En matemáticas , un número complejo es un elemento de un sistema numérico que extiende los números reales con un elemento específico denotado i , llamado unidad imaginaria y que satisface la ecuación ; Todo número complejo se puede expresar en la forma , donde a y b son números reales. Debido a que ningún número real satisface la ecuación anterior, René Descartes llamó a i un número imaginario . Para el número complejo , a se llama parte real ybse llama parte realparte imaginaria . El conjunto de números complejos se denota con cualquiera de lossímboloso C. A pesar de la nomenclatura histórica, los números complejos "imaginarios" tienen unamatemáticatan firme como la de los números reales, y son herramientas fundamentales en la descripción científica del mundo natural.[1][2]
Los números complejos permiten soluciones a todas las ecuaciones polinómicas , incluso aquellas que no tienen soluciones en números reales. Más precisamente, el teorema fundamental del álgebra afirma que toda ecuación polinómica no constante con coeficientes reales o complejos tiene una solución que es un número complejo. Por ejemplo, la ecuación no tiene solución real, porque el cuadrado de un número real no puede ser negativo, pero tiene dos soluciones complejas no reales y .
La suma, resta y multiplicación de números complejos se pueden definir naturalmente usando la regla junto con las leyes asociativa , conmutativa y distributiva . Todo número complejo distinto de cero tiene un inverso multiplicativo . Esto convierte los números complejos en un campo con los números reales como subcampo.
Los números complejos también forman un espacio vectorial real de dimensión dos , con base estándar . Esta base estándar convierte los números complejos en un plano cartesiano , llamado plano complejo . Esto permite una interpretación geométrica de los números complejos y sus operaciones y, a la inversa, algunos objetos y operaciones geométricos se pueden expresar en términos de números complejos. Por ejemplo, los números reales forman la línea real , que se representa como el eje horizontal del plano complejo, mientras que los múltiplos reales de son el eje vertical. Un número complejo también se puede definir por sus coordenadas polares geométricas : el radio se llama valor absoluto del número complejo, mientras que el ángulo desde el eje real positivo se llama argumento del número complejo. Los números complejos de valor absoluto forman el círculo unitario . Sumar un número complejo fijo a todos los números complejos define una traslación en el plano complejo, y multiplicar por un número complejo fijo es una similitud centrada en el origen (dilatar por el valor absoluto y rotar por el argumento). La operación de conjugación compleja es la simetría de reflexión respecto del eje real.
Los números complejos forman una rica estructura que es simultáneamente un campo algebraicamente cerrado , un álgebra conmutativa sobre los reales y un espacio vectorial euclidiano de dimensión dos.
Un número complejo es una expresión de la forma a + bi , donde a y b son números reales , e i es un símbolo abstracto, la llamada unidad imaginaria , cuyo significado se explicará más adelante. Por ejemplo, 2 + 3 i es un número complejo. [3]
Para un número complejo a + bi , el número real a se llama su parte real , y el número real b (no el número complejo bi ) es su parte imaginaria . [4] [5] La parte real de un número complejo z se denota Re( z ) , o ; la parte imaginaria es Im( z ) , o : por ejemplo ,.
Un número complejo z puede identificarse con el par ordenado de números reales , que pueden interpretarse como coordenadas de un punto en un plano euclidiano con coordenadas estándar, que luego se denomina plano complejo o diagrama de Argand , [6] [a] . [7] Generalmente se utiliza el eje horizontal para visualizar la parte real, con valores crecientes hacia la derecha, y la parte imaginaria marca el eje vertical, con valores crecientes hacia arriba.
Un número real a puede considerarse como un número complejo a + 0 i , cuya parte imaginaria es 0. Un número puramente imaginario bi es un número complejo 0 + bi , cuya parte real es cero. Al igual que con los polinomios, es común escribir a + 0 i = a , 0 + bi = bi y a + (− b ) i = a − bi ; por ejemplo, 3 + (−4) yo = 3 − 4 yo .
El conjunto de todos los números complejos se indica con ( pizarra en negrita ) o C (en negrita vertical).
En algunas disciplinas como el electromagnetismo y la ingeniería eléctrica , se usa j en lugar de i , ya que i representa frecuentemente la corriente eléctrica , [8] [9] y los números complejos se escriben como a + bj o a + jb .
Dos números complejos y se suman sumando por separado sus partes reales e imaginarias. Es decir:
De manera similar, la resta se puede realizar como
La suma se puede visualizar geométricamente de la siguiente manera: la suma de dos números complejos a y b , interpretados como puntos en el plano complejo, es el punto que se obtiene al construir un paralelogramo a partir de los tres vértices O y los puntos de las flechas denominadas a y b (siempre que no estén en una línea). De manera equivalente, llamando a estos puntos A , B , respectivamente y al cuarto punto del paralelogramo X los triángulos OAB y XBA son congruentes .
El producto de dos números complejos se calcula de la siguiente manera:
Por ejemplo, en particular, esto incluye como caso especial la fórmula fundamental
Esta fórmula distingue el número complejo i de cualquier número real, ya que el cuadrado de cualquier número real (negativo o positivo) x siempre satisface .
Con esta definición de multiplicación y suma, las reglas familiares para la aritmética de números racionales o reales siguen siendo válidas para los números complejos. Más precisamente, se mantienen la propiedad distributiva , las propiedades conmutativas (de suma y multiplicación). Por tanto, los números complejos forman una estructura algebraica conocida como cuerpo , al igual que lo hacen los números racionales o reales. [10]
El conjugado complejo del número complejo z = x + yi se define como [11] Algunos autores también lo denotan como . Geométricamente, z es la "reflexión" de z alrededor del eje real. La conjugación dos veces da el número complejo original: un número complejo es real si y sólo si es igual a su propio conjugado. La operación unaria de tomar el conjugado complejo de un número complejo no se puede expresar aplicando únicamente sus operaciones básicas suma, resta, multiplicación y división.
Para cualquier número complejo z = x + yi , el producto
es un número real no negativo . Esto permite definir el valor absoluto (o módulo o magnitud ) de z como la raíz cuadrada [12] Según el teorema de Pitágoras , es la distancia desde el origen hasta el punto que representa el número complejo z en el plano complejo. En particular, el círculo de radio uno alrededor del origen consta precisamente de los números z tales que . Si es un número real, entonces : su valor absoluto como número complejo y como número real son iguales.
Usando el conjugado, el recíproco de un número complejo distinto de cero se puede calcular como
De manera más general, la división de un número complejo arbitrario por un número complejo distinto de cero es igual. Este proceso a veces se denomina " racionalización " del denominador (aunque el denominador en la expresión final podría ser un número real irracional), porque se parece al método. para eliminar raíces de expresiones simples en un denominador. [ cita necesaria ]
El argumento de z (a veces llamado "fase" φ ) [7] es el ángulo del radio Oz con el eje real positivo, y se escribe como arg z , expresado en radianes en este artículo. El ángulo se define solo hasta la suma de múltiplos enteros de , ya que una rotación de (o 360°) alrededor del origen deja todos los puntos en el plano complejo sin cambios. Una posible opción para especificar de forma única el argumento es exigir que esté dentro del intervalo , al que se hace referencia como valor principal . [13] El argumento se puede calcular a partir de la forma rectangular x + yi mediante la función arctan (tangente inversa). [14]
Para cualquier número complejo z , con valor absoluto y argumento , la ecuación
sostiene. Esta identidad se conoce como la forma polar de z . A veces se abrevia como . En electrónica , se representa un fasor con amplitud r y fase φ en notación angular : [15]
Si dos números complejos se dan en forma polar, es decir, z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sen φ 1 ) y z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sen φ 2 ) , el producto y la división pueden ser calculado como (Éstas son una consecuencia de las identidades trigonométricas para la función seno y coseno). En otras palabras, los valores absolutos se multiplican y los argumentos se suman para obtener la forma polar del producto. La imagen de la derecha ilustra la multiplicación de Debido a que la parte real e imaginaria de 5 + 5 i son iguales, el argumento de ese número es 45 grados, o π /4 (en radianes ). Por otro lado, también es la suma de los ángulos en el origen de los triángulos rojo y azul son arctan (1/3) y arctan (1/2), respectivamente. Por tanto, la fórmula se cumple. Como la función arctan se puede aproximar de manera muy eficiente, fórmulas como esta, conocidas como fórmulas tipo Machin , se utilizan para aproximaciones de alta precisión de π . [ cita necesaria ]
La n -ésima potencia de un número complejo se puede calcular usando la fórmula de De Moivre , que se obtiene aplicando repetidamente la fórmula anterior para el producto: Por ejemplo, las primeras potencias de la unidad imaginaria i son .
Las n n ésimas raíces de un número complejo z están dadas por para 0 ≤ k ≤ n − 1 . (Aquí está la raíz n- ésima habitual (positiva) del número real positivo r .) Debido a que el seno y el coseno son periódicos, otros valores enteros de k no dan otros valores. Para cualquiera , existen, en particular, n raíces enésimas complejas distintas . Por ejemplo, hay 4 raíces cuartas de 1, a saber
En general, no existe una forma natural de distinguir una raíz n- ésima compleja particular de un número complejo. (Esto contrasta con las raíces de un número real positivo x , que tiene una única raíz n -ésima real positiva , que por lo tanto se conoce comúnmente como la raíz n -ésima de x ). Uno se refiere a esta situación diciendo que la n- ésima raíz es una función de valor n de z .
El teorema fundamental del álgebra , de Carl Friedrich Gauss y Jean le Rond d'Alembert , establece que para cualquier número complejo (llamado coeficientes ) a 0 ,..., an , la ecuación tiene al menos una solución compleja z , siempre que al menos uno de los coeficientes más altos a 1 , ..., an es distinto de cero. [16] Esta propiedad no se cumple para el cuerpo de los números racionales (el polinomio x 2 − 2 no tiene raíz racional, porque √2 no es un número racional) ni para los números reales (el polinomio x 2 + 4 no tiene tienen raíz real, porque el cuadrado de x es positivo para cualquier número real x ).
Por este hecho, se le llama campo algebraicamente cerrado . Es la piedra angular de diversas aplicaciones de números complejos, como se detalla más adelante. Hay varias pruebas de este teorema, ya sea mediante métodos analíticos como el teorema de Liouville , o topológicos como el número devanado , o una prueba que combina la teoría de Galois y el hecho de que cualquier polinomio real de grado impar tiene al menos una raíz real.
La solución en radicales (sin funciones trigonométricas ) de una ecuación cúbica general , cuando sus tres raíces son números reales, contiene las raíces cuadradas de números negativos , situación que no puede rectificarse mediante la factorización asistida por la prueba de la raíz racional , si la cúbico es irreducible ; este es el llamado casus irreducibilis ("caso irreductible"). Este enigma llevó al matemático italiano Gerolamo Cardano a concebir los números complejos alrededor de 1545 en su Ars Magna , [17] aunque su comprensión era rudimentaria; además, más tarde describió los números complejos como "tan sutiles como inútiles". [18] Cardano usó números imaginarios, pero describió su uso como "tortura mental". [19] Esto fue antes del uso del plano gráfico complejo. Cardano y otros matemáticos italianos, en particular Scipione del Ferro , crearon en el siglo XVI un algoritmo para resolver ecuaciones cúbicas que generalmente tenía una solución real y dos soluciones que contenían un número imaginario. Debido a que ignoraron las respuestas con números imaginarios, Cardano las encontró inútiles. [20]
El trabajo en el problema de los polinomios generales condujo finalmente al teorema fundamental del álgebra , que muestra que, con números complejos, existe una solución para cada ecuación polinómica de grado uno o superior. Los números complejos forman así un campo algebraicamente cerrado , donde cualquier ecuación polinómica tiene una raíz .
Muchos matemáticos contribuyeron al desarrollo de los números complejos. Las reglas para la suma, resta, multiplicación y extracción de raíces de números complejos fueron desarrolladas por el matemático italiano Rafael Bombelli . [21] El matemático irlandés William Rowan Hamilton desarrolló aún más un formalismo más abstracto para los números complejos , quien extendió esta abstracción a la teoría de los cuaterniones . [22]
Quizás pueda decirse que la primera referencia fugaz a las raíces cuadradas de números negativos se produjo en la obra del matemático griego Héroe de Alejandría en el siglo I d.C. , donde en su Stereometrica consideró, aparentemente por error, el volumen de un tronco imposible de una pirámide para llegar al término en sus cálculos, que hoy se simplificaría a . [b] Las cantidades negativas no fueron concebidas en las matemáticas helenísticas y Hero simplemente las reemplazó por sus positivas [24]
El ímpetu para estudiar los números complejos como un tema en sí mismo surgió por primera vez en el siglo XVI cuando los matemáticos italianos ( Niccolò Fontana Tartaglia y Gerolamo Cardano ) descubrieron soluciones algebraicas para las raíces de polinomios cúbicos y cuárticos . Pronto se comprendió (pero se demostró mucho más tarde) [25] que estas fórmulas, incluso si uno estuviera interesado sólo en soluciones reales, a veces requerían la manipulación de raíces cuadradas de números negativos. De hecho, más tarde se demostró que el uso de números complejos es inevitable cuando las tres raíces son reales y distintas. [c] Sin embargo, la fórmula general aún se puede utilizar en este caso, con cierto cuidado para abordar la ambigüedad resultante de la existencia de tres raíces cúbicas para números complejos distintos de cero. Rafael Bombelli fue el primero en abordar explícitamente estas soluciones aparentemente paradójicas de ecuaciones cúbicas y desarrolló las reglas para la aritmética compleja, tratando de resolver estas cuestiones.
El término "imaginario" para estas cantidades fue acuñado por René Descartes en 1637, quien se esforzó por enfatizar su naturaleza irreal: [26]
... a veces sólo imaginaria, es decir uno puede imaginar tantas como dije en cada ecuación, pero a veces no existe ninguna cantidad que coincida con la que imaginamos.
[ ... quelquefois solo imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en cada ecuación, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imaginar. ]
Una fuente adicional de confusión fue que la ecuación parecía ser caprichosamente inconsistente con la identidad algebraica , que es válida para números reales no negativos a y b , y que también se usaba en cálculos de números complejos con uno de a , b positivo y el otros negativos. El uso incorrecto de esta identidad en el caso en que a y b son negativos, y la identidad relacionada , atormentaba incluso a Leonhard Euler . Esta dificultad finalmente llevó a la convención de utilizar el símbolo especial i en lugar de para evitar este error. [ cita necesaria ] Aun así, Euler consideró natural presentar a los estudiantes los números complejos mucho antes de lo que lo hacemos hoy. En su libro de texto de álgebra elemental, Elementos de álgebra , introduce estos números casi de inmediato y luego los utiliza de forma natural en todo momento.
En el siglo XVIII, los números complejos ganaron un uso más amplio, ya que se observó que la manipulación formal de expresiones complejas podía usarse para simplificar cálculos que involucraban funciones trigonométricas. Por ejemplo, en 1730 Abraham de Moivre señaló que las identidades que relacionan funciones trigonométricas de un múltiplo entero de un ángulo con potencias de funciones trigonométricas de ese ángulo podrían reexpresarse mediante la siguiente fórmula de Moivre :
En 1748, Euler fue más allá y obtuvo la fórmula de análisis complejo de Euler : [27]
manipulando formalmente series de potencias complejas y observó que esta fórmula podría usarse para reducir cualquier identidad trigonométrica a identidades exponenciales mucho más simples.
La idea de un número complejo como un punto en el plano complejo (arriba) fue descrita por primera vez por el matemático danés - noruego Caspar Wessel en 1799, [28] aunque ya se había anticipado en 1685 en el Tratado de álgebra de Wallis . [29]
Las memorias de Wessel aparecieron en las Actas de la Academia de Copenhague , pero pasaron desapercibidas. En 1806, Jean-Robert Argand publicó de forma independiente un folleto sobre números complejos y proporcionó una prueba rigurosa del teorema fundamental del álgebra . [30] Carl Friedrich Gauss había publicado anteriormente una prueba esencialmente topológica del teorema en 1797, pero expresó sus dudas en ese momento sobre "la verdadera metafísica de la raíz cuadrada de −1". [31] No fue hasta 1831 que superó estas dudas y publicó su tratado sobre números complejos como puntos en el plano, [32] estableciendo en gran medida la notación y la terminología modernas: [33]
Si antes se contemplaba este tema desde un punto de vista falso y se encontraba una oscuridad misteriosa, esto se debe en gran parte a una terminología torpe. Si no se hubieran llamado unidades +1, −1, positivas, negativas o imaginarias (o incluso imposibles), sino, digamos, unidades directas, inversas o laterales, difícilmente se habría podido hablar de tal oscuridad.
A principios del siglo XIX, otros matemáticos descubrieron de forma independiente la representación geométrica de los números complejos: Buée, [34] [35] Mourey , [36] Warren, [37] [38] [39] Français y su hermano, Bellavitis . . [40] [41]
El matemático inglés GH Hardy comentó que Gauss fue el primer matemático en utilizar números complejos de "una manera realmente segura y científica", aunque matemáticos como el noruego Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacob Jacobi los utilizaban necesariamente de forma rutinaria antes de que Gauss publicara su tratado de 1831. [42]
Augustin-Louis Cauchy y Bernhard Riemann juntos llevaron las ideas fundamentales del análisis complejo a un alto estado de finalización, comenzando alrededor de 1825 en el caso de Cauchy.
Los términos comunes utilizados en la teoría se deben principalmente a los fundadores. Argand llamó cos φ + i sin φ al factor de dirección y al módulo ; [d] [43] Cauchy (1821) llamó cos φ + i sin φ la forma reducida (l'expression réduite) [44] y aparentemente introdujo el término argumento ; Gauss usó i para , [e] introdujo el término número complejo para a + bi , [f] y llamó a a 2 + b 2 la norma . [g] La expresión coeficiente de dirección , frecuentemente utilizada para cos φ + i sen φ , se debe a Hankel (1867), [48] y el valor absoluto, para módulo, se debe a Weierstrass.
Los escritores clásicos posteriores sobre la teoría general incluyen a Richard Dedekind , Otto Hölder , Felix Klein , Henri Poincaré , Hermann Schwarz , Karl Weierstrass y muchos otros. A principios del siglo XX se iniciaron trabajos importantes (incluida una sistematización) en el cálculo multivariante complejo. Wilhelm Wirtinger logró resultados importantes en 1927.
Si bien las definiciones de bajo nivel anteriores, incluidas la suma y la multiplicación, describen con precisión los números complejos, existen otros enfoques equivalentes que revelan la estructura algebraica abstracta de los números complejos de manera más inmediata.
Una forma de hacerlo es mediante polinomios , es decir, expresiones de la forma en que los coeficientes a 0 , ..., an son números reales. El conjunto de todos esos polinomios se denota por . Dado que las sumas y productos de polinomios son nuevamente polinomios, este conjunto forma un anillo conmutativo , llamado anillo polinomial (sobre los reales). A cada polinomio p , se le puede asignar el número complejo , es decir, el valor obtenido estableciendo . Esto define una función
Esta función es sobreyectiva ya que todo número complejo se puede obtener de tal forma: la evaluación de un polinomio lineal en es . Sin embargo, la evaluación del polinomio en i es 0, ya que este polinomio es irreducible , es decir, no puede escribirse como producto de dos polinomios lineales. Los hechos básicos del álgebra abstracta implican entonces que el núcleo del mapa anterior es un ideal generado por este polinomio, y que el cociente de este ideal es un campo, y que existe un isomorfismo.
entre el anillo cociente y . Algunos autores toman esto como la definición de . [49]
Aceptar que es algebraicamente cerrado, porque es una extensión algebraica de en este enfoque, es por lo tanto el cierre algebraico de
Los números complejos a + bi también se pueden representar mediante matrices de 2 × 2 que tienen la forma Aquí las entradas a y b son números reales. Como la suma y el producto de dos de esas matrices vuelven a tener esta forma, estas matrices forman un subanillo del anillo de matrices de 2 × 2 .
Un cálculo simple muestra que el mapa es un isomorfismo anular desde el campo de números complejos hasta el anillo de estas matrices, lo que demuestra que estas matrices forman un campo. Este isomorfismo asocia el cuadrado del valor absoluto de un número complejo con el determinante de la matriz correspondiente, y el conjugado de un número complejo con la transpuesta de la matriz.
La descripción geométrica de la multiplicación de números complejos también se puede expresar en términos de matrices de rotación utilizando esta correspondencia entre números complejos y dichas matrices. La acción de la matriz sobre un vector ( x , y ) corresponde a la multiplicación de x + iy por a + ib . En particular, si el determinante es 1 , existe un número real t tal que la matriz tiene la forma
En este caso, la acción de la matriz sobre los vectores y la multiplicación por el número complejo son ambas la rotación del ángulo t .
El estudio de funciones de una variable compleja se conoce como análisis complejo y tiene un enorme uso práctico en matemáticas aplicadas, así como en otras ramas de las matemáticas. A menudo, las pruebas más naturales de enunciados en análisis real o incluso en teoría de números emplean técnicas de análisis complejo (consulte el teorema de los números primos para ver un ejemplo).
A diferencia de las funciones reales, que comúnmente se representan como gráficos bidimensionales, las funciones complejas tienen gráficos de cuatro dimensiones y pueden ilustrarse útilmente codificando con colores un gráfico tridimensional para sugerir cuatro dimensiones, o animando la transformación dinámica de la función compleja de la función. plano complejo.
Las nociones de series convergentes y funciones continuas en el análisis (real) tienen análogos naturales en el análisis complejo. Se dice que una secuencia de números complejos converge si y sólo si sus partes real e imaginaria lo hacen. Esto es equivalente a la definición de límites (ε, δ) , donde el valor absoluto de los números reales se reemplaza por el de los números complejos. Desde un punto de vista más abstracto, dotado de la métrica es un espacio métrico completo , que incluye en particular la desigualdad del triángulo para dos números complejos cualesquiera z 1 y z 2 .
Como en el análisis real, esta noción de convergencia se utiliza para construir una serie de funciones elementales : la función exponencial exp z , también escrita e z , se define como la serie infinita , que se puede demostrar que converge para cualquier z : por ejemplo, es la constante de Euler . La fórmula de Euler dice: para cualquier número real φ . Esta fórmula es una rápida consecuencia de hechos básicos generales sobre series de potencias convergentes y las definiciones de las funciones involucradas como series de potencias. Como caso especial, esto incluye la identidad de Euler.
Para cualquier número real positivo t , existe un número real único x tal que . Esto lleva a la definición del logaritmo natural como la inversa de la función exponencial. La situación es diferente para los números complejos, ya que
por la ecuación funcional y la identidad de Euler. Por ejemplo, e iπ = e 3 iπ = −1 , por lo que tanto iπ como 3 iπ son valores posibles para el logaritmo complejo de −1 .
En general, dado cualquier número complejo distinto de cero w , cualquier número z resolviendo la ecuación
se llama logaritmo complejo de w , denotado . Se puede demostrar que estos números satisfacen donde arg es el argumento definido anteriormente y ln el logaritmo natural (real) . Como arg es una función multivalor , única solo hasta un múltiplo de 2 π , log también es multivalor. El valor principal de log a menudo se toma restringiendo la parte imaginaria al intervalo (− π , π ] . Esto lleva a que el logaritmo complejo sea una función biyectiva que toma valores en la franja (que se indica en la ilustración anterior)
Si no es un número real no positivo (un número positivo o no real), el valor principal resultante del logaritmo complejo se obtiene con − π < φ < π . Es una función analítica fuera de los números reales negativos, pero no se puede prolongar a una función que sea continua en cualquier número real negativo , donde el valor principal es ln z = ln(− z ) + iπ . [h]
La exponenciación compleja z ω se define como y tiene varios valores, excepto cuando ω es un número entero. Para ω = 1 / n , para algún número natural n , esto recupera la no unicidad de las n -ésimas raíces mencionadas anteriormente. Si z > 0 es real (y ω es un número complejo arbitrario), uno tiene la opción preferida de , el logaritmo real, que puede usarse para definir una función exponencial preferida.
Los números complejos, a diferencia de los números reales, en general no satisfacen las identidades de potencia y logaritmo no modificadas, particularmente cuando se tratan ingenuamente como funciones de un solo valor; ver falla de potencia e identidades de logaritmos . Por ejemplo, no satisfacen. Ambos lados de la ecuación tienen valores múltiples según la definición de exponenciación compleja dada aquí, y los valores de la izquierda son un subconjunto de los de la derecha.
Las series que definen las funciones trigonométricas reales seno y coseno , así como las funciones hiperbólicas senh y cosh, también se trasladan a argumentos complejos sin cambios. Para las otras funciones trigonométricas e hiperbólicas, como la tangente , las cosas son un poco más complicadas, ya que las series que las definen no convergen para todos los valores complejos. Por lo tanto, hay que definirlos en términos de seno, coseno y exponencial o, de manera equivalente, utilizando el método de continuación analítica .
Una función → se llama holomorfa o diferenciable compleja en un punto si el límite
existe (en cuyo caso se denota por ). Esto imita la definición de funciones diferenciables reales, excepto que todas las cantidades son números complejos. En términos generales, la libertad de abordar en diferentes direcciones impone una condición mucho más fuerte que ser (real) diferenciable. Por ejemplo, la función
es diferenciable como función , pero no es diferenciable compleja. Una función diferenciable real es diferenciable compleja si y sólo si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann , que a veces se abrevian como
El análisis complejo muestra algunas características que no son evidentes en el análisis real. Por ejemplo, el teorema de identidad afirma que dos funciones holomorfas f y g concuerdan si concuerdan en un subconjunto abierto arbitrariamente pequeño de . Las funciones meromorfas , funciones que pueden escribirse localmente como f ( z )/( z − z 0 ) n con una función holomorfa f , todavía comparten algunas de las características de las funciones holomorfas. Otras funciones tienen singularidades esenciales , como sin(1/ z ) en z = 0 .
Los números complejos tienen aplicaciones en muchas áreas científicas, incluido el procesamiento de señales , la teoría de control , el electromagnetismo , la dinámica de fluidos , la mecánica cuántica , la cartografía y el análisis de vibraciones . Algunas de estas aplicaciones se describen a continuación.
La conjugación compleja también se emplea en geometría inversiva , una rama de la geometría que estudia reflexiones más generales que las relativas a una línea. En el análisis de redes de circuitos eléctricos , el conjugado complejo se utiliza para encontrar la impedancia equivalente cuando se busca el teorema de transferencia de potencia máxima .
Tres puntos no colineales en el plano determinan la forma del triángulo . Ubicando los puntos en el plano complejo, esta forma de un triángulo puede expresarse mediante aritmética compleja como La forma de un triángulo seguirá siendo la misma cuando el plano complejo se transforme por traslación o dilatación (mediante una transformación afín ), correspondiente a la noción intuitiva de forma y descripción de similitud . Por tanto, cada triángulo pertenece a una clase de similitud de triángulos con la misma forma. [50]
El conjunto de Mandelbrot es un ejemplo popular de fractal formado en el plano complejo. Se define trazando cada ubicación donde la iteración de la secuencia no diverge cuando se itera infinitamente. De manera similar, los conjuntos de Julia tienen las mismas reglas, excepto que permanecen constantes.
Cada triángulo tiene una inelipse de Steiner única : una elipse dentro del triángulo y tangente a los puntos medios de los tres lados del triángulo. Los focos de la inelipse de Steiner de un triángulo se pueden encontrar de la siguiente manera, según el teorema de Marden : [51] [52] Denotemos los vértices del triángulo en el plano complejo como a = x A + y A i , b = x B + y B i , y c = x C + y C i . Escribe la ecuación cúbica , toma su derivada y equipara la derivada (cuadrática) a cero. El teorema de Marden dice que las soluciones de esta ecuación son los números complejos que denotan las ubicaciones de los dos focos de la inelipse de Steiner.
Como se mencionó anteriormente, cualquier ecuación polinómica no constante (en coeficientes complejos) tiene solución en . A fortiori , lo mismo ocurre si la ecuación tiene coeficientes racionales. Las raíces de tales ecuaciones se denominan números algebraicos y son un objeto principal de estudio en la teoría algebraica de números . En comparación con , la clausura algebraica de , que también contiene todos los números algebraicos, tiene la ventaja de ser fácilmente comprensible en términos geométricos. De esta forma, se pueden utilizar métodos algebraicos para estudiar cuestiones geométricas y viceversa. Con métodos algebraicos, más específicamente aplicando la maquinaria de la teoría de campos al campo numérico que contiene raíces de unidad , se puede demostrar que no es posible construir un nonágono regular usando sólo un compás y una regla , un problema puramente geométrico.
Otro ejemplo son los enteros gaussianos ; es decir, números de la forma x + iy , donde x e y son números enteros, que pueden usarse para clasificar sumas de cuadrados .
La teoría analítica de números estudia los números, a menudo enteros o racionales, aprovechando el hecho de que pueden considerarse números complejos, en los que se pueden utilizar métodos analíticos. Esto se hace codificando información de teoría de números en funciones de valores complejos. Por ejemplo, la función zeta de Riemann ζ( s ) está relacionada con la distribución de números primos .
En los campos aplicados, los números complejos se utilizan a menudo para calcular ciertas integrales impropias de valores reales , mediante funciones de valores complejos. Existen varios métodos para hacer esto; ver métodos de integración de contornos .
En las ecuaciones diferenciales , es común encontrar primero todas las raíces complejas r de la ecuación característica de una ecuación diferencial lineal o un sistema de ecuaciones y luego intentar resolver el sistema en términos de funciones base de la forma f ( t ) = e rt . Asimismo, en las ecuaciones en diferencias , se utilizan las raíces complejas r de la ecuación característica del sistema de ecuaciones en diferencias, para intentar resolver el sistema en términos de funciones base de la forma f ( t ) = rt .
Dado que es algebraicamente cerrada, cualquier matriz cuadrada compleja no vacía tiene al menos un valor propio (complejo) . En comparación, las matrices reales no siempre tienen valores propios reales; por ejemplo, las matrices de rotación (para rotaciones del plano para ángulos distintos de 0° o 180°) no dejan ninguna dirección fija y, por lo tanto, no tienen ningún valor propio real . La existencia de valores propios (complejos) y la consiguiente existencia de descomposición propia es una herramienta útil para calcular potencias matriciales y exponenciales matriciales .
Los números complejos suelen generalizar conceptos originalmente concebidos en los números reales. Por ejemplo, la transpuesta conjugada generaliza la transpuesta , las matrices hermitianas generalizan matrices simétricas y las matrices unitarias generalizan matrices ortogonales .
En la teoría del control , los sistemas a menudo se transforman del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia compleja utilizando la transformada de Laplace . A continuación se analizan los ceros y los polos del sistema en el plano complejo . Las técnicas del lugar de las raíces , el diagrama de Nyquist y el diagrama de Nichols utilizan el plano complejo.
En el método del lugar de las raíces, es importante si los ceros y los polos están en los semiplanos izquierdo o derecho, es decir, si tienen una parte real mayor o menor que cero. Si un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) tiene polos que son
Si un sistema tiene ceros en el semiplano derecho, es un sistema de fase no mínima .
Los números complejos se utilizan en el análisis de señales y otros campos para una descripción conveniente de señales que varían periódicamente. Para funciones reales dadas que representan cantidades físicas reales, a menudo en términos de senos y cosenos, se consideran funciones complejas correspondientes cuyas partes reales son las cantidades originales. Para una onda sinusoidal de una frecuencia determinada , el valor absoluto | z | del correspondiente z es la amplitud y el argumento arg z es la fase .
Si se emplea el análisis de Fourier para escribir una señal de valor real dada como una suma de funciones periódicas, estas funciones periódicas a menudo se escriben como funciones de valores complejos de la forma
y
donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo A codifica la fase y la amplitud como se explicó anteriormente.
Este uso también se extiende al procesamiento de señales digitales y al procesamiento de imágenes digitales , que utilizan versiones digitales del análisis de Fourier (y análisis de ondas ) para transmitir, comprimir , restaurar y procesar señales de audio digitales , imágenes fijas y señales de video .
Otro ejemplo, relevante para las dos bandas laterales de modulación de amplitud de la radio AM, es:
En ingeniería eléctrica , la transformada de Fourier se utiliza para analizar voltajes y corrientes variables . El tratamiento de resistencias , condensadores e inductores se puede unificar introduciendo resistencias imaginarias dependientes de la frecuencia para los dos últimos y combinando los tres en un único número complejo llamado impedancia . Este enfoque se llama cálculo fasorial .
En ingeniería eléctrica, la unidad imaginaria se denota por j , para evitar confusión con I , que generalmente se usa para denotar corriente eléctrica , o, más particularmente, i , que generalmente se usa para denotar corriente eléctrica instantánea.
Debido a que el voltaje en un circuito de CA oscila, se puede representar como
Para obtener la cantidad mensurable se toma la parte real:
La señal de valor complejo V ( t ) se denomina representación analítica de la señal medible de valor real v ( t ) . [53]
En dinámica de fluidos , se utilizan funciones complejas para describir el flujo potencial en dos dimensiones .
El campo de números complejos es intrínseco a las formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica , donde los espacios complejos de Hilbert proporcionan el contexto para una de esas formulaciones que es conveniente y quizás la más estándar. Las fórmulas fundamentales originales de la mecánica cuántica (la ecuación de Schrödinger y la mecánica matricial de Heisenberg ) utilizan números complejos.
En relatividad especial y general , algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo se vuelven más simples si se toma el componente tiempo del continuo espacio-tiempo como imaginario. (Este enfoque ya no es estándar en la relatividad clásica, pero se utiliza de manera esencial en la teoría cuántica de campos ). Los números complejos son esenciales para los espinores , que son una generalización de los tensores utilizados en la relatividad.
El campo tiene las siguientes tres propiedades:
Se puede demostrar que cualquier campo que tenga estas propiedades es isomorfo (como campo) a. Por ejemplo, la clausura algebraica del campo del número p -ádico también satisface estas tres propiedades, por lo que estos dos campos son isomorfos (como campos, pero no como campos topológicos). [54] Además, es isomorfo al campo de series complejas de Puiseux . Sin embargo, especificar un isomorfismo requiere el axioma de elección . Otra consecuencia de esta caracterización algebraica es que contiene muchos subcampos propios que son isomorfos a .
La caracterización anterior de describe sólo los aspectos algebraicos de Es decir, no se tratan las propiedades de cercanía y continuidad , que son importantes en áreas como el análisis y la topología . La siguiente descripción de un campo topológico (es decir, un campo que está equipado con una topología , que permite la noción de convergencia) sí tiene en cuenta las propiedades topológicas. contiene un subconjunto P (es decir, el conjunto de números reales positivos) de elementos distintos de cero que satisfacen las tres condiciones siguientes:
Además, tiene un automorfismo involutivo no trivial x ↦ x * (es decir, la conjugación compleja), tal que x x * está en P para cualquier x distinto de cero en
Cualquier campo F con estas propiedades puede dotarse de una topología tomando los conjuntos B ( x , p ) = { y | p − ( y − x )( y − x )* ∈ P } como base , donde x se extiende sobre el campo y p se extiende sobre P. Con esta topología F es isomorfo como campo topológico a
Los únicos campos topológicos localmente compactos conectados son y Esto da otra caracterización de como campo topológico, porque se puede distinguir porque los números complejos distintos de cero están conectados , mientras que los números reales distintos de cero no lo son. [55]
El proceso de ampliación del campo de reales es un ejemplo de la construcción de Cayley-Dickson . Aplicando esta construcción iterativamente se obtienen los cuaterniones , los octoniones y los sedeniones . [56] Esta construcción resulta disminuir las propiedades estructurales de los sistemas numéricos involucrados.
A diferencia de los reales, no es un campo ordenado , es decir, no es posible definir una relación z 1 < z 2 que sea compatible con la suma y la multiplicación. De hecho, en cualquier campo ordenado, el cuadrado de cualquier elemento es necesariamente positivo, por lo que i 2 = −1 excluye la existencia de un ordenamiento en [57] Al pasar de a los cuaterniones pierden conmutatividad, mientras que los octoniones (además de no ser conmutativos) ) no son asociativos. Los números reales, complejos, cuaterniones y octoniones son álgebras de división normadas sobre . Según el teorema de Hurwitz , son los únicos; los sedeniones , el siguiente paso en la construcción de Cayley-Dickson, no tienen esta estructura.
La construcción de Cayley-Dickson está estrechamente relacionada con la representación regular del pensamiento como un -álgebra (un espacio vectorial con una multiplicación), con respecto a la base (1, i ) . Esto significa lo siguiente: el mapa lineal para algún número complejo fijo w se puede representar mediante una matriz de 2 × 2 (una vez que se ha elegido una base). Con respecto a la base (1, i ) , esta matriz es la mencionada en la sección sobre representación matricial de números complejos anterior. Si bien esta es una representación lineal de las matrices reales de 2 × 2, no es la única. Cualquier matriz tiene la propiedad de que su cuadrado es el negativo de la matriz identidad: J 2 = − I . Entonces también es isomorfo al campo y da una estructura compleja alternativa. Esto se generaliza mediante la noción de estructura compleja lineal .
Los números hipercomplejos también se generalizan y, por ejemplo, esta noción contiene los números complejos divididos , que son elementos del anillo (a diferencia de los números complejos). En este anillo, la ecuación a 2 = 1 tiene cuatro soluciones.
El campo es la compleción del campo de los números racionales , con respecto a la métrica habitual de valor absoluto . Otras opciones de métricas conducen a los campos de p -números ádicos (para cualquier número primo p ), que son, por tanto, análogos a . No hay otras formas no triviales de completar que y según el teorema de Ostrowski . Las clausuras algebraicas de todavía llevan una norma, pero (a diferencia de ) no están completas con respecto a ella. La terminación de resulta ser algebraicamente cerrada. Por analogía, el campo se llama p -números complejos ádicos.
Los campos y sus extensiones de campos finitos, incluidos, se denominan campos locales .
El uso de
i
(o griego
ı
) para el símbolo imaginario es casi universal en el trabajo matemático, lo cual es una razón muy importante para conservarlo en las aplicaciones de las matemáticas en ingeniería eléctrica. Sin embargo, aparte de la cuestión de las convenciones establecidas y la facilidad de referencia a la literatura matemática, la sustitución del símbolo
j
es objetable debido a la terminología vectorial con la que se ha asociado en la literatura de ingeniería, y también debido a la confusión resultante de la práctica dividida de los escritores de ingeniería, algunos usan
j
para +
i
y otros usan
j
para −
i
.
En ingeniería eléctrica se utiliza la letra j en lugar de i .
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