Mapeo métrico difeomorfo de gran deformación.

El mapeo métrico difeomórfico de gran deformación ( LDDMM ) es un conjunto específico de algoritmos utilizados para el mapeo difeomórfico y la manipulación de imágenes densas basadas en el mapeo métrico difeomórfico dentro de la disciplina académica de anatomía computacional , que se distingue de su precursor basado en el mapeo difeomórfico . La distinción entre los dos es que los mapas métricos difeomórficos satisfacen la propiedad de que la longitud asociada a su flujo fuera de la identidad induce una métrica en el grupo de difeomorfismos , que a su vez induce una métrica en la órbita de las formas dentro del campo de Anatomía Computacional . El estudio de figuras y formas con la métrica del mapeo métrico difeomorfo se llama difeomorfometría .

Un sistema de mapeo difeomorfo es un sistema diseñado para mapear, manipular y transferir información que se almacena en muchos tipos de imágenes médicas distribuidas espacialmente.

El mapeo difeomórfico es la tecnología subyacente para mapear y analizar información medida en sistemas de coordenadas anatómicas humanas que se han medido mediante imágenes médicas ^{[ cita requerida ]} . El mapeo difeomórfico es un término amplio que en realidad se refiere a varios algoritmos, procesos y métodos diferentes. Está asociado a muchas operaciones y tiene muchas aplicaciones de análisis y visualización. El mapeo difeomorfo se puede utilizar para relacionar varias fuentes de información que se indexan en función de la posición espacial como variable de índice clave. Los difeomorfismos, por su estructura de raíz latina, preservan las transformaciones, que a su vez son diferenciables y, por lo tanto, suaves, lo que permite el cálculo de cantidades basadas en métricas, como la longitud del arco y las áreas de superficie. La ubicación espacial y las extensiones en los sistemas de coordenadas anatómicas humanas se pueden registrar mediante una variedad de modalidades de imágenes médicas, generalmente denominadas imágenes médicas multimodales, que proporcionan cantidades escalares o vectoriales en cada ubicación espacial. Algunos ejemplos son imágenes de resonancia magnética escalar T1 o T2 , o como matrices tensoras de difusión 3x3, resonancia magnética de difusión e imágenes ponderadas por difusión , densidades escalares asociadas a la tomografía computarizada (TC), o imágenes funcionales como datos temporales de imágenes de resonancia magnética funcional y densidades escalares. como la tomografía por emisión de positrones (PET) .

La anatomía computacional es una subdisciplina dentro del campo más amplio de la neuroinformática dentro de la bioinformática y las imágenes médicas . El primer algoritmo para el mapeo de imágenes densas mediante mapeo métrico difeomorfo fue el LDDMM de Beg ^{[1] [2]} para volúmenes y el emparejamiento de puntos de Joshi para conjuntos de puntos con correspondencia, ^{[3] [4]} con algoritmos LDDMM ahora disponibles para calcular mapas métricos difeomorfos entre no -puntos de referencia correspondientes ^[5] y puntos de referencia intrínsecos a variedades esféricas, ^[6] curvas, ^[7] corrientes y superficies, ^{[8] [9] [10]} tensores, ^[11] variedades, ^[12] y series de tiempo. ^{[13] [14] [15]} El término LDDMM se estableció por primera vez como parte de la Red de Investigación en Informática Biomédica apoyada por los Institutos Nacionales de Salud . ^[dieciséis]

En un sentido más general, el mapeo difeomorfo es cualquier solución que registra o construye correspondencias entre sistemas de coordenadas densos en imágenes médicas asegurando que las soluciones sean difeomorfas. Ahora hay muchos códigos organizados en torno al registro difeomórfico ^[17], incluidos ANTS, ^[18] DARTEL, ^[19] DEMONS, ^[20] StationaryLDDMM, ^[21] FastLDDMM, ^{[22] [23]} como ejemplos de códigos computacionales utilizados activamente para construir Correspondencias entre sistemas de coordenadas basadas en imágenes densas.

La distinción entre el mapeo métrico difeomórfico que forma la base para LDDMM y los primeros métodos de mapeo difeomórfico es la introducción de un principio de acción mínima de Hamilton en el que se seleccionan grandes deformaciones de longitud más corta correspondientes a flujos geodésicos. Esta importante distinción surge de la formulación original de la métrica de Riemann correspondiente a la invariancia por la derecha. Las longitudes de estas geodésicas dan la métrica en la estructura espacial métrica de la anatomía humana. Las formulaciones no geodésicas de cartografía difeomorfa en general no corresponden a ninguna formulación métrica.

Historia del desarrollo

El mapeo difeomórfico de información tridimensional a través de sistemas de coordenadas es fundamental para las imágenes médicas de alta resolución y el área de la neuroinformática dentro del campo emergente de la bioinformática . El mapeo difeomórfico de sistemas de coordenadas tridimensionales medidos a través de imágenes densas de alta resolución tiene una larga historia en 3-D, comenzando con la tomografía axial computarizada (escaneo TAC) a principios de los años 80 por el grupo de la Universidad de Pensilvania dirigido por Ruzena Bajcsy , ^[24] y Posteriormente, la escuela Ulf Grenander de la Universidad de Brown con los experimentos HAND. ^{[25] [26]} En los años 90 existían varias soluciones para el registro de imágenes que estaban asociadas a linealizaciones de pequeñas deformaciones y elasticidades no lineales. ^{[27] [28] [29] [30] [31]}

El enfoque central del subcampo de Anatomía computacional (AC) dentro de las imágenes médicas es mapear información a través de sistemas de coordenadas anatómicas en la escala de morfoma de 1 milímetro. En CA, el mapeo de información densa medida dentro de sistemas de coordenadas basados ​​en imágenes de resonancia magnética (MRI), como en el cerebro, se ha resuelto mediante una coincidencia inexacta de imágenes de RM 3D entre sí. La primera introducción del uso de mapeo difeomórfico a través de grandes flujos de deformación de difeomorfismos para la transformación de sistemas de coordenadas en análisis de imágenes e imágenes médicas fue realizada por Christensen, Rabbitt y Miller ^{[17] [32]} y Trouve. ^[33] La introducción de flujos, que son similares a las ecuaciones de movimiento utilizadas en dinámica de fluidos, explota la noción de que las coordenadas densas en el análisis de imágenes siguen las ecuaciones de movimiento lagrangianas y eulerianas . Este modelo se vuelve más apropiado para estudios transversales en los que los cerebros o los corazones no son necesariamente deformaciones uno del otro. Los métodos basados ​​en energías de elasticidad lineal o no lineal que crecen con la distancia desde el mapeo de identidad de la plantilla no son apropiados para el estudio transversal. Más bien, en modelos basados ​​en flujos de difeomorfismos lagrangianos y eulerianos, la restricción está asociada a propiedades topológicas, como la preservación de conjuntos abiertos, las coordenadas que no se cruzan, lo que implica unicidad y existencia del mapeo inverso, y los conjuntos conectados permanecen conectados. El uso de métodos difeomorfos creció rápidamente hasta dominar el campo de los métodos cartográficos después del artículo original de Christensen, con métodos rápidos y simétricos disponibles. ^{[19] [34]}

Estos métodos son poderosos porque introducen nociones de regularidad de las soluciones para que puedan diferenciarse y calcular sus inversas locales. La desventaja de estos métodos es que no había ninguna propiedad global asociada de acción mínima que pudiera calificar los flujos de energía mínima. Esto contrasta los movimientos geodésicos que son fundamentales para el estudio de la cinemática de cuerpos rígidos y los muchos problemas resueltos en Física mediante el principio de mínima acción de Hamilton . En 1998, Dupuis, Grenander y Miller ^[35] establecieron las condiciones para garantizar la existencia de soluciones para el emparejamiento de imágenes densas en el espacio de flujos de difeomorfismos. Estas condiciones requieren una acción que penalice la energía cinética medida según la norma de Sobolev sobre las derivadas espaciales del flujo de campos vectoriales.

El código de mapeo métrico difeomorfo de gran deformación (LDDMM) que Faisal Beg derivó e implementó para su doctorado en la Universidad Johns Hopkins ^[36] desarrolló el código algorítmico más antiguo que resolvió flujos con puntos fijos que satisfacen las condiciones necesarias para el problema de coincidencia de imágenes densas sujeto a mínima acción. La anatomía computacional ahora tiene muchos códigos existentes organizados en torno al registro difeomórfico ^[17], incluidos ANTS, ^[18] DARTEL, ^[19] DEMONS, ^[37] LDDMM, ^[2] StationaryLDDMM ^[21] como ejemplos de códigos computacionales utilizados activamente para construir correspondencias entre Sistemas de coordenadas basados ​​en imágenes densas.

Estos métodos de gran deformación se han extendido a puntos de referencia sin registro mediante coincidencia de medidas, ^[38] curvas, ^[39] superficies, ^[40] imágenes vectoriales densas ^[41] y tensoriales ^[42] , y variantes que eliminan la orientación. ^[43]

El modelo de órbita de difeomorfismo en anatomía computacional.

La forma deformable en anatomía computacional (CA) ^{[44] [45] [46] [47]} se estudia mediante el uso de mapeo difeomorfo para establecer correspondencias entre coordenadas anatómicas en imágenes médicas. En este entorno, las imágenes médicas tridimensionales se modelan como una deformación aleatoria de algún ejemplar, denominada plantilla , con el conjunto de imágenes observadas como elemento en el modelo de órbita aleatoria de CA para imágenes . La plantilla se asigna al objetivo definiendo un problema variacional en el que la plantilla se transforma mediante el difeomorfismo utilizado como cambio de coordenadas para minimizar una condición de coincidencia de error al cuadrado entre la plantilla transformada y el objetivo. ${\displaystyle I_{temp}}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}\doteq \{I=I_{\text{temp}}\circ \varphi ,\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$

Los difeomorfismos se generan mediante flujos suaves , satisfaciendo la especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo asociado a la ecuación diferencial ordinaria, ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle \varphi \doteq \varphi _{1}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\ \varphi _{0}={\rm {id}},}$

con los campos vectoriales eulerianos determinando el flujo. Se garantiza que los campos vectoriales serán diferenciables 1 vez continuamente modelándolos para que estén en un espacio de Hilbert suave que admita una derivada 1 continua. ^[48] ​​La inversa está definida por el campo vectorial euleriano con flujo dado por ${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle v_{t}\in C^{1}}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

Para garantizar flujos fluidos de difeomorfismos con inversa, los campos vectoriales con componentes deben ser al menos 1 vez continuamente diferenciables en el espacio ^{[49] [50]} que se modelan como elementos del espacio de Hilbert utilizando los teoremas de incrustación de Sobolev para que cada elemento tiene derivadas débiles integrables 3 veces al cuadrado. Por lo tanto, se integra suavemente en funciones únicas y continuamente diferenciables. ^{[37] [50]} El grupo de difeomorfismo son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

El problema variacional de la coincidencia de imágenes densas y la coincidencia de puntos de referencia escasos

Algoritmo LDDMM para coincidencia de imágenes densas

En CA, el espacio de campos vectoriales se modela como un espacio reproductivo de Kernel Hilbert (RKHS) definido por un operador diferencial 1-1 que determina la norma donde la integral se calcula por integración por partes cuando es una función generalizada en el espacio dual . El operador diferencial se selecciona de modo que el núcleo de Green, el inverso del operador, sea continuamente diferenciable en cada variable, lo que implica que los campos vectoriales admiten una derivada 1 continua ; ver ^[48] para las condiciones necesarias sobre la norma para la existencia de soluciones. ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{R^{3}}Av\cdot v\,dx,\ v\in V\ ,}$ ${\displaystyle Av}$ ${\displaystyle V^{*}}$

Los algoritmos originales de mapeo métrico difeomórfico de gran deformación (LDDMM) de Beg, Miller, Trouve, Younes ^[51] se derivaron tomando variaciones con respecto a la parametrización del campo vectorial del grupo, ya que están en espacios vectoriales. Beg resolvió la coincidencia de imágenes densas minimizando la integral de acción de la energía cinética del flujo difeomórfico y minimizando el término de coincidencia de puntos finales de acuerdo con ${\displaystyle v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}$

• Algoritmo iterativo de Beg para coincidencia de imágenes densas

Actualice hasta la convergencia, en cada iteración, con : ${\displaystyle \phi _{t}^{old}\leftarrow \phi _{t}^{new}}$ ${\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}$

Esto implica que el punto fijo en satisface ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \mu _{0}^{*}=Av_{0}^{*}=(I-J\circ \phi _{1}^{*})\nabla I|D\phi _{1}^{*}|}$,

lo que a su vez implica que satisface la ecuación de conservación dada por la condición de coincidencia del punto final según

${\displaystyle Av_{t}^{*}=(D\phi _{t}^{*-1})^{T}Av_{0}^{*}\circ \phi _{t}^{*-1}|D\phi _{t}^{*-1}|}$

^{[52] [53]}

Coincidencia de puntos de referencia registrados LDDMM

El problema de coincidencia de puntos de referencia tiene una correspondencia puntual que define la condición del punto final con las geodésicas dada por el siguiente mínimo:

${\displaystyle \min _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\sum _{i}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (\phi _{1}(x_{i})-y_{i})}$;

La figura muestra la coincidencia de imágenes densas de LDMM. La fila superior muestra el transporte de la imagen bajo el flujo ; la fila del medio muestra la secuencia de campos vectoriales t=0,1/5,2/5,3/5,4/5,1; la fila inferior muestra la secuencia de cuadrículas debajo ${\displaystyle I\circ \phi _{t}^{-1}}$ ${\displaystyle v_{t},}$ ${\displaystyle \phi _{t}.}$

• Algoritmo iterativo para la coincidencia de puntos de referencia

Joshi definió originalmente el problema de coincidencia de puntos de referencia registrados. ^[3] Actualización hasta la convergencia, en cada iteración, con : ${\displaystyle \phi _{t}^{old}\leftarrow \phi _{t}^{new}}$ ${\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}$

Esto implica que el punto fijo satisface

${\displaystyle Av_{0}=-\sum _{i}(D\phi _{1})(x_{i})^{T}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{x_{i}}}$

con

${\displaystyle Av_{t}=-\sum _{i}(D\phi _{t1})^{T}|_{\phi _{t}(x_{i})}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{\phi _{t}(x_{i})}}$.

Variaciones para imágenes densas LDDMM y coincidencia de puntos de referencia

El Cálculo de variaciones se utilizó en Beg ^{[49] [53]} para derivar el algoritmo iterativo como una solución que cuando converge satisface las condiciones maximizadoras necesarias dadas por las condiciones necesarias para una variación de primer orden que requiere la variación del punto final con respecto a una variación de primer orden del campo vectorial. La derivada direccional calcula la derivada de Gateaux como se calcula en el artículo original de Beg ^[49] y. ^{[54] [55]}

Variación de primer orden del campo vectorial y de flujo para una coincidencia de imágenes densas y puntos de referencia

La variación de primer orden en los campos vectoriales requiere la variación de generaliza la perturbación matricial de la inversa dando . Para expresar la variación en términos de , use la solución del corchete de Lie que da ${\displaystyle v+\epsilon \delta v}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}}$ ${\displaystyle (\phi +\epsilon \delta \phi \circ \phi )\circ (\phi ^{-1}+\epsilon \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1})=id+o(\epsilon )}$ ${\displaystyle \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1}=-(D\phi _{1}^{-1})\delta \phi }$ ${\displaystyle \delta v}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\delta \phi _{|\phi }\right)=(Dv)_{|\phi }\delta \phi _{|\phi }+\delta v_{|\phi }}$

${\displaystyle \delta \phi _{1}=(D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}}\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}dt}$

• Coincidencia de imágenes:

Tomando la derivada direccional de la condición del punto final de la imagen se obtiene ${\displaystyle E(\phi )=\int _{X}|I\circ \phi ^{-1}-J|^{2}dx}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\epsilon }}{\frac {1}{2}}\int _{X}|I\circ (\phi ^{-1}+\epsilon \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1})-J|^{2}dx|_{\epsilon =0}=\int _{X}(I\circ \phi ^{-1}-J)\nabla I|_{\phi ^{-1}}\delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1}dx}$ ${\displaystyle =\int _{X}(I\circ \phi ^{-1}-J)\nabla I|_{\phi ^{-1}}(-D\phi _{1}^{-1})\delta \phi dx}$

${\displaystyle =\int _{X}(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla I|_{\phi _{1}^{-1}}(-D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}})\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{|{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}}dtdx}$.

La sustitución da la condición necesaria para un óptimo: ${\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\epsilon }}C(v+\epsilon \delta v)|_{\epsilon =0}&=\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \delta v_{t}\ dx\ dt-\int _{0}^{1}\int _{X}(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla I|_{\phi _{1}^{-1}}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{|{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}}\ dx\,dt\\&=\int _{0}^{1}\int _{X}\left(Av_{t}-(I\circ \phi _{t}^{-1}-J\circ \phi _{t1})\nabla I|_{\phi _{t}^{-1}}(D\phi _{t})_{|\phi _{t}^{-1}}^{-1}|D\phi _{t1}|\right)\cdot \delta v_{t}\ dx\,dt\\&=0\end{aligned}}}$.

• Coincidencia de puntos de referencia:

Tome la variación en los campos vectoriales de use la regla de la cadena para que la perturbación dé la primera variación. ${\displaystyle v+\epsilon \delta v}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i}|\phi _{1}(x_{i})-y_{i})|^{2}}$ ${\displaystyle \delta \phi \circ \phi }$

${\displaystyle \sum _{i}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot D\phi _{1}|_{\phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}^{-1}\delta v_{t}|_{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}dt}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{X}\sum _{i}\delta _{\phi _{t}(x_{i})}(x)(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (D\phi _{1})_{\phi _{t}^{-1}(x)}(D\phi _{t})_{\phi _{t}^{-1}(x)}^{-1}\delta v_{t}(x)dxdt=\int _{0}^{1}\int _{X}\sum _{i}\delta _{\phi _{t}(x_{i})}(y)(D\phi _{t1})_{\phi _{t}(x_{i})}^{T}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot \delta v_{t}(x)dxdt}$

Coincidencia de imágenes del tensor de difusión LDDMM

La coincidencia LDDMM basada en el vector propio principal de la matriz tensor de difusión toma la imagen como un campo de vector unitario definido por el primer vector propio. ^[41] La acción grupal se convierte en ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

donde eso denota la norma de error al cuadrado de la imagen. ${\displaystyle \|\cdot \|}$

La coincidencia LDDMM basada en toda la matriz tensorial ^[56] tiene vectores propios transformados por acción grupal ${\displaystyle \varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}}$.

Problema de coincidencia densa en el vector propio principal de DTI

El problema variacional de hacer coincidir una imagen vectorial con un punto final ${\displaystyle I^{\prime }(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot I-I^{\prime }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\|)^{2}\,dx).}$

se convierte

${\displaystyle \min _{v:{\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+\alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot I-I^{\prime }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\|)^{2}\,dx\ .}$

Problema de coincidencia densa en DTI MATRIX

El problema variacional de hacer coincidir: con punto final ${\displaystyle M^{\prime }(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot M(x)-M^{\prime }(x)\|_{F}^{2}dx}$

con la norma de Frobenius, dando un problema variacional ${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$

LDDMM ODF

Las imágenes de difusión de alta resolución angular (HARDI) abordan la conocida limitación de la DTI, es decir, la DTI solo puede revelar una orientación de fibra dominante en cada ubicación. HARDI mide la difusión a lo largo de direcciones distribuidas uniformemente en la esfera y puede caracterizar geometrías de fibras más complejas reconstruyendo una función de distribución de orientación (ODF) que caracteriza el perfil angular de la función de densidad de probabilidad de difusión de las moléculas de agua. El ODF es una función definida en una esfera unitaria, . ^[57] Denote el ODF de raíz cuadrada ( ) como , donde no es negativo para garantizar la unicidad y . La métrica define la distancia entre dos funciones como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$ ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\in \Psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\psi _{1},\psi _{2})=\|\log _{\psi _{1}}(\psi _{2})\|_{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left(\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}\right),\end{aligned}}}$

¿Dónde está el producto escalar normal entre puntos de la esfera bajo la métrica? La plantilla y el objetivo se indican como , , indexados en la esfera unitaria y el dominio de la imagen, y el objetivo está indexado de manera similar. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {temp} }({\bf {s}},x)}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {targ} }({\bf {s}},x)}$ ${\displaystyle {\bf {s}}\in {{\mathbb {S} }^{2}}}$ ${\displaystyle x\in X}$

Defina el problema variacional suponiendo que dos volúmenes ODF se pueden generar de uno a otro mediante flujos de difeomorfismos , que son soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias . La acción grupal del difeomorfismo sobre la plantilla se da según , donde es el jacobiano del ODF transformado por afinidad y se define como ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}(\phi _{t}),t\in [0,1],\phi _{0}={id}}$ ${\displaystyle \phi _{1}\cdot \psi (x)\doteq (D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x),x\in X}$ ${\displaystyle (D\phi _{1})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi _{1}^{-1}(x)\right).\end{aligned}}}$

El problema variacional LDDMM se define como

${\displaystyle {\begin{aligned}\min _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}={id}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dx\ dt+\lambda \int _{R^{3}}\|\log _{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} }(x))\|_{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}^{2}dx\end{aligned}}}$.

LDDMM hamiltoniano para una coincidencia de imágenes densa

Beg resolvió los primeros algoritmos LDDMM resolviendo la coincidencia variacional tomando variaciones con respecto a los campos vectoriales. ^[58] Otra solución de Vialard, ^[59] reparametriza el problema de optimización en términos del estado , para la imagen , con la ecuación dinámica controlando el estado mediante el control dado en términos de la ecuación de advección según . El término de coincidencia de puntos finales da el problema variacional: ${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \phi _{t}^{-1},q_{0}=I}$ ${\displaystyle I(x),x\in X=R^{3}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}}$ ${\displaystyle E(q_{1})\doteq {\frac {1}{2}}\|q_{1}-J\|^{2}}$

Prueba de la dinámica hamiltoniana

La dinámica hamiltoniana con estado advectivo y dinámica de control , con hamiltoniana extendida da el problema variacional ^[53] ${\displaystyle q_{t}=I\circ \phi _{t}^{-1}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}=-\nabla q\cdot v}$ ${\displaystyle H(q,p,v)=(p|-\nabla q\cdot v)-{\frac {1}{2}}(Av|v)}$

${\displaystyle \min _{p,q,v}C(p,q,v)\doteq (p|{\dot {q}})-\left((p|-\nabla q\cdot v)-{\frac {1}{2}}(Av|v)\right)+E(q_{1})=(p|{\dot {q}})-H(p,q,v)+E(q_{1})\ .}$

La primera variación da la condición en el campo vectorial de optimización , con la condición del punto final y la dinámica en los multiplicadores de Lagrange determinadas por las condiciones derivadas de Gatteux y el estado . ${\displaystyle Av=-p\nabla q}$ ${\displaystyle p_{1}=-{\frac {\partial E}{\partial q}}(q_{1})}$ ${\displaystyle (-{\dot {p}}-\nabla \cdot (pv)|\delta q))=0}$ ${\displaystyle (\delta p|{\dot {q}}+\nabla q\cdot v)=0}$

Software para mapeo difeomorfo

Los paquetes de software que contienen una variedad de algoritmos de mapeo difeomorfos incluyen los siguientes:

• Deformetrica ^[60]
• HORMIGAS ^[18]
• DARTEL ^[61] Morfometría basada en vóxeles (VBM)
• DEMONIOS ^[62]
• LDDMM ^[2]
• EstacionarioLDDMM ^[21]

software en la nube

• MRICloud ^[63]

Ver también

• Anatomía computacional § Coincidencia de imágenes densas en anatomía computacional
• Métrica de Riemann y soporte de Lie en anatomía computacional
• Modelo bayesiano de anatomía computacional.

Referencias

1. MF suplicar; MI Miller; A. Trouve; L. Younes (2005). "Cálculo de mapeos de métricas de grandes deformaciones mediante flujos geodésicos de difeomorfismos". Revista Internacional de Visión por Computadora . 61 (2): 139-157. doi :10.1023/B:VISI.0000043755.93987.aa. S2CID  17772076 . Consultado el 27 de enero de 2016 .
2. "NITRC: LDDMM: información de herramientas/recursos". www.nitrc.org . Consultado el 11 de diciembre de 2015 .
3. Joshi, Carolina del Sur; Miller, MI (1 de enero de 2000). "Coincidencia de hitos mediante grandes difeomorfismos de deformación". Transacciones IEEE sobre procesamiento de imágenes . 9 (8): 1357-1370. Código Bib : 2000ITIP....9.1357J. doi : 10.1109/83.855431. ISSN  1057-7149. PMID  18262973. S2CID  6659707.
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