actuación

Principios mecánicos fundamentales

Los principios de acción se encuentran en el corazón de la física fundamental, desde la mecánica clásica hasta la mecánica cuántica, la física de partículas y la relatividad general. ^[1] Los principios de acción comienzan con una función energética llamada Lagrangiana que describe el sistema físico. El valor acumulado de esta función energética entre dos estados del sistema se llama acción . Los principios de acción aplican el cálculo de variación a la acción. La acción depende de la función de energía y la función de energía depende de la posición, el movimiento y las interacciones en el sistema: la variación de la acción permite derivar las ecuaciones de movimiento sin vectores ni fuerzas.

Los nombres de los principios de acción han evolucionado con el tiempo y difieren en los detalles de los puntos finales de los caminos y la naturaleza de la variación. Los principios de acción cuántica generalizan y justifican los principios clásicos más antiguos. Los principios de acción son la base de la versión de Feynman de la mecánica cuántica, la relatividad general y la teoría cuántica de campos.

Este artículo presenta los conceptos del principio de acción y resume otros artículos con más detalles sobre conceptos y principios específicos.

Conceptos comunes

Los principios de acción son enfoques "integrales" más que el enfoque "diferencial" de la mecánica newtoniana. ^{[2] : 162} Las ideas centrales se basan en energía, caminos, una función de energía llamada lagrangiana a lo largo de caminos y la selección de un camino de acuerdo con la 'acción', una suma continua o integral del lagrangiano a lo largo del camino.

Energía, no fuerza.

El estudio introductorio de la mecánica, la ciencia de la interacción de objetos, generalmente comienza con las leyes de Newton basadas en el concepto de fuerza , definida por la aceleración que causa cuando se aplica a la masa :. Este enfoque de la mecánica se centra en un único punto en el espacio y el tiempo, intentando responder a la pregunta: "¿Qué pasa después?". ^[3] La mecánica basada en principios de acción comienza con el concepto de acción , un equilibrio energético entre energía cinética y energía potencial , definido por la física del problema. Estos enfoques responden a preguntas relacionadas con los puntos inicial y final: ¿qué trayectoria colocará una pelota de baloncesto en el aro? Si lanzamos un cohete a la Luna hoy, ¿cómo podrá aterrizar allí en 5 días? ^[3] Las formas newtoniana y de principio de acción son equivalentes y cualquiera de ellas puede resolver los mismos problemas, pero seleccionar la forma adecuada facilitará mucho las soluciones. ${\displaystyle F=ma}$

La función energética en los principios de acción no es la energía total ( conservada en un sistema aislado ), sino la lagrangiana , la diferencia entre energía cinética y potencial. La energía cinética combina la energía de movimiento de todos los objetos del sistema; la energía potencial depende de la posición instantánea de los objetos e impulsa el movimiento de los objetos. El movimiento de los objetos los coloca en nuevas posiciones con nuevos valores de energía potencial, dando un nuevo valor al Lagrangiano. ^{[4] : 125}

El uso de energía en lugar de fuerza proporciona ventajas inmediatas como base para la mecánica. La mecánica de fuerzas implica cálculo vectorial tridimensional, con 3 coordenadas espaciales y 3 de momento para cada objeto en el escenario; La energía es una magnitud escalar que combina información de todos los objetos, lo que proporciona una simplificación inmediata en muchos casos. Los componentes de la fuerza varían según los sistemas de coordenadas; el valor de la energía es el mismo en todos los sistemas de coordenadas. ^{[5] : xxv} La fuerza requiere un marco de referencia inercial; ^{[6] : 65} una vez que las velocidades se acercan a la velocidad de la luz , la relatividad especial afecta profundamente a la mecánica basada en fuerzas. En los principios de acción, la relatividad simplemente requiere un lagrangiano diferente: el principio en sí es independiente de los sistemas de coordenadas. ^[7]

Caminos, no puntos

Los diagramas explicativos de la mecánica basada en fuerzas suelen centrarse en un solo punto, como el centro del momento , y muestran vectores de fuerzas y velocidades. Los diagramas explicativos de las mecánicas basadas en acciones tienen dos puntos con caminos reales y posibles que los conectan. ^[8] Estas convenciones esquemáticas reiteran los diferentes puntos fuertes de cada método.

Dependiendo del principio de acción, los dos puntos conectados por trayectorias en un diagrama pueden representar dos posiciones de partículas en diferentes momentos o los dos puntos pueden representar valores en un espacio de configuración o en un espacio de fase . La tecnología matemática y la terminología de los principios de acción pueden aprenderse pensando en términos de espacio físico y luego aplicarse en los espacios abstractos más poderosos y generales.

Acción a lo largo de un camino

Los principios de acción asignan un número (la acción) a cada camino posible entre dos puntos. Este número se calcula sumando un valor de energía para cada pequeña sección del camino multiplicado por el tiempo pasado en esa sección: ^[8]

Acción por el camino ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\textrm {KE}}_{1}(t)-{\textrm {PE}}_{1}(t)\right)dt}$

donde la forma de las expresiones de energía cinética ( ) y potencial ( ) depende del problema de física y su valor en cada punto del camino depende de las coordenadas relativas correspondientes a ese punto. La función de energía se llama lagrangiana; en problemas simples es la energía cinética menos la energía potencial del sistema. ${\displaystyle {\textrm {KE}}}$ ${\displaystyle {\textrm {PE}}}$

Variación de ruta

Un sistema que se mueve entre dos puntos toma un camino particular; No se toman otros caminos similares. Cada camino corresponde a un valor de la acción. Un principio de acción predice o explica que el camino particular tomado tiene un valor estacionario para la acción del sistema: caminos similares cerca del tomado tienen un valor de acción muy similar. Esta variación en el valor de la acción es clave para los principios de acción.

El símbolo se utiliza para indicar las variaciones del camino, por lo que un principio de acción aparece matemáticamente como: ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle (\delta A)_{C}=0}$

lo que significa que, en el punto estacionario , la variación de la acción con algunas restricciones fijas es cero. ^{[9] : 38} Para los principios de acción, el punto estacionario puede ser un mínimo o un punto de silla , pero no un máximo. ^[10] Las órbitas planetarias elípticas proporcionan un ejemplo simple de dos trayectorias con acción igual, una en cada dirección alrededor de la órbita; tampoco puede ser la acción mínima o "menor". ^{[2] : 175} La variación de ruta implícita en no es la misma que la de un diferencial como . La integral de acción depende de las coordenadas de los objetos y estas coordenadas dependen del camino tomado. Por tanto, la integral de acción es una función funcional , una función de una función. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle dt}$

Principios de conservación

Un resultado importante de la geometría conocido como teorema de Noether establece que cualquier cantidad conservada en un lagrangiano implica una simetría continua y viceversa. ^[11] Por ejemplo, un Lagrangiano independiente del tiempo corresponde a un sistema con energía conservada; la independencia de la traducción espacial implica conservación del impulso; La invariancia de la rotación angular implica la conservación del momento angular. ^{[12] : 489} Estos ejemplos son simetrías globales donde la independencia es en sí misma independiente del espacio o del tiempo; las simetrías locales más generales que tienen una dependencia funcional del espacio o del tiempo conducen a la teoría de calibre . ^[13] La conservación observada del isospin fue utilizada por Chen Ning Yang y Robert Mills en 1953 para construir una teoría de calibre para mesones , que condujo, algunas décadas más tarde, a la teoría moderna de la física de partículas. ^{[14] : 202}

Principios distintos

Los principios de acción se aplican a una amplia variedad de problemas físicos, incluida toda la física fundamental. Las únicas excepciones importantes son los casos que involucran fricción o cuando solo se dan la posición inicial y las velocidades. ^[3] Diferentes principios de acción tienen diferentes significados para las variaciones; cada aplicación específica de un principio de acción requiere un lagrangiano específico que describa la física. Un nombre común para cualquiera o todos estos principios es "principio de mínima acción". Para una discusión sobre los nombres y el origen histórico de estos principios, consulte Nombres de principios de acción .

Puntos finales fijos con energía conservada

Dwyane Wade lanzando tiros libres

Cuando la energía total y los puntos finales son fijos, se aplica el principio de mínima acción de Maupertuis . Por ejemplo, para sumar puntos en baloncesto la pelota debe dejar la mano del tirador y pasar por el aro, pero el tiempo de vuelo no está limitado. ^[3] El principio de acción mínima de Maupertuis está escrito matemáticamente como la condición estacionaria de la acción abreviada (a veces escrita ): ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S_{0}}$

$${\displaystyle (\delta W)_{E}=0\ \ \mathrm {where} \ W[\mathbf {q} ]\ \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot {\mathbf {dq} }}$$

${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N}\right)}$

$${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}},}$$

lagrangiano^{[15] : 76  [9] : 356 [16]}las órbitas^[dieciséis] ${\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$ ${\displaystyle (\delta W)_{E}=0}$ ${\displaystyle \Delta S_{0}}$ ${\displaystyle E}$

Potenciales independientes del tiempo; sin fuerzas

Para un sistema invariante en el tiempo, la acción se relaciona simplemente con la acción abreviada en la trayectoria estacionaria como: ^{[9] : 434} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle W}$

$${\displaystyle \Delta S=\Delta W-E\Delta T}$$

de Fermat : ^{[9] : 360} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Delta T=t_{2}-t_{1}}$

$${\displaystyle \delta (t_{2}-t_{1})=0}$$

Eventos fijos

Un camino hacia la Luna debe tener en cuenta el movimiento de la Luna durante el viaje.

Cuando el problema de física da los dos puntos finales como una posición y un tiempo, es decir, como eventos , se aplica el principio de acción de Hamilton . Por ejemplo, imagina planear un viaje a la Luna. Durante tu viaje la Luna continuará su órbita alrededor de la Tierra: es un objetivo en movimiento. El principio de Hamiltion para objetos en posiciones se escribe matemáticamente como ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$

$${\displaystyle (\delta {\mathcal {S}})_{T}=0\ \ \mathrm {where} \ {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt}$$

lagrangiano^{[17] : 62}línea mundial^[3]de Euler-Lagrangetransformación de Legendre^[18] ${\displaystyle T=t_{2}-t_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (t_{1})}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (t_{2})}$ ${\displaystyle L=T-V}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ ${\displaystyle S}$

Teoría clásica de campos

Los conceptos y muchos de los métodos útiles para la mecánica de partículas también se aplican a campos continuos. La integral de acción recorre una densidad lagrangiana, pero los conceptos son tan parecidos que a la densidad a menudo se la llama simplemente lagrangiana. ^{[19] : 15}

Principios de acción cuántica

Para la mecánica cuántica, los principios de acción tienen ventajas significativas: sólo se necesita un postulado mecánico, si se utiliza un lagrangiano covariante en la acción, el resultado es relativistamente correcto y pasan claramente a los equivalentes clásicos. ^{[2] : 128}

Tanto Richard Feynman como Julian Schwinger desarrollaron principios de acción cuántica basados ​​en los primeros trabajos de Paul Dirac . El método integral de Feynman no era un principio variacional sino que se reduce al principio clásico de mínima acción; esto condujo a sus diagramas de Feynman . El enfoque diferencial de Schwinger relaciona cambios de amplitud infinitesimales con cambios de acción infinitesimales. ^{[2] : 138}

Principio de acción de Feynman

Cuando los efectos cuánticos son importantes, se necesitan nuevos principios de acción. En lugar de que una partícula siga una trayectoria, la mecánica cuántica define una amplitud de probabilidad en un punto y un tiempo relacionados con una amplitud de probabilidad en un punto diferente más adelante en el tiempo: ${\displaystyle \psi (x_{k},t)}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \psi (x_{k+1},t+\epsilon )={\frac {1}{A}}\int e^{iS(x_{k+1},x_{k})/\hbar }\psi (x_{k},t)dx_{k}}$

¿Dónde está la acción clásica? ^[20] En lugar de una ruta única con acción estacionaria, todas las rutas posibles se suman (la integral sobre ), ponderada por una amplitud de probabilidad compleja, . La fase de la amplitud viene dada por la acción dividida por la constante de Planck o cuanto de acción: . Cuando la acción de una partícula es mucho mayor que , la fase cambia rápidamente a lo largo del camino: la amplitud promedia un número pequeño. ^[8] Así, la constante de Planck establece el límite entre la mecánica clásica y la cuántica. ^[21] ${\displaystyle S(x_{k+1},x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle e^{iS/\hbar }}$ ${\displaystyle S/\hbar }$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle S/\hbar \gg 1}$

Todos los caminos contribuyen al principio de acción cuántica. En el punto final donde se encuentran los caminos, los caminos con fases similares se suman y los que tienen fases diferentes se restan. Cerca del camino esperado de la física clásica, las fases tienden a alinearse; la tendencia es más fuerte para objetos más masivos que tienen valores de acción mayores. En el límite clásico domina una vía, la vía de acción estacionaria. ^[22] ${\displaystyle \pi }$

Principio de acción de Schwinger

El enfoque de Schwinger relaciona variaciones en las amplitudes de transición, con variaciones en un elemento de la matriz de acción: ${\displaystyle (q_{f}|q_{i})}$

${\displaystyle \delta (q_{r_{f}}|q_{f_{i}})=i(q_{r_{f}}|\delta S|q_{r_{i}})}$

donde está el operador de acción

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{f}}L\ dt}$

La forma de Schwinger hace que el análisis de la variación del propio Lagrangiano, por ejemplo la variación en la intensidad potencial de la fuente, sea especialmente transparente. ^{[2] : 138}

La analogía óptico-mecánica

Superficies de acción constante mostradas como frentes de onda perpendiculares a trayectorias para el caso de la luz.

Para cada camino, la integral de acción aumenta el valor desde cero en el punto inicial hasta su valor final al final. Cualquier camino cercano tendrá valores similares a distancias similares desde el punto de partida. Se pueden dibujar líneas o superficies de valor de acción parcial constante a lo largo de los caminos, creando una vista ondulada de la acción. Un análisis como este conecta los rayos en forma de partículas de la óptica geométrica con los frentes de onda del principio de Huygens-Fresnel.

[Maupertuis] ... señaló así esa notable analogía entre los fenómenos ópticos y mecánicos que fue observada mucho antes por John Bernoulli y que más tarde se desarrolló plenamente en la ingeniosa teoría óptico-mecánica de Hamilton. Esta analogía jugó un papel fundamental en el desarrollo de la mecánica ondulatoria moderna.

—  Lanczos, C. (1949/1970). ^{[5] : 136}

Aplicaciones

Los principios de acción se aplican para derivar ecuaciones diferenciales como las ecuaciones de Euler-Lagrange ^{[9] : 44} o como aplicaciones directas a problemas físicos.

Mecanica clasica

Los principios de acción se pueden aplicar directamente a muchos problemas de la mecánica clásica , por ejemplo, la forma de varillas elásticas bajo carga, ^{[23] : 9,} la forma de un líquido entre dos placas verticales (un capilar ), ^{[23] : 22} o el movimiento de un péndulo cuando su soporte está en movimiento. ^{[23] : 39}

Química

Los principios de acción cuántica se utilizan en la teoría cuántica de átomos en moléculas ( QTAIM ), una forma de descomponer la densidad electrónica calculada de las moléculas en átomos como una forma de obtener información sobre los enlaces químicos. ^[24]

Relatividad general

Inspirándose en el trabajo de Einstein sobre la relatividad general, el renombrado matemático David Hilbert aplicó el principio de mínima acción para derivar las ecuaciones de campo de la relatividad general. ^{[25] : 186} Su acción, ahora conocida como la acción de Einstein-Hilbert ,

${\displaystyle S={1 \over 2\kappa }\int R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x,}$

contenía un elemento de volumen relativista invariante y la curvatura escalar de Ricci . El factor de escala es la constante gravitacional de Einstein. ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \kappa }$

Otras aplicaciones

El principio de acción es tan central en la física y las matemáticas modernas que se aplica ampliamente, incluso en la termodinámica , ^{[26] [27] [28]} la mecánica de fluidos , ^[29] la teoría de la relatividad , la mecánica cuántica , ^[30] la física de partículas y teoria de las cuerdas . ^[31]

Historia

El principio de acción está precedido por ideas anteriores en óptica . En la antigua Grecia , Euclides escribió en su Catoptrica que, para el camino de la luz reflejada en un espejo, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión . ^[32] Héroe de Alejandría demostró más tarde que este camino era el más corto y el de menor duración. ^[33]

Sobre la base de los primeros trabajos de Pierre Louis Maupertuis , Leonhard Euler y Joseph Louis Lagrange que definen versiones del principio de acción mínima , ^{[34] : 580} William Rowan Hamilton y, en conjunto, Carl Gustav Jacobi desarrollaron una forma variacional para la mecánica clásica conocida como Hamilton. –Ecuación de Jacobi . ^{[35] : 201}

En 1915, David Hilbert aplicó el principio variacional para derivar las ecuaciones de la relatividad general de Albert Einstein . ^[36]

En 1933, el físico Paul Dirac demostró cómo se puede utilizar este principio en cálculos cuánticos al discernir el fundamento mecánico cuántico del principio en la interferencia cuántica de amplitudes. ^[37] Posteriormente, Julian Schwinger y Richard Feynman aplicaron independientemente este principio en electrodinámica cuántica. ^{[38] [39]}

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