Ecuación de Whitham

Modelo no local para ondas dispersivas no lineales

En física matemática , la ecuación de Whitham es un modelo no local para ondas dispersivas no lineales . ^{[1] [2] [3]}

La ecuación se escribe de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+\alpha \eta {\frac {\partial \eta }{\partial x}}+\int _{-\infty }^{+\infty }K(x-\xi )\,{\frac {\partial \eta (\xi ,t)}{\partial \xi }}\,{\text{d}}\xi =0.}$

Esta ecuación integro-diferencial para la variable oscilatoria η ( x , t ) recibe su nombre de Gerald Whitham , quien la introdujo como modelo para estudiar la ruptura de olas de agua dispersivas no lineales en 1967. ^[4] Recientemente se ha demostrado la ruptura de olas (soluciones acotadas con derivadas no acotadas ) para la ecuación de Whitham. ^[5]

Para una cierta elección del kernel K ( x  −  ξ ) se convierte en la ecuación de Fornberg–Whitham .

Ondas de agua

Utilizando la transformada de Fourier (y su inversa), con respecto a la coordenada espacial x y en términos del número de onda k :

• Para las ondas de gravedad superficial , la velocidad de fase c ( k ) en función del número de onda k se toma como: ^[4]

${\displaystyle c_{\text{ww}}(k)={\sqrt {{\frac {g}{k}}\,\tanh(kh)}},}$  mientras  ${\displaystyle \alpha _{\text{ww}}={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {g}{h}}},}$

donde g es la aceleración gravitacional y h la profundidad media del agua. El núcleo asociado K _ww ( s ) es, utilizando la transformada inversa de Fourier: ^[4]

${\displaystyle K_{\text{ww}}(s)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }c_{\text{ww}}(k)\,{\text{e}}^{iks}\,{\text{d}}k={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }c_{\text{ww}}(k)\,\cos(ks)\,{\text{d}}k,}$

ya que c _ww es una función par del número de onda k .

• La ecuación de Korteweg–de Vries (ecuación KdV) surge al conservar los dos primeros términos de una expansión en serie de c _ww ( k ) para ondas largas con kh ≪ 1 : ^[4]

${\displaystyle c_{\text{kdv}}(k)={\sqrt {gh}}\left(1-{\frac {1}{6}}k^{2}h^{2}\right),}$   ${\displaystyle K_{\text{kdv}}(s)={\sqrt {gh}}\left(\delta (s)+{\frac {1}{6}}h^{2}\,\delta ^{\prime \prime }(s)\right),}$   ${\displaystyle \alpha _{\text{kdv}}={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {g}{h}}},}$

con δ ( s ) la función delta de Dirac .

• Bengt Fornberg y Gerald Whitham estudiaron el núcleo K _fw ( s ) – no dimensionalizado utilizando g y h : ^[6]

${\displaystyle K_{\text{fw}}(s)={\frac {1}{2}}\nu {\text{e}}^{-\nu |s|}}$  y con  ${\displaystyle c_{\text{fw}}={\frac {\nu ^{2}}{\nu ^{2}+k^{2}}},}$    ${\displaystyle \alpha _{\text{fw}}={\frac {3}{2}}.}$

La ecuación integrodiferencial resultante se puede reducir a la ecuación diferencial parcial conocida como ecuación de Fornberg-Whitham : ^[6]

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-\nu ^{2}\right)\left({\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {3}{2}}\,\eta \,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)+{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=0.}$

Se ha demostrado que esta ecuación permite soluciones de pico , como modelo para olas de altura límite, así como la ocurrencia de rompimiento de olas ( ondas de choque , ausentes en, por ejemplo, soluciones de la ecuación de Korteweg–de Vries). ^{[6] [3]}

Notas y referencias

Notas

1. Debnath (2005, pág. 364)
2. Naumkin y Shishmarev (1994, pág.1)
3. Whitham (1974, págs. 476–482)
4. Whitham (1967)
5. Hur (2017)
6. Fornberg y Whitham (1978)

Referencias

• Debnath, L. (2005), Ecuaciones diferenciales parciales no lineales para científicos e ingenieros , Springer, ISBN 9780817643232
• Fetecau, R.; Levy, Doron (2005), "Ecuaciones aproximadas del modelo para ondas de agua", Communications in Mathematical Sciences , 3 (2): 159–170, doi : 10.4310/CMS.2005.v3.n2.a4
• Fornberg, B.; Whitham, GB (1978), "Un estudio numérico y teórico de ciertos fenómenos ondulatorios no lineales", Philosophical Transactions of the Royal Society A , 289 (1361): 373–404, Bibcode :1978RSPTA.289..373F, CiteSeerX  10.1.1.67.6331 , doi :10.1098/rsta.1978.0064, S2CID  7333207
• Hur, Vera Mikyoung (2017), "Rotura de ondas en la ecuación de Whitham", Advances in Mathematics , 317 : 410–437, arXiv : 1506.04075 , doi : 10.1016/j.aim.2017.07.006 , S2CID  119121867
• Moldabayev, D.; Kalisch, H.; Dutykh, D. (2015), "La ecuación de Whitham como modelo para las ondas en aguas superficiales", Physica D: Nonlinear Phenomena , 309 : 99–107, arXiv : 1410.8299 , Bibcode :2015PhyD..309...99M, doi :10.1016/j.physd.2015.07.010, S2CID  55302388
• Naumkin, PI; Shishmarev, IA (1994), Ecuaciones no locales no lineales en la teoría de ondas , American Mathematical Society, ISBN 9780821845738
• Whitham, GB (1967), "Métodos variacionales y aplicaciones a las ondas de agua", Actas de la Royal Society A , 299 (1456): 6–25, Bibcode :1967RSPSA.299....6W, doi :10.1098/rspa.1967.0119, S2CID  122802187
• Whitham, GB (1974), Ondas lineales y no lineales , Wiley-Interscience, doi :10.1002/9781118032954, ISBN 978-0-471-94090-6