Mapa exponencial (geometría de Riemann)

En geometría de Riemann , una aplicación exponencial es una aplicación de un subconjunto de un espacio tangente T _p M de una variedad de Riemann (o variedad pseudo-riemanniana ) M a la propia M. La métrica (pseudo) riemanniana determina una conexión afín canónica, y el mapa exponencial de la variedad (pseudo) riemanniana viene dado por el mapa exponencial de esta conexión.

Definición

Sea $M$ una variedad diferenciable y $p$ un punto de $M$ . Una conexión afín en $M$ permite definir la noción de una línea recta que pasa por el punto $p$ . ^[1]

Sea $v \in T p M$ un vector tangente a la variedad en $p$ . Entonces hay una geodésica única $γ v$ :[0,1] → $M$ que satisface $γ v (0) = p$ con un vector tangente inicial $γ' v (0) = v$ . El mapa exponencial correspondiente está definido por $exp p (v) = γ v (1)$ . En general, el mapa exponencial solo se define localmente , es decir, solo toma una pequeña vecindad del origen en $T p M$ , hasta una vecindad de $p$ en la variedad. Esto se debe a que se basa en el teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias que es de naturaleza local. Una conexión afín se llama completa si el mapa exponencial está bien definido en cada punto del paquete tangente .

Propiedades

Intuitivamente hablando, el mapa exponencial toma un vector tangente dado a la variedad, recorre la geodésica comenzando en ese punto y va en esa dirección, durante una unidad de tiempo. Dado que v corresponde al vector velocidad de la geodésica, la distancia real (riemanniana) recorrida dependerá de ello. También podemos reparar las geodésicas para que sean unidades de velocidad, por lo que de manera equivalente podemos definir exp _p ( v ) = β(| v |) donde β es la geodésica de velocidad unitaria (geodésica parametrizada por la longitud del arco) que va en la dirección de v . A medida que variamos el vector tangente v obtendremos, al aplicar exp _p , diferentes puntos en M que están a cierta distancia del punto base p ; esta es quizás una de las formas más concretas de demostrar que el espacio tangente a una variedad es una especie de "linealización" de la variedad.

El teorema de Hopf-Rinow afirma que es posible definir la aplicación exponencial en todo el espacio tangente si y sólo si la variedad es completa como un espacio métrico (lo que justifica el término habitual geodésicamente completo para una variedad que tiene una aplicación exponencial con esta propiedad). ). En particular, los colectores compactos son geodésicamente completos. Sin embargo, incluso si exp _p se define en todo el espacio tangente, en general no será un difeomorfismo global . Sin embargo, su diferencial en el origen del espacio tangente es la aplicación identidad y, por tanto, mediante el teorema de la función inversa podemos encontrar una vecindad del origen de T _p M en la que la aplicación exponencial es una incrustación (es decir, la aplicación exponencial es un difeomorfismo local). El radio de la bola más grande alrededor del origen en T _p M que se puede mapear difeomórficamente mediante exp _p se llama radio de inyectividad de M en p . El lugar de corte del mapa exponencial es, en términos generales, el conjunto de todos los puntos donde el mapa exponencial no logra tener un mínimo único.

Una propiedad importante del mapa exponencial es el siguiente lema de Gauss (otro lema más de Gauss ): dado cualquier vector tangente v en el dominio de definición de exp _p , y otro vector w basado en la punta de v (por lo tanto , w está en realidad en el espacio doble tangente T _v (T _p M )) y ortogonal a v , w permanece ortogonal a v cuando se avanza a través del mapa exponencial. Esto significa, en particular, que la esfera límite de una pequeña bola alrededor del origen en T _p M es ortogonal a las geodésicas en M determinadas por esos vectores (es decir, las geodésicas son radiales ). Esto motiva la definición de coordenadas normales geodésicas en una variedad de Riemann.

El mapa exponencial también es útil para relacionar la definición abstracta de curvatura con la realización más concreta de la misma concebida originalmente por el propio Riemann: la curvatura seccional se define intuitivamente como la curvatura gaussiana de alguna superficie (es decir, un corte de la variedad por un 2). -subvariedad dimensional) a través del punto p en consideración. A través del mapa exponencial , ahora se puede definir con precisión como la curvatura gaussiana de una superficie a través de p determinada por la imagen bajo exp _p de un subespacio bidimensional de T _p M.

Relaciones con mapas exponenciales en la teoría de Lie

En el caso de grupos de Lie con una métrica bi-invariante —una métrica pseudo-riemanniana invariante tanto en traducción izquierda como derecha—los mapas exponenciales de la estructura pseudo-riemanniana son los mismos que los mapas exponenciales del grupo de Lie . En general, los grupos de Lie no tienen una métrica bi-invariante, aunque todos los grupos de Lie semisimples (o reductivos) conectados sí la tienen. La existencia de una métrica de Riemann bi-invariante es más fuerte que la de una métrica pseudo-riemanniana e implica que el álgebra de Lie es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto; por el contrario, cualquier grupo de Lie compacto (o abeliano) tiene dicha métrica riemanniana.

Tomemos el ejemplo que da el mapa exponencial "honesto". Considere los números reales positivos R ⁺ , un grupo de Lie bajo la multiplicación habitual. Entonces cada espacio tangente es simplemente R . En cada copia de R en el punto y , introducimos el producto interno modificado

\langle u,v\rangle _ {y}={\frac {uv}{y^{2}}}

y ²

Considere el punto 1 ∈ R ⁺ , y x ∈ R un elemento del espacio tangente en 1. La línea recta habitual que emana de 1, es decir y ( t ) = 1 + xt , cubre el mismo camino que una geodésica, por supuesto, excepto que tenemos que repararmetrizar para obtener una curva con velocidad constante ("la velocidad constante", recuerde, no será la velocidad constante ordinaria, porque estamos usando esta métrica curiosa). Para ello reparametrizamos por longitud de arco (la integral de la longitud del vector tangente en la norma inducida por la métrica modificada): $|\cdot |_{y}$

s(t)=\int _{0}^{t}|x|_{y(\tau )}d\tau =\int _{0}^{t}{\frac {|x|}{1+\tau x}}d\tau =|x|\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau x}}={\frac {|x|}{x}}\ln |1+tx|

y después de invertir la función para obtener $t$ en función de $s$ , sustituimos y obtenemos

y(s)=e^{sx/|x|}

Ahora, usando la definición de velocidad unitaria, tenemos

\exp _{1}(x)=y(|x|_{1})=y(|x|),

e ^x

La distancia de Riemann definida por esto es simplemente

\operatorname {dist} (a,b)=\left|\ln \left({\frac {b}{a}}\right)\right|.

Ver también

Lista de temas exponenciales

Notas

^ Una fuente para esta sección es Kobayashi y Nomizu (1996, §III.6), que utiliza el término "conexión lineal" donde en su lugar usamos "conexión afín".

Referencias

Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (1975), Teoremas de comparación en geometría riemanniana , Elsevier. Consulte el Capítulo 1, Secciones 2 y 3.
do Carmo, Manfredo P. (1992), Geometría riemanniana , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8. Consulte el Capítulo 3.
"Mapeo exponencial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Helgason, Sigurdur (2001), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 34, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-2848-9, señor 1834454.
Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.