Arquímedes de Siracusa [ a] ( /ˌɑːrkɪˈm iːd iːz / AR-kim-EE-deez; [2] c. 287 – c. 212 a. C.) fue un matemático, físico, ingeniero , astrónomo e inventor de la antigua Grecia , oriundo de la ciudad de Siracusa , en Sicilia . [ 3 ] Aunque se conocen pocos detalles de su vida , se le considera uno de los científicos más destacados de la antigüedad clásica . Considerado el mayor matemático de la historia antigua y uno de los más grandes de todos los tiempos, [4] Arquímedes anticipó el cálculo y el análisis modernos al aplicar el concepto de lo infinitamente pequeño y el método de agotamiento para derivar y demostrar rigurosamente una serie de teoremas geométricos . [5] [6] Entre ellas se incluyen el área de un círculo , el área de la superficie y el volumen de una esfera , el área de una elipse , el área bajo una parábola , el volumen de un segmento de un paraboloide de revolución , el volumen de un segmento de un hiperboloide de revolución y el área de una espiral . [7] [8]
Otros logros matemáticos de Arquímedes incluyen la derivación de una aproximación de pi , la definición e investigación de la espiral de Arquímedes y el diseño de un sistema que utiliza la exponenciación para expresar números muy grandes . También fue uno de los primeros en aplicar las matemáticas a los fenómenos físicos , trabajando en estática e hidrostática . Los logros de Arquímedes en esta área incluyen una prueba de la ley de la palanca , [9] el uso generalizado del concepto de centro de gravedad , [10] y la enunciación de la ley de flotabilidad conocida como principio de Arquímedes . [11] También se le atribuye el diseño de máquinas innovadoras , como su bomba de tornillo , poleas compuestas y máquinas de guerra defensivas para proteger a su natal Siracusa de la invasión.
Arquímedes murió durante el asedio de Siracusa , cuando fue asesinado por un soldado romano a pesar de las órdenes de que no se le hiciera daño. Cicerón describe una visita a la tumba de Arquímedes, que estaba coronada por una esfera y un cilindro que Arquímedes pidió que se colocaran allí para representar sus descubrimientos matemáticos.
A diferencia de sus inventos, los escritos matemáticos de Arquímedes eran poco conocidos en la antigüedad. Los matemáticos de Alejandría lo leían y citaban, pero la primera compilación completa no se realizó hasta alrededor del 530 d. C. por Isidoro de Mileto en la Constantinopla bizantina , mientras que los comentarios sobre las obras de Arquímedes por parte de Eutocio en el siglo VI las abrieron a un público más amplio por primera vez. Las relativamente pocas copias de la obra escrita de Arquímedes que sobrevivieron a la Edad Media fueron una fuente influyente de ideas para los científicos durante el Renacimiento y nuevamente en el siglo XVII , [12] [13] mientras que el descubrimiento en 1906 de obras previamente perdidas de Arquímedes en el Palimpsesto de Arquímedes ha proporcionado nuevas perspectivas sobre cómo obtuvo resultados matemáticos. [14] [15] [16] [17]
Arquímedes nació alrededor del año 287 a. C. en la ciudad portuaria de Siracusa , Sicilia , en ese momento una colonia autónoma en la Magna Grecia . La fecha de nacimiento se basa en una declaración del erudito griego bizantino John Tzetzes de que Arquímedes vivió durante 75 años antes de su muerte en el año 212 a. C. [8] Plutarco escribió en sus Vidas paralelas que Arquímedes estaba relacionado con el rey Hierón II , el gobernante de Siracusa, aunque Cicerón sugiere que era de origen humilde. [18] [19] En el Libro de Arena , Arquímedes da el nombre de su padre como Fidias, un astrónomo sobre el que no se sabe nada más. [19] [20] Una biografía de Arquímedes fue escrita por su amigo Heráclides, pero esta obra se ha perdido, dejando oscuros los detalles de su vida. Se desconoce, por ejemplo, si alguna vez se casó o tuvo hijos, o si visitó Alejandría , Egipto, durante su juventud. [21] De sus obras escritas sobrevivientes, está claro que mantuvo relaciones colegiales con eruditos establecidos allí, incluido su amigo Conón de Samos y el bibliotecario jefe Eratóstenes de Cirene . [b]
Las versiones estándar de la vida de Arquímedes fueron escritas mucho después de su muerte por historiadores griegos y romanos. La primera referencia a Arquímedes aparece en Las historias de Polibio ( c. 200-118 a. C.), escrita unos 70 años después de su muerte. [19] Arroja poca luz sobre Arquímedes como persona, y se centra en las máquinas de guerra que se dice que construyó para defender la ciudad de los romanos. [22] Polibio comenta cómo, durante la Segunda Guerra Púnica , Siracusa cambió su lealtad de Roma a Cartago , lo que resultó en una campaña militar bajo el mando de Marco Claudio Marcelo y Apio Claudio Pulcro , que sitiaron la ciudad desde 213 hasta 212 a. C. Señala que los romanos subestimaron las defensas de Siracusa y menciona varias máquinas que diseñó Arquímedes, incluidas catapultas mejoradas , máquinas similares a grúas que podían girar en un arco y otros lanzadores de piedras . Aunque los romanos finalmente capturaron la ciudad, sufrieron pérdidas considerables debido a la inventiva de Arquímedes. [23]
Cicerón (106-43 a. C.) menciona a Arquímedes en algunas de sus obras. [19] Mientras servía como cuestor en Sicilia, Cicerón encontró lo que se presumía que era la tumba de Arquímedes cerca de la puerta de Agrigentine en Siracusa, en un estado de abandono y cubierta de arbustos. [8] [24] Cicerón hizo limpiar la tumba y pudo ver la talla y leer algunos de los versos que se habían añadido como inscripción. La tumba tenía una escultura que ilustraba la prueba matemática favorita de Arquímedes , de que el volumen y el área de la superficie de la esfera son dos tercios de los de un cilindro que la encierra, incluidas sus bases. [25] [26] También menciona que Marcelo llevó a Roma dos planetarios construidos por Arquímedes. [27] El historiador romano Livio (59 a. C.-17 d. C.) vuelve a contar la historia de Polibio sobre la captura de Siracusa y el papel de Arquímedes en ella. [22]
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Plutarco (45-119 d. C.) ofrece al menos dos relatos sobre cómo murió Arquímedes después de que Siracusa fuera tomada. [19] Según el relato más popular, Arquímedes estaba contemplando un diagrama matemático cuando la ciudad fue capturada. Un soldado romano le ordenó que fuera a encontrarse con Marcelo, pero él se negó, diciendo que tenía que terminar de trabajar en el problema. Esto enfureció al soldado, que mató a Arquímedes con su espada. Otra historia cuenta que Arquímedes llevaba instrumentos matemáticos antes de ser asesinado porque un soldado pensó que eran objetos valiosos. Se dice que Marcelo se enojó por la muerte de Arquímedes, ya que lo consideraba un valioso activo científico (llamó a Arquímedes "un Briareo geométrico ") y había ordenado que no se le hiciera daño. [29] [30]
Las últimas palabras atribuidas a Arquímedes son « No perturbes mis círculos » ( en latín , « Noli turbare circulos meos »; en griego katharevousa , «μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε»), una referencia al dibujo matemático que supuestamente estaba estudiando cuando fue perturbado por el soldado romano. [19] No hay evidencia confiable de que Arquímedes pronunció estas palabras y no aparecen en el relato de Plutarco. Una cita similar se encuentra en la obra de Valerio Máximo (fl. 30 d. C.), quien escribió en Hechos y dichos memorables , « ... sed protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum disturbare' » («... pero protegiendo el polvo con sus manos, dijo: 'Te lo ruego, no perturbes esto ' »). [22]
La anécdota más conocida sobre Arquímedes cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto con forma irregular. Según Vitruvio , se había fabricado una corona para un templo para el rey Hierón II de Siracusa , quien proporcionó el oro puro que se utilizaría. La corona probablemente tenía la forma de una corona votiva . [31] Se le pidió a Arquímedes que determinara si el orfebre había sustituido algo de plata sin dañar la corona, de modo que no pudiera fundirla en un cuerpo de forma regular para calcular su densidad . [32]
En este relato, Arquímedes se dio cuenta mientras se bañaba que el nivel del agua de la bañera subía a medida que él se metía en ella, y se dio cuenta de que este efecto podría utilizarse para determinar el volumen de la corona de oro . Arquímedes estaba tan emocionado por este descubrimiento que salió a la calle desnudo, habiéndose olvidado de vestirse, gritando " ¡Eureka !" ( griego : "εὕρηκα , heúrēka !, lit. ' ¡Lo he encontrado! ' ). A efectos prácticos, el agua es incompresible, [33] por lo que la corona sumergida desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Dividiendo la masa de la corona por el volumen de agua desplazada, se podía obtener su densidad; si se hubieran añadido metales más baratos y menos densos, la densidad sería menor que la del oro. Arquímedes descubrió que esto era lo que había sucedido, lo que demostraba que se había mezclado plata. [31] [32]
La historia de la corona de oro no aparece en ninguna parte de las obras conocidas de Arquímedes. La viabilidad del método descrito ha sido puesta en duda debido a la extrema precisión que se requeriría para medir el desplazamiento de agua . [34] Arquímedes puede haber buscado en cambio una solución que aplicara el principio hidrostático conocido como principio de Arquímedes , que se encuentra en su tratado Sobre los cuerpos flotantes : un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación igual al peso del fluido que desplaza. [35] Usando este principio, habría sido posible comparar la densidad de la corona con la del oro puro equilibrándola en una balanza con una muestra de referencia de oro puro del mismo peso, luego sumergiendo el aparato en agua. La diferencia de densidad entre las dos muestras haría que la balanza se inclinara en consecuencia. [11] Galileo Galilei , quien inventó una balanza hidrostática en 1586 inspirado en el trabajo de Arquímedes, consideró "probable que este método sea el mismo que siguió Arquímedes, ya que, además de ser muy preciso, se basa en demostraciones encontradas por el propio Arquímedes". [36] [37]
Aunque Arquímedes no inventó la palanca , dio una prueba matemática del principio involucrado en su obra Sobre el equilibrio de los planos . [38] Descripciones anteriores del principio de la palanca se encuentran en una obra de Euclides y en los Problemas mecánicos , pertenecientes a la escuela peripatética de los seguidores de Aristóteles , cuya autoría ha sido atribuida por algunos a Arquitas . [39] [40]
Existen varios informes, a menudo contradictorios, sobre las hazañas de Arquímedes usando la palanca para levantar objetos muy pesados. Plutarco describe cómo Arquímedes diseñó sistemas de poleas de poleas , que permitían a los marineros usar el principio de palanca para levantar objetos que de otro modo habrían sido demasiado pesados para mover. [41] Según Pappus de Alejandría , el trabajo de Arquímedes sobre las palancas y su comprensión de la ventaja mecánica le hicieron comentar: "Dadme un punto de apoyo y moveré la Tierra" ( griego : δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω ). [42] Olimpiodoro atribuyó más tarde la misma fanfarronada a la invención de Arquímedes del baroulkos , una especie de molinete , en lugar de a la palanca. [43]
Una gran parte del trabajo de Arquímedes en ingeniería probablemente surgió de satisfacer las necesidades de su ciudad natal de Siracusa . Ateneo de Naucratis cita a un tal Moschion en una descripción sobre cómo el rey Hierón II encargó el diseño de un enorme barco, el Syracusia , que podría usarse para viajes de lujo, transportar suministros y como exhibición de poder naval . [44] Se dice que el Syracusia fue el barco más grande construido en la antigüedad clásica y, según el relato de Moschion, fue botado por Arquímedes. [43] El barco presumiblemente era capaz de transportar a 600 personas e incluía decoraciones de jardín, un gimnasio y un templo dedicado a la diosa Afrodita entre sus instalaciones. [45] El relato también menciona que, para eliminar cualquier posible fuga de agua a través del casco, Arquímedes diseñó un dispositivo con una cuchilla giratoria en forma de tornillo dentro de un cilindro.
El tornillo de Arquímedes se hacía girar a mano y también podía utilizarse para transferir agua desde un cuerpo de agua bajo hasta canales de riego. El tornillo todavía se utiliza hoy en día para bombear líquidos y sólidos granulados como carbón y cereales. Descrito por Vitruvio , el dispositivo de Arquímedes puede haber sido una mejora de una bomba de tornillo que se utilizó para regar los Jardines Colgantes de Babilonia . [46] [47] El primer barco de vapor del mundo con una hélice de tornillo fue el SS Archimedes , que se botó en 1839 y recibió su nombre en honor a Arquímedes y su trabajo en el tornillo. [48]
Se dice que Arquímedes diseñó una garra como arma para defender la ciudad de Siracusa. También conocida como "El agitador de barcos , la garra, consistía en un brazo parecido a una grúa del que colgaba un gran gancho de metal . Cuando la garra caía sobre un barco atacante, el brazo se balanceaba hacia arriba, levantando el barco fuera del agua y posiblemente hundiéndolo. [49]
Se han realizado experimentos modernos para probar la viabilidad de la garra, y en 2005 un documental de televisión titulado Superweapons of the Ancient World construyó una versión de la garra y concluyó que era un dispositivo viable. [50] A Arquímedes también se le atribuye la mejora de la potencia y la precisión de la catapulta , y la invención del odómetro durante la Primera Guerra Púnica . El odómetro fue descrito como un carro con un mecanismo de engranajes que dejaba caer una bola en un contenedor después de cada milla recorrida. [51]
Según cuenta la leyenda, Arquímedes dispuso espejos como reflectores parabólicos para quemar los barcos que atacaban a Siracusa utilizando la luz solar enfocada. Si bien no hay evidencia contemporánea existente de esta hazaña y los eruditos modernos creen que no sucedió, Arquímedes puede haber escrito una obra sobre espejos titulada Catoptrica , [c] y Luciano y Galeno , escribiendo en el siglo II d. C., mencionaron que durante el asedio de Siracusa Arquímedes había quemado barcos enemigos. Casi cuatrocientos años después, Antemio , a pesar del escepticismo, intentó reconstruir la geometría hipotética del reflector de Arquímedes. [52]
El supuesto dispositivo, a veces llamado " rayo de calor de Arquímedes ", ha sido objeto de un debate continuo sobre su credibilidad desde el Renacimiento . [53] René Descartes lo rechazó como falso, mientras que los investigadores modernos han intentado recrear el efecto utilizando solo los medios que habrían estado disponibles para Arquímedes, en su mayoría con resultados negativos. [54] [55] Se ha sugerido que se podría haber empleado una gran variedad de escudos de bronce o cobre altamente pulidos que actuaran como espejos para enfocar la luz solar sobre un barco, pero el efecto general habría sido cegador, deslumbrante o distrayente para la tripulación del barco en lugar de fuego. [56] Usando materiales modernos y a mayor escala, los hornos solares que concentran la luz solar pueden alcanzar temperaturas muy altas y, a veces, se utilizan para generar electricidad . [57]
Arquímedes analiza las mediciones astronómicas de la Tierra, el Sol y la Luna, así como el modelo heliocéntrico del universo de Aristarco , en el Sand-Reckoner . Sin el uso de trigonometría ni de una tabla de cuerdas, Arquímedes determina el diámetro aparente del Sol describiendo primero el procedimiento y el instrumento utilizado para realizar las observaciones (una varilla recta con clavijas o ranuras), [58] [59] aplicando factores de corrección a estas mediciones y, finalmente, dando el resultado en forma de límites superior e inferior para tener en cuenta el error de observación. [20] Ptolomeo , citando a Hiparco, también hace referencia a las observaciones del solsticio de Arquímedes en el Almagesto . Esto convertiría a Arquímedes en el primer griego conocido en haber registrado múltiples fechas y horas de solsticio en años sucesivos. [21]
El De re publica de Cicerón retrata una conversación ficticia que tiene lugar en el año 129 a. C. Después de la captura de Siracusa en la Segunda Guerra Púnica , se dice que Marcelo llevó de vuelta a Roma dos mecanismos construidos por Arquímedes y que mostraban el movimiento del Sol, la Luna y cinco planetas. Cicerón también menciona mecanismos similares diseñados por Tales de Mileto y Eudoxo de Cnido . El diálogo dice que Marcelo se quedó con uno de los dispositivos como su único botín personal de Siracusa y donó el otro al Templo de la Virtud en Roma. El mecanismo de Marcelo fue demostrado, según Cicerón, por Cayo Sulpicio Galo a Lucio Furio Filo , quien lo describió así: [60] [61]
Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione .
Cuando Galo movió el globo, sucedió que la Luna siguió al Sol tantas vueltas en aquel artefacto de bronce como en el cielo mismo, de modo que también en el cielo el globo del Sol empezó a tener ese mismo eclipse, y la Luna llegó entonces a aquella posición que era su sombra sobre la Tierra cuando el Sol estaba en línea.
Esta es una descripción de un pequeño planetario . Pappus de Alejandría informa sobre un tratado ahora perdido de Arquímedes que trata sobre la construcción de estos mecanismos titulado Sobre la fabricación de esferas . [27] [62] La investigación moderna en esta área se ha centrado en el mecanismo de Antikythera , otro dispositivo construido alrededor del año 100 a . C. probablemente diseñado con un propósito similar. [63] La construcción de mecanismos de este tipo habría requerido un conocimiento sofisticado de engranajes diferenciales . [64] Alguna vez se pensó que esto había estado más allá del alcance de la tecnología disponible en la antigüedad, pero el descubrimiento del mecanismo de Antikythera en 1902 ha confirmado que los dispositivos de este tipo eran conocidos por los antiguos griegos. [65] [66]
Aunque a menudo se lo considera un diseñador de dispositivos mecánicos, Arquímedes también hizo contribuciones al campo de las matemáticas . Plutarco escribió que Arquímedes "puso todo su afecto y ambición en aquellas especulaciones más puras en las que no puede haber referencia a las necesidades vulgares de la vida", [29] aunque algunos académicos creen que esto puede ser una caracterización errónea. [67] [68] [69]
Arquímedes fue capaz de utilizar los indivisibles (un precursor de los infinitesimales ) de una manera similar al cálculo integral moderno . [5] A través de la prueba por contradicción ( reductio ad absurdum ), pudo dar respuestas a problemas con un grado arbitrario de precisión, al tiempo que especificaba los límites dentro de los cuales se encontraba la respuesta. Esta técnica se conoce como el método de exhausción , y la empleó para aproximar las áreas de las figuras y el valor de π .
En Medición de un círculo , lo hizo dibujando un hexágono regular más grande fuera de un círculo y luego un hexágono regular más pequeño dentro del círculo, y duplicando progresivamente el número de lados de cada polígono regular , calculando la longitud de un lado de cada polígono en cada paso. A medida que aumenta el número de lados, se convierte en una aproximación más precisa de un círculo. Después de cuatro de esos pasos, cuando los polígonos tenían 96 lados cada uno, pudo determinar que el valor de π se encontraba entre 3 1/7 (aprox. 3,1429) y 3 10/71 (aprox. 3,1408), consistente con su valor real de aproximadamente 3,1416. [70] También demostró que el área de un círculo era igual a π multiplicado por el cuadrado del radio del círculo ( ).
En De la esfera y el cilindro , Arquímedes postula que cualquier magnitud, cuando se suma a sí misma suficientes veces, excederá a cualquier magnitud dada. Hoy en día, esto se conoce como la propiedad arquimediana de los números reales. [71]
Arquímedes da el valor de la raíz cuadrada de 3 como comprendido entre 265/153 (aproximadamente 1,7320261) y 1351/780 (aproximadamente 1,7320512) en Medición de un círculo . El valor real es aproximadamente 1,7320508, lo que hace que esta sea una estimación muy precisa. Presentó este resultado sin ofrecer ninguna explicación de cómo lo había obtenido. Este aspecto del trabajo de Arquímedes hizo que John Wallis comentara que él era: "como si hubiera tenido el propósito de haber ocultado las huellas de su investigación como si hubiera negado a la posteridad el secreto de su método de investigación mientras deseaba arrancarle el asentimiento a sus resultados". [72] Es posible que utilizara un procedimiento iterativo para calcular estos valores. [73] [74]
En Cuadratura de la Parábola , Arquímedes demostró que el área encerrada por una parábola y una línea recta es4/3 multiplicado por el área de un triángulo inscrito correspondiente , como se muestra en la figura de la derecha. Expresó la solución del problema como una serie geométrica infinita con la razón común 1/4:
Si el primer término de esta serie es el área del triángulo, entonces el segundo es la suma de las áreas de dos triángulos cuyas bases son las dos rectas secantes menores , y cuyo tercer vértice es donde la recta que es paralela al eje de la parábola y que pasa por el punto medio de la base interseca la parábola, y así sucesivamente. Esta demostración utiliza una variación de la serie 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · que suma 1/3 .
En El contador de arena , Arquímedes se propuso calcular un número que fuera mayor que los granos de arena necesarios para llenar el universo. Al hacerlo, desafió la noción de que la cantidad de granos de arena era demasiado grande para ser contada. Escribió:
Hay algunos, rey Gelón , que piensan que el número de la arena es infinito en multitud; y por arena entiendo no sólo la que existe alrededor de Siracusa y el resto de Sicilia, sino también la que se encuentra en cada región, ya sea habitada o deshabitada.
Para resolver el problema, Arquímedes ideó un sistema de conteo basado en la miríada . La palabra en sí deriva del griego μυριάς , murias , para el número 10.000. Propuso un sistema numérico utilizando potencias de una miríada de miríadas (100 millones, es decir, 10.000 x 10.000) y concluyó que el número de granos de arena necesarios para llenar el universo sería de 8 vigintillones , u 8 × 1063 . [75]
Las obras de Arquímedes fueron escritas en griego dórico , el dialecto de la antigua Siracusa. [76] Muchas obras escritas por Arquímedes no han sobrevivido o solo existen en fragmentos muy editados; se sabe que existieron al menos siete de sus tratados debido a referencias hechas por otros autores. [8] Pappus de Alejandría menciona Sobre la fabricación de esferas y otra obra sobre poliedros , mientras que Teón de Alejandría cita una observación sobre la refracción de la ahora perdida Catoptrica . [c]
Arquímedes dio a conocer su obra a través de la correspondencia con los matemáticos de Alejandría . Los escritos de Arquímedes fueron recopilados por primera vez por el arquitecto griego bizantino Isidoro de Mileto ( c. 530 d. C. ), mientras que los comentarios sobre las obras de Arquímedes escritos por Eutocio en el siglo VI d. C. ayudaron a llevar su obra a un público más amplio. La obra de Arquímedes fue traducida al árabe por Thābit ibn Qurra (836-901 d. C.), y al latín vía árabe por Gerardo de Cremona (c. 1114-1187). Las traducciones directas del griego al latín fueron realizadas más tarde por Guillermo de Moerbeke (c. 1215-1286) y Iacobus Cremonensis (c. 1400-1453). [77] [78]
Durante el Renacimiento , la Editio princeps (Primera Edición) fue publicada en Basilea en 1544 por Johann Herwagen con las obras de Arquímedes en griego y latín. [79]
A continuación se presentan ordenados cronológicamente con base en los nuevos criterios terminológicos e históricos establecidos por Knorr (1978) y Sato (1986). [80] [81]
Se trata de una obra breve que consta de tres proposiciones. Está escrita en forma de correspondencia con Dositeo de Pelusio, que fue alumno de Conón de Samos . En la Proposición II, Arquímedes da una aproximación del valor de pi ( π ), demostrando que es mayor que 223/71 (3.1408...) y menos de 22/7 (3.1428...).
En este tratado, también conocido como Psammitas , Arquímedes encuentra un número que es mayor que los granos de arena necesarios para llenar el universo. En este libro se menciona la teoría heliocéntrica del sistema solar propuesta por Aristarco de Samos , así como las ideas contemporáneas sobre el tamaño de la Tierra y la distancia entre varios cuerpos celestes . Al utilizar un sistema de números basado en potencias de la miríada , Arquímedes concluye que el número de granos de arena necesarios para llenar el universo es de 8 × 1063 en notación moderna. La carta introductoria afirma que el padre de Arquímedes era un astrónomo llamado Fidias. El Calculador de Arena es la única obra que se conserva en la que Arquímedes habla de sus puntos de vista sobre la astronomía. [82]
El libro Sobre el equilibrio de los planos consta de dos libros : el primero contiene siete postulados y quince proposiciones , mientras que el segundo contiene diez proposiciones. En el primer libro, Arquímedes demuestra la ley de la palanca , que establece que:
Las magnitudes están en equilibrio a distancias recíprocamente proporcionales a sus pesos.
Arquímedes utiliza los principios derivados para calcular las áreas y centros de gravedad de varias figuras geométricas, incluidos triángulos , paralelogramos y parábolas . [83]
En esta obra de 24 proposiciones dirigida a Dositeo, Arquímedes demuestra por dos métodos que el área encerrada por una parábola y una recta es 4/3 del área de un triángulo de igual base y altura. Lo consigue en una de sus demostraciones calculando el valor de una serie geométrica que suma al infinito con la razón 1/4.
En este tratado de dos volúmenes dirigido a Dositeo, Arquímedes obtiene el resultado del que estaba más orgulloso, a saber, la relación entre una esfera y un cilindro circunscrito de la misma altura y diámetro . El volumen es4/3 π r 3 para la esfera y 2 π r 3 para el cilindro. El área de la superficie es 4 π r 2 para la esfera y 6 π r 2 para el cilindro (incluyendo sus dos bases), donde r es el radio de la esfera y el cilindro.
Esta obra de 28 proposiciones también está dirigida a Dositeo. El tratado define lo que hoy se llama espiral de Arquímedes . Es el lugar geométrico de los puntos correspondientes a las posiciones en el tiempo de un punto que se aleja de un punto fijo con una velocidad constante a lo largo de una línea que gira con velocidad angular constante . De manera equivalente, en coordenadas polares modernas ( r , θ ), se puede describir mediante la ecuación con números reales a y b .
Éste es un ejemplo temprano de una curva mecánica (una curva trazada por un punto en movimiento ) considerada por un matemático griego.
Se trata de una obra de 32 proposiciones dirigida a Dositeo. En este tratado Arquímedes calcula las áreas y volúmenes de secciones de conos , esferas y paraboloides.
Existen dos libros de Sobre los cuerpos flotantes . En el primero, Arquímedes explica la ley del equilibrio de los fluidos y demuestra que el agua adopta una forma esférica alrededor de un centro de gravedad. Esto puede haber sido un intento de explicar la teoría de astrónomos griegos contemporáneos como Eratóstenes de que la Tierra es redonda. Los fluidos descritos por Arquímedes no son autogravitantes , ya que supone la existencia de un punto hacia el cual caen todas las cosas para derivar la forma esférica. El principio de flotabilidad de Arquímedes se presenta en esta obra, enunciado de la siguiente manera: [11] [84]
Cualquier cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido experimenta un empuje igual, pero de dirección opuesta, al peso del fluido desplazado.
En la segunda parte, calcula las posiciones de equilibrio de secciones de paraboloides. Probablemente se trata de una idealización de las formas de los cascos de los barcos. Algunas de sus secciones flotan con la base bajo el agua y la cima por encima del agua, de forma similar a como flotan los icebergs. [85]
También conocido como Lóculo de Arquímedes o Caja de Arquímedes , [86] es un rompecabezas de disección similar a un Tangram , y el tratado que lo describe se encontró en forma más completa en el Palimpsesto de Arquímedes . Arquímedes calcula las áreas de las 14 piezas que se pueden ensamblar para formar un cuadrado . Reviel Netz de la Universidad de Stanford argumentó en 2003 que Arquímedes estaba intentando determinar de cuántas maneras se podían ensamblar las piezas en la forma de un cuadrado. Netz calcula que las piezas se pueden convertir en un cuadrado de 17.152 maneras. [87] El número de disposiciones es 536 cuando se excluyen las soluciones que son equivalentes por rotación y reflexión. [88] El rompecabezas representa un ejemplo de un problema temprano en combinatoria .
El origen del nombre del rompecabezas no está claro, y se ha sugerido que proviene de la palabra griega antigua para "garganta" o "esófago", digestiveos ( στόμαχος ). [89] Ausonio llama al rompecabezas Ostomachion , una palabra griega compuesta formada a partir de las raíces de osteon ( ὀστέον , 'hueso') y machē ( μάχη , 'lucha'). [86]
Gotthold Ephraim Lessing descubrió esta obra en un manuscrito griego que consiste en un poema de 44 líneas en la Biblioteca Herzog August en Wolfenbüttel , Alemania en 1773. Está dirigida a Eratóstenes y los matemáticos de Alejandría. Arquímedes los desafía a contar la cantidad de ganado en la Manada del Sol resolviendo una serie de ecuaciones diofánticas simultáneas . Existe una versión más difícil del problema en la que se requiere que algunas de las respuestas sean números cuadrados . A. Amthor resolvió por primera vez esta versión del problema [90] en 1880, y la respuesta es un número muy grande , aproximadamente 7,760271 × 10206 544 . [91]
Este tratado se creía perdido hasta el descubrimiento del Palimpsesto de Arquímedes en 1906. En esta obra, Arquímedes utiliza indivisibles , [5] [6] y muestra cómo se puede utilizar la descomposición de una figura en un número infinito de partes infinitamente pequeñas para determinar su área o volumen. Es posible que considerara que este método carecía de rigor formal, por lo que también utilizó el método de exhaución para derivar los resultados. Al igual que con El problema del ganado , El método de los teoremas mecánicos fue escrito en forma de carta a Eratóstenes en Alejandría .
El Libro de los Lemas de Arquímedes o Liber Assumptorum es un tratado con 15 proposiciones sobre la naturaleza de los círculos. La copia más antigua conocida del texto está en árabe . TL Heath y Marshall Clagett argumentaron que no puede haber sido escrito por Arquímedes en su forma actual, ya que cita a Arquímedes, lo que sugiere una modificación por parte de otro autor. Los Lemas pueden estar basados en un trabajo anterior de Arquímedes que ahora se ha perdido. [92]
También se ha afirmado que la fórmula para calcular el área de un triángulo a partir de la longitud de sus lados era conocida por Arquímedes, [d] aunque su primera aparición es en la obra de Herón de Alejandría en el siglo I d. C. [93] Otras atribuciones cuestionables al trabajo de Arquímedes incluyen el poema latino Carmen de ponderibus et mensuris (siglo IV o V), que describe el uso de una balanza hidrostática para resolver el problema de la corona, y el texto del siglo XII Mappae clavicula , que contiene instrucciones sobre cómo realizar el ensayo de metales calculando sus gravedades específicas. [94] [95]
El documento más importante que contiene la obra de Arquímedes es el Palimpsesto de Arquímedes. En 1906, el profesor danés Johan Ludvig Heiberg visitó Constantinopla para examinar un pergamino de piel de cabra de 174 páginas con oraciones, escrito en el siglo XIII, después de leer una breve transcripción publicada siete años antes por Papadopoulos-Kerameus . [96] [97] Confirmó que era efectivamente un palimpsesto , un documento con texto que había sido escrito sobre una obra anterior borrada. Los palimpsestos se creaban raspando la tinta de obras existentes y reutilizándolas, una práctica común en la Edad Media, ya que el pergamino era caro. Los estudiosos identificaron las obras más antiguas del palimpsesto como copias del siglo X de tratados previamente perdidos de Arquímedes. [96] [98] El pergamino pasó cientos de años en la biblioteca de un monasterio en Constantinopla antes de ser vendido a un coleccionista privado en la década de 1920. El 29 de octubre de 1998, se vendió en subasta a un comprador anónimo por un total de 2,2 millones de dólares. [99] [100]
El palimpsesto contiene siete tratados, incluida la única copia sobreviviente de Sobre los cuerpos flotantes en el griego original. Es la única fuente conocida de El método de los teoremas mecánicos , al que se refiere Suidas y que se cree que se ha perdido para siempre. También se descubrió Stomachion en el palimpsesto, con un análisis del rompecabezas más completo que el que se había encontrado en textos anteriores. El palimpsesto se almacenó en el Museo de Arte Walters en Baltimore , Maryland , donde se sometió a una serie de pruebas modernas, incluido el uso de luz ultravioleta y rayos X para leer el texto sobrescrito. [101] Desde entonces ha regresado a su propietario anónimo. [102] [103]
Los tratados del Palimpsesto de Arquímedes incluyen:
A veces llamado el padre de las matemáticas y la física matemática , Arquímedes tuvo una amplia influencia en las matemáticas y la ciencia. [104]
Los historiadores de la ciencia y las matemáticas coinciden casi unánimemente en que Arquímedes fue el mejor matemático de la antigüedad. Eric Temple Bell , por ejemplo, escribió:
Cualquier lista de los tres matemáticos «más grandes» de toda la historia incluiría el nombre de Arquímedes. Los otros dos que suelen asociarse con él son Newton y Gauss . Algunos, considerando la relativa riqueza (o pobreza) de las matemáticas y la ciencia física en las respectivas épocas en las que vivieron estos gigantes, y evaluando sus logros en relación con el contexto de sus tiempos, pondrían a Arquímedes en primer lugar. [105]
Del mismo modo, Alfred North Whitehead y George F. Simmons dijeron de Arquímedes:
...en el año 1500 Europa sabía menos que Arquímedes, que murió en el año 212 a. C.... [106]
Si consideramos lo que todos los demás hombres lograron en matemáticas y física, en todos los continentes y en todas las civilizaciones, desde el principio de los tiempos hasta el siglo XVII en Europa occidental, los logros de Arquímedes superan todo lo demás. Él fue una gran civilización por sí solo. [107]
Reviel Netz , profesor adjunto de Matemáticas griegas y Astronomía en la Universidad de Stanford y experto en Arquímedes, señala:
Y así, como Arquímedes condujo más que nadie a la formación del cálculo y como fue el pionero de la aplicación de las matemáticas al mundo físico, resulta que la ciencia occidental no es más que una serie de notas a pie de página de Arquímedes. Resulta, por tanto, que Arquímedes es el científico más importante que jamás haya vivido. [108]
Leonardo da Vinci expresó repetidamente su admiración por Arquímedes, y atribuyó su invención Architonnerre a Arquímedes. [109] [110] [111] Galileo lo llamó "sobrehumano" y "mi maestro", [112] [113] mientras que Huygens dijo: "Creo que Arquímedes no es comparable a nadie", emulándolo conscientemente en su trabajo temprano. [114] Leibniz dijo: "Quien entiende a Arquímedes y Apolonio admirará menos los logros de los hombres más destacados de los tiempos posteriores". [115] Los héroes de Gauss fueron Arquímedes y Newton, [116] y Moritz Cantor , que estudió con Gauss en la Universidad de Gotinga , informó que una vez comentó en una conversación que "solo había habido tres matemáticos que hicieron época: Arquímedes, Newton y Eisenstein ". [117]
El inventor Nikola Tesla lo elogió diciendo:
Arquímedes era mi ideal. Admiraba las obras de los artistas, pero para mí no eran más que sombras y apariencias. El inventor, pensaba, da al mundo creaciones palpables, vivas y activas. [118]
Hay un cráter en la Luna llamado Arquímedes ( 29°42′N 4°00′O / 29.7, -4.0 ) en su honor, así como una cadena montañosa lunar , los Montes Arquímedes ( 25°18′N 4°36′O / 25.3, -4.6 ). [119]
La Medalla Fields por logros sobresalientes en matemáticas lleva un retrato de Arquímedes, junto con una talla que ilustra su prueba sobre la esfera y el cilindro. La inscripción alrededor de la cabeza de Arquímedes es una cita atribuida al poeta del siglo I d. C. Manilio , que dice en latín: Transire suum pectus mundoque potiri ("Elévate por encima de ti mismo y comprende el mundo"). [120] [121] [122]
Arquímedes ha aparecido en sellos postales emitidos por Alemania del Este (1973), Grecia (1983), Italia ( 1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982) y España (1963). [123]
La exclamación ¡Eureka!, atribuida a Arquímedes, es el lema del estado de California . En este caso, la palabra se refiere al descubrimiento de oro cerca de Sutter's Mill en 1848, que desencadenó la fiebre del oro en California . [124]
"Es cierto que Pappus menciona dos veces el teorema de la tangente a la espiral [IV, 36, 54]. Pero en ambos casos la cuestión es el uso inapropiado que hace Arquímedes de una 'neusis de sólidos', es decir, de una construcción que involucra las secciones de sólidos, en la solución de un problema plano. Sin embargo, la propia resolución de la dificultad por parte de Pappus [IV, 54] es, según su propia clasificación, un método 'sólido', ya que hace uso de secciones cónicas". (p. 48)
figura en la mayoría de las listas de los más grandes matemáticos de todos los tiempos y es considerado el más grande matemático de la antigüedad.Calinger, Ronald (1999). Una historia contextual de las matemáticas . Prentice-Hall. pág. 150. ISBN 978-0-02-318285-3Poco después de
Euclides, compilador del libro de texto definitivo, llegó Arquímedes de Siracusa (ca. 287-212 a. C.), el matemático más original y profundo de la antigüedad."Arquímedes de Siracusa". Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor. Enero de 1999. Consultado el 9 de junio de 2008 . Sadri Hassani (2013). Métodos matemáticos: para estudiantes de física y campos relacionados. Springer Science & Business Media. pág. 81. ISBN 978-0-387-21562-4
Se cree que Arquímedes es, sin lugar a dudas, el mayor matemático de la antigüedad. Hans Niels Jahnke. Una historia del análisis. American Mathematical Soc. pág. 21. ISBN 978-0-8218-9050-9
Arquímedes fue el mayor matemático de la antigüedad y uno de los más grandes de todos los tiempos. Stephen Hawking (2007). Dios creó los números enteros: los avances matemáticos que cambiaron la historia. Running Press. p. 12. ISBN 978-0-7624-3272-1Arquímedes ,
el matemático más grande de la antigüedadVallianatos, Evaggelos (27 de julio de 2014). «Arquímedes: el científico más grande que jamás haya existido». HuffPost . Consultado el 17 de abril de 2021 . Kiersz., Andy (2 de julio de 2014). «Los 12 matemáticos que abrieron el mundo moderno». Business Insider . Consultado el 3 de mayo de 2021 . "Arquímedes" . Consultado el 3 de mayo de 2021 . Livio, Mario (6 de diciembre de 2017). «¿Quién es el matemático más grande de todos?». HuffPost . Consultado el 7 de mayo de 2021 .
{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )Finalmente, al llenar de nuevo el recipiente y dejar caer la propia corona en la misma cantidad de agua, descubrió que corría más agua por la corona que por la masa de oro del mismo peso. Por lo tanto, razonando a partir del hecho de que se perdía más agua en el caso de la corona que en el de la masa, detectó la mezcla de plata con el oro y dejó perfectamente claro el robo del contratista.
Postea vero repleto vase in eadem aqua ipsa corona demissa, invenit plus aquae defluxisse in coronam, quàm in auream eodem pondere massam, et ita ex eo, quod plus defluxerat aquae in corona, quàm in massa, ratiocinatus, deprehendit argenti in auro mixtionem, et manifiesto furtum redemptoris.
Pero incluso antes de Hiparco, Arquímedes había descrito un instrumento similar en su Sand-Reckoner. Pappus de Alejandría ofrece una descripción más completa del mismo tipo de instrumento ... La figura 30 se basa en Arquímedes y Pappus. La varilla R tiene una ranura que recorre toda su longitud ... Un cilindro o prisma C está fijado a un pequeño bloque que se desliza libremente en la ranura (p. 281).
Quizás el instrumento más antiguo, aparte de los relojes de sol, del que tenemos una descripción detallada es el dispositivo construido por Arquímedes (Sand-Reckoner 11-15) para medir el diámetro aparente del sol; se trataba de una varilla a lo largo de la cual se podían mover clavijas de diferentes colores.
Es sorprendente que durante mucho tiempo la actitud de Arquímedes hacia las aplicaciones de la ciencia se dedujera de la aceptación acrítica de la opinión de Plutarco: un polígrafo que viviera siglos después, en un clima cultural completamente diferente, ciertamente no podría haber conocido los pensamientos íntimos del científico. Por otra parte, está bien documentada la dedicación con que Arquímedes desarrolló aplicaciones de todo tipo: de catóptrica, como cuenta Apuleyo en el pasaje ya citado (Apología, 16), de hidrostática (desde el diseño de relojes hasta la ingeniería naval: sabemos por Ateneo (Deipnosophistae, V, 206d) que el mayor barco de la Antigüedad, el Syracusia, fue construido bajo su supervisión), y de mecánica (desde máquinas para izar pesos hasta las para elevar agua y los aparatos de guerra).
Padre de la física matemática: James H. Williams Jr. , Fundamentals of Applied Dynamics, pág. 30., Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach, A History of Mathematics, pág. 111., Stuart Hollingdale, Makers of Mathematics, pág. 67., Igor Ushakov, En el principio, era el número (2), pág. 114.
La inscripción latina del poeta romano Manilius que rodea la imagen puede traducirse como "Ir más allá de tu entendimiento y hacerte dueño del universo". La frase proviene de Astronomica 4.392 de Manilius del siglo I d. C. (p. 782).
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