picoon

En la teoría de sistemas integrables , un picoón ("solitón puntiagudo") es un solitón con primera derivada discontinua ; el perfil de onda tiene la forma de la gráfica de la función . Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales no lineales con soluciones de (multi)picos son la ecuación de ondas en aguas poco profundas de Camassa-Holm , la ecuación de Degasperis-Procesi y la ecuación de Fornberg-Whitham . Dado que las soluciones de Peakon sólo son diferenciables por partes, deben interpretarse en un sentido débil adecuado . El concepto fue introducido en 1993 por Camassa y Holm en un breve pero muy citado artículo donde derivaron su ecuación de aguas poco profundas. ^[1] ${\displaystyle e^{-|x|}}$

Una familia de ecuaciones con soluciones de pico.

El ejemplo principal de una PDE que admite soluciones Peakon es

${\displaystyle u_{t}-u_{xxt}+(b+1)uu_{x}=bu_{x}u_{xx}+uu_{xxx},\,}$

donde está la función desconocida y b es un parámetro. ^[2] En términos de la función auxiliar definida por la relación , la ecuación toma la forma más simple ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle m(x,t)}$ ${\displaystyle m=u-u_{xx}}$

${\displaystyle m_{t}+m_{x}u+bmu_{x}=0.\,}$

Esta ecuación es integrable para exactamente dos valores de b , a saber, b = 2 (la ecuación de Camassa-Holm ) y b = 3 (la ecuación de Degasperis-Procesi ).

Solución de pico único

La PDE anterior admite la solución de onda viajera , que es una onda solitaria puntiaguda con amplitud c y velocidad c . Esta solución se llama solución de pico (simple), o simplemente pico de . Si c es negativo, la onda se mueve hacia la izquierda con el pico apuntando hacia abajo, y entonces a veces se le llama antipico . ${\displaystyle u(x,t)=c\,e^{-|x-ct|}}$

No es inmediatamente obvio en qué sentido la solución de picon satisface la PDE. Dado que la derivada u _x tiene una discontinuidad de salto en el pico, la segunda derivada u _xx debe tomarse en el sentido de distribuciones y contendrá una función delta de Dirac ; En realidad, . Ahora bien, el producto que ocurre en la PDE parece no estar definido, ya que la distribución m se apoya en el mismo punto donde la derivada u _x no está definida. Una interpretación ad hoc es tomar el valor de u _x en ese punto igual al promedio de sus límites izquierdo y derecho (cero, en este caso). Una forma más satisfactoria de darle sentido a la solución es invertir la relación entre u y m escribiendo , donde , y usar esto para reescribir la PDE como una ley de conservación hiperbólica (no local) : ${\displaystyle m=u-u_{xx}=c\,\delta (x-ct)}$ ${\displaystyle mu_{x}}$ ${\displaystyle m=(G/2)*u}$ ${\displaystyle G(x)=\exp(-|x|)}$

${\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}\left[{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {G}{2}}*\left({\frac {bu^{2}}{2}}+{\frac {(3-b)u_{x}^{2}}{2}}\right)\right]=0.}$

(La estrella denota convolución con respecto a x .) En esta formulación, la función u puede interpretarse simplemente como una solución débil en el sentido habitual. ^[3]

Soluciones multipico

Perfil de onda de dos picos (curva continua) formado al agregar dos picos (curvas discontinuas): ${\displaystyle u=m_{1}\,e^{-|x-x_{1}|}+m_{2}\,e^{-|x-x_{2}|}}$

Las soluciones multipico se forman tomando una combinación lineal de varios picos, cada uno con su propia amplitud y posición dependiente del tiempo. (Ésta es una estructura muy simple en comparación con las soluciones multisolitón de la mayoría de las otras PDE integrables, como la ecuación de Korteweg-de Vries, por ejemplo). La solución n -picon, por tanto, toma la forma

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(t)\,e^{-|x-x_{i}(t)|},}$

donde 2 n funciona y debe elegirse adecuadamente para que u satisfaga la PDE. Para la " familia b " anterior resulta que este ansatz efectivamente da una solución, siempre que el sistema de EDO ${\displaystyle x_{i}(t)}$ ${\displaystyle m_{i}(t)}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}e^{-|x_{k}-x_{i}|},\qquad {\dot {m}}_{k}=(b-1)\sum _{i=1}^{n}m_{k}m_{i}\operatorname {sgn}(x_{k}-x_{i})e^{-|x_{k}-x_{i}|}\qquad (k=1,\dots ,n)}$

Está satisfecho. (Aquí sgn denota la función de signo .) Tenga en cuenta que el lado derecho de la ecuación se obtiene sustituyendo en la fórmula u . De manera similar, la ecuación para se puede expresar en términos de , si se interpreta que la derivada de en x = 0 es cero. Esto proporciona la siguiente notación abreviada conveniente para el sistema: ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x=x_{k}}$ ${\displaystyle m_{k}}$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle \exp(-|x|)}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=u(x_{k}),\qquad {\dot {m}}_{k}=-(b-1)m_{k}u_{x}(x_{k})\qquad (k=1,\dots ,n).}$

La primera ecuación proporciona alguna intuición útil sobre la dinámica de los picos: la velocidad de cada pico es igual a la elevación de la onda en ese punto.

Fórmulas de solución explícitas

En los casos integrables b = 2 y b = 3, el sistema de EDO que describe la dinámica de picos se puede resolver explícitamente para n arbitrario en términos de funciones elementales, utilizando técnicas espectrales inversas. Por ejemplo, la solución para n = 3 en el caso Camassa-Holm b = 2 viene dada por ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)&=\log {\frac {(\lambda _{1}-\lambda _{2})^{2}(\lambda _{1}-\lambda _{3})^{2}(\lambda _{2}-\lambda _{3})^{2}a_{1}a_{2}a_{3}}{\sum _{j<k}\lambda _{j}^{2}\lambda _{k}^{2}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\x_{2}(t)&=\log {\frac {\sum _{j<k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\lambda _{1}^{2}a_{1}+\lambda _{2}^{2}a_{2}+\lambda _{3}^{2}a_{3}}}\\x_{3}(t)&=\log(a_{1}+a_{2}+a_{3})\\m_{1}(t)&={\frac {\sum _{j<k}\lambda _{j}^{2}\lambda _{k}^{2}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\sum _{j<k}\lambda _{j}\lambda _{k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\m_{2}(t)&={\frac {\left(\lambda _{1}^{2}a_{1}+\lambda _{2}^{2}a_{2}+\lambda _{3}^{2}a_{3}\right)\sum _{j<k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\left(\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\lambda _{3}a_{3}\right)\sum _{j<k}\lambda _{j}\lambda _{k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\m_{3}(t)&={\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}}{\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\lambda _{3}a_{3}}}\end{aligned}}}$

donde , y donde las 2 n constantes y se determinan a partir de las condiciones iniciales. La solución general para n arbitrario se puede expresar en términos de funciones simétricas de y . La solución general de n -peakon en el caso de Degasperis-Procesi b = 3 es similar en sabor, aunque la estructura detallada es más complicada. ^[5] ${\displaystyle a_{k}(t)=a_{k}(0)e^{t/\lambda _{k}}}$ ${\displaystyle a_{k}(0)}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$

Notas

1. Camassa y Holm 1993
2. Degasperis, Holm y perfeccionar 2002
3. Constantin y McKean 1999 (que tratan el caso Camassa-Holm b = 2; el caso general es muy similar)
4. Beals, Sattinger & Szmigielski 2000 (donde se utiliza una normalización y convención de signos diferentes)
5. Lundmark y Szmigielski 2005

Referencias

• Beals, Richard; Sattinger, David H.; Szmigielski, Jacek (2000), "Los multipicos y el problema del momento clásico", Avances en Matemáticas , vol. 154, núm. 2, págs. 229–257, arXiv : solv-int/9906001 , doi : 10.1006/aima.1999.1883
• Camassa, Roberto; Holm, Darryl D. (1993), "Una ecuación integrable de aguas poco profundas con solitones puntiagudos", Physical Review Letters , vol. 71, núm. 11, págs. 1661–1664, arXiv : patt-sol/9305002 , Bibcode : 1993PhRvL..71.1661C, doi : 10.1103/PhysRevLett.71.1661, PMID  10054466, S2CID  8832709
• Constantín, Adrián; McKean, Henry P. (1999), "Una ecuación de aguas poco profundas en el círculo", Communications on Pure and Applied Mathematics , vol. 52, núm. 8, págs. 949–982, doi :10.1002/(SICI)1097-0312(199908)52:8<949::AID-CPA3>3.0.CO;2-D
• Degasperis, Antonio; Holm, Darryl D.; Hone, Andrew NW (2002), "Una nueva ecuación integrable con soluciones de pico", Física teórica y matemática , vol. 133, núm. 2, págs. 1463–1474, arXiv : nlin.SI/0205023 , doi : 10.1023/A:1021186408422
• Lundmark, Hans; Szmigielski, Jacek (2005), "Degasperis-Procesi Peakons and the Discrete Cubic String", International Mathematics Research Papers , vol. 2005, núm. 2, págs. 53–116, arXiv : nlin.SI/0503036 , doi : 10.1155/IMRP.2005.53