Métrica Kerr

Solución exacta para las ecuaciones de campo de Einstein

La métrica de Kerr o geometría de Kerr describe la geometría del espacio-tiempo vacío alrededor de un agujero negro axialmente simétrico y sin carga que gira y tiene un horizonte de sucesos cuasiesférica . La métrica de Kerr es una solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general ; estas ecuaciones son altamente no lineales , lo que hace que sea muy difícil encontrar soluciones exactas.

Descripción general

La métrica de Kerr es una generalización a un cuerpo rotatorio de la métrica de Schwarzschild , descubierta por Karl Schwarzschild en 1915, que describía la geometría del espacio-tiempo alrededor de un cuerpo no cargado, esféricamente simétrico y no rotatorio. La solución correspondiente para un cuerpo cargado , esférico y no rotatorio, la métrica de Reissner-Nordström , fue descubierta poco después (1916-1918). Sin embargo, la solución exacta para un agujero negro no cargado y rotatorio , la métrica de Kerr, permaneció sin resolver hasta 1963, cuando fue descubierta por Roy Kerr . ^{[1] [2] : 69–81} La extensión natural a un agujero negro cargado y rotatorio, la métrica de Kerr-Newman , fue descubierta poco después en 1965. Estas cuatro soluciones relacionadas pueden resumirse en la siguiente tabla, donde Q representa la carga eléctrica del cuerpo y J representa su momento angular de espín :

Según la métrica de Kerr, un cuerpo en rotación debería exhibir un efecto de arrastre de marco (también conocido como precesión Lense-Thirring ), una predicción distintiva de la relatividad general. La primera medición de este efecto de arrastre de marco se realizó en 2011 mediante el experimento Gravity Probe B. En términos generales, este efecto predice que los objetos que se acercan a una masa en rotación serán arrastrados a participar en su rotación, no debido a ninguna fuerza o par aplicado que se pueda sentir, sino más bien debido a la curvatura arremolinada del propio espacio-tiempo asociada con los cuerpos en rotación. En el caso de un agujero negro en rotación, a distancias suficientemente cercanas, todos los objetos, incluso la luz, deben rotar con el agujero negro; la región donde esto sucede se llama ergosfera .

La luz de fuentes distantes puede viajar alrededor del horizonte de sucesos varias veces (si está lo suficientemente cerca), creando múltiples imágenes del mismo objeto . Para un observador distante, la distancia perpendicular aparente entre imágenes disminuye en un factor de e ^{2 π} (aproximadamente 500). Sin embargo, los agujeros negros que giran rápidamente tienen menos distancia entre imágenes de multiplicidad. ^{[3] [4]}

Los agujeros negros rotatorios tienen superficies donde la métrica parece tener singularidades aparentes ; el tamaño y la forma de estas superficies dependen de la masa y el momento angular del agujero negro . La superficie exterior encierra la ergosfera y tiene una forma similar a una esfera aplanada. La superficie interior marca el horizonte de sucesos ; los objetos que pasan al interior de este horizonte nunca más pueden comunicarse con el mundo fuera de ese horizonte. Sin embargo, ninguna superficie es una singularidad verdadera, ya que su singularidad aparente puede eliminarse en un sistema de coordenadas diferente . Una situación similar se obtiene cuando se considera la métrica de Schwarzschild que también parece dar como resultado una singularidad al dividir ${\displaystyle r=r_{\text{s}}}$ el espacio por encima y por debajo de r s _en dos parches desconectados; utilizando una transformación de coordenadas diferente, se puede relacionar el parche externo extendido con el parche interno (ver Métrica de Schwarzschild § Singularidades y agujeros negros ) - dicha transformación de coordenadas elimina la singularidad aparente donde se encuentran las superficies interna y externa. Los objetos entre estas dos superficies deben co-rotar con el agujero negro giratorio, como se señaló anteriormente; Esta característica se puede utilizar en principio para extraer energía de un agujero negro giratorio, hasta su energía  de masa invariante , Mc ² .

El experimento LIGO que detectó por primera vez ondas gravitacionales, anunciado en 2016, también proporcionó la primera observación directa de un par de agujeros negros de Kerr. ^[5]

Métrico

La métrica de Kerr se expresa comúnmente en una de dos formas, la forma de Boyer-Lindquist y la forma de Kerr-Schild. Se puede derivar fácilmente de la métrica de Schwarzschild, utilizando el algoritmo de Newman-Janis ^[6] por el formalismo de Newman-Penrose (también conocido como el formalismo del coeficiente de espín), ^[7] la ecuación de Ernst ^[8] o la transformación de coordenadas del elipsoide. ^[9]

Coordenadas de Boyer-Lindquist

La métrica de Kerr describe la geometría del espacio-tiempo en la vecindad de una masa que gira ${\displaystyle M}$ con momento angular . ^[10] La métrica (o equivalentemente su elemento de línea para el tiempo propio ) en coordenadas de Boyer-Lindquist es ^{[11] [12]} ${\displaystyle J}$

donde las coordenadas son ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$ coordenadas esferoidales oblatas estándar , que son equivalentes a las coordenadas cartesianas ^{[13] [14]}

¿Dónde está el radio de Schwarzschild? ${\displaystyle r_{\text{s}}}$

y donde por brevedad, las escalas de longitud ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,\Sigma }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Delta }$ se han introducido como

Una característica clave a tener en cuenta en la métrica anterior es el término cruzado ⁠ ⁠ ${\displaystyle dt\,d\phi }$ . Esto implica que existe un acoplamiento entre el tiempo y el movimiento en el plano de rotación que desaparece cuando el momento angular del agujero negro llega a cero.

En el límite no relativista donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle M}$ (o, equivalentemente, ⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{\text{s}}}$ ) tiende a cero, la métrica de Kerr se convierte en la métrica ortogonal para las coordenadas esferoidales oblatas.

Coordenadas de Kerr-Schild

La métrica de Kerr se puede expresar en forma "Kerr–Schild" , utilizando un conjunto particular de coordenadas cartesianas de la siguiente manera. ^{[15] [16] [17]} Estas soluciones fueron propuestas por Kerr y Schild en 1965.

Nótese que k es un 3-vector unitario , lo que hace que el 4-vector sea un vector nulo , con respecto tanto a g como a η . ^[18] Aquí M es la masa constante del objeto giratorio, η es el tensor de Minkowski y a es un parámetro rotacional constante del objeto giratorio. Se entiende que el vector ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ está dirigido a lo largo del eje z positivo. La cantidad r no es el radio, sino que está definida implícitamente por

Observe que la cantidad r se convierte en el radio habitual R

${\displaystyle r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

cuando el parámetro rotacional ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ se acerca a cero. En esta forma de solución, las unidades se seleccionan de modo que la velocidad de la luz sea la unidad ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle c=1}$ ). A grandes distancias de la fuente ( R ≫ a ), estas ecuaciones se reducen a la forma de Eddington-Finkelstein de la métrica de Schwarzschild .

En la forma Kerr-Schild de la métrica de Kerr, el determinante del tensor métrico es en todas partes igual a menos uno, incluso cerca de la fuente. ^[19]

Coordenadas del solitón

Como la métrica de Kerr (junto con la métrica Kerr–NUT) es axialmente simétrica, se puede convertir en una forma a la que se le puede aplicar la transformada de Belinski–Zakharov . Esto implica que el agujero negro de Kerr tiene la forma de un solitón gravitacional . ^[20]

Masa de energía rotacional

Si se extrae la energía rotacional completa ⁠ ⁠ de un agujero negro, por ejemplo con el ${\displaystyle E_{\rm {rot}}=c^{2}\left(M-M_{\rm {irr}}\right)}$proceso de Penrose , ^{[21] [22]} la masa restante no puede encogerse por debajo de la masa irreducible. Por lo tanto, si un agujero negro gira con el espín ⁠ ⁠ ${\displaystyle a=M}$ , su equivalente de masa total ⁠ ⁠ ${\displaystyle M}$ es mayor por un factor de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ en comparación con un agujero negro de Schwarzschild correspondiente donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle M}$ es igual a ⁠ ⁠ ${\displaystyle M_{\text{irr}}}$ . La razón de esto es que para hacer que un cuerpo estático gire, se necesita aplicar energía al sistema. Debido a la equivalencia masa-energía , esta energía también tiene un equivalente de masa, que se suma a la masa-energía total del sistema, ⁠ ⁠ ${\displaystyle M}$ .

La masa total equivalente ( la ${\displaystyle M}$ masa gravitacional) del cuerpo (incluida su energía rotacional ) y su masa irreducible están relacionadas ${\displaystyle M_{\text{irr}}}$ por ^{[23] [24]}

${\displaystyle 2M_{\rm {irr}}^{2}=M^{2}+{\sqrt {M^{4}-J^{2}c^{2}/G^{2}}}\Longrightarrow M^{2}=M_{\rm {irr}}^{2}+{\frac {J^{2}c^{2}}{4M_{\rm {irr}}^{2}G^{2}}}.}$

Operador de onda

Dado que incluso una comprobación directa de la métrica de Kerr implica cálculos engorrosos, los componentes contravariantes del tensor métrico en coordenadas ${\displaystyle g^{ik}}$de Boyer–Lindquist se muestran a continuación en la expresión para el cuadrado del operador de cuatro gradientes : ^[21]

Arrastre de marco

Podemos reescribir la métrica de Kerr ( 1 ) en la siguiente forma:

Esta métrica es equivalente a un marco de referencia co-rotativo que gira con una velocidad angular Ω que depende tanto del radio r como de la colatitud  θ , donde Ω se denomina horizonte de Killing .

Así, un sistema de referencia inercial es arrastrado por la masa central rotatoria para participar en la rotación de este último; esto se llama arrastre de sistema y ha sido probado experimentalmente. ^[25] Cualitativamente, el arrastre de sistema puede ser visto como el análogo gravitacional de la inducción electromagnética. Un "patinador sobre hielo", en órbita sobre el ecuador y en reposo rotacional con respecto a las estrellas, extiende sus brazos. El brazo extendido hacia el agujero negro será torcido hacia el giro. El brazo extendido lejos del agujero negro será torcido hacia el giro contrario. Por lo tanto, se acelerará rotacionalmente, en un sentido contrarrotativo al agujero negro. Esto es lo opuesto a lo que sucede en la experiencia cotidiana. Si ya está rotando a cierta velocidad cuando extiende sus brazos, los efectos inerciales y los efectos de arrastre de sistema se equilibrarán y su giro no cambiará. Debido al principio de equivalencia , los efectos gravitacionales son localmente indistinguibles de los efectos inerciales, por lo que esta velocidad de rotación, a la que cuando extiende sus brazos no sucede nada, es su referencia local para la no rotación. Este marco está rotando con respecto a las estrellas fijas y contrarrotando con respecto al agujero negro. Una metáfora útil es un sistema de engranajes planetarios en el que el agujero negro es el engranaje solar, el patinador sobre hielo es un engranaje planetario y el universo exterior es el engranaje anular. Esto también se puede interpretar a través del principio de Mach .

Superficies importantes

Ubicación de los horizontes, ergosferas y la singularidad del anillo del espaciotiempo de Kerr en coordenadas cartesianas Kerr-Schild. ^[13]

Comparación de la sombra (negra) y las superficies importantes (blancas) de un agujero negro. El parámetro de giro ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ se mueve de ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$ a ⁠ ⁠ ${\displaystyle M}$ , mientras que el lado izquierdo del agujero negro gira hacia el observador. ^[26]

Existen varias superficies importantes en la métrica de Kerr ( 1 ). La superficie interna corresponde a un horizonte de eventos similar al observado en la métrica de Schwarzschild ; esto ocurre donde el componente puramente radial g _rr de la métrica tiende al infinito. Resolviendo la ecuación cuadrática ⁠1/g _rr⁠ = 0 da la solución:

${\displaystyle r_{\rm {H}}^{\pm }={\frac {r_{\text{s}}\pm {\sqrt {r_{\text{s}}^{2}-4a^{2}}}}{2}}}$

que en unidades naturales (que dan ⁠ ⁠ ${\displaystyle G=M=c=1}$ ) se simplifica a:

${\displaystyle r_{\rm {H}}^{\pm }=1\pm {\sqrt {1-a^{2}}}}$

Mientras que en la métrica de Schwarzschild el horizonte de eventos es también el lugar donde el componente puramente temporal g _tt de la métrica cambia de signo de positivo a negativo, en la métrica de Kerr eso sucede a una distancia diferente. Nuevamente, al resolver una ecuación cuadrática g _tt = 0, se obtiene la solución:

${\displaystyle r_{\rm {E}}^{\pm }={\frac {r_{\text{s}}\pm {\sqrt {r_{\text{s}}^{2}-4a^{2}\cos ^{2}\theta }}}{2}}}$

o en unidades naturales:

${\displaystyle r_{\rm {E}}^{\pm }=1\pm {\sqrt {1-a^{2}\cos ^{2}\theta }}}$

Debido al término cos ² θ en la raíz cuadrada, esta superficie exterior se asemeja a una esfera aplanada que toca la superficie interior en los polos del eje de rotación, donde la colatitud θ es igual a 0 o π ; el espacio entre estas dos superficies se llama ergosfera . Dentro de este volumen, el componente puramente temporal g _tt es negativo, es decir, actúa como un componente métrico puramente espacial. En consecuencia, las partículas dentro de esta ergosfera deben co-rotar con la masa interior, si quieren conservar su carácter temporal. Una partícula en movimiento experimenta un tiempo propio positivo a lo largo de su línea de mundo , su camino a través del espacio-tiempo . Sin embargo, esto es imposible dentro de la ergosfera, donde g _tt es negativo, a menos que la partícula esté co-rotando alrededor de la masa interior  ⁠ ⁠ ${\displaystyle M}$ con una velocidad angular de al menos  ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Omega }$ . Por lo tanto, ninguna partícula puede moverse en la dirección opuesta a la rotación de la masa central dentro de la ergosfera.

Al igual que con el horizonte de eventos en la métrica de Schwarzschild , la singularidad aparente en r _H se debe a la elección de coordenadas (es decir, es una singularidad de coordenadas ). De hecho, el espacio-tiempo puede continuar sin problemas a través de él mediante una elección apropiada de coordenadas. A su vez, el límite exterior de la ergosfera en r _E no es singular por sí mismo incluso en coordenadas de Kerr debido al término distinto de cero ${\displaystyle dt\ d\phi }$ .

La ergosfera y el proceso de Penrose

Un agujero negro en general está rodeado por una superficie, llamada horizonte de sucesos y situada en el radio de Schwarzschild para un agujero negro que no gira, donde la velocidad de escape es igual a la velocidad de la luz. Dentro de esta superficie, ningún observador/partícula puede mantenerse en un radio constante. Se ve obligado a caer hacia adentro, por lo que a esto a veces se le llama límite estático .

Un agujero negro giratorio tiene el mismo límite estático en su horizonte de eventos, pero hay una superficie adicional fuera del horizonte de eventos llamada "ergosuperficie" dada por

${\displaystyle (r-M)^{2}=M^{2}-J^{2}\cos ^{2}\theta }$

en coordenadas de Boyer-Lindquist , que intuitivamente se puede caracterizar como la esfera donde "la velocidad de rotación del espacio circundante" es arrastrada junto con la velocidad de la luz. Dentro de esta esfera, el arrastre es mayor que la velocidad de la luz y cualquier observador/partícula se ve obligado a co-rotar.

La región fuera del horizonte de sucesos pero dentro de la superficie donde la velocidad de rotación es la velocidad de la luz, se llama ergosfera (del griego ergon que significa trabajo ). Las partículas que caen dentro de la ergosfera se ven obligadas a girar más rápido y, por lo tanto, ganar energía. Debido a que todavía están fuera del horizonte de sucesos, pueden escapar del agujero negro. El proceso neto es que el agujero negro giratorio emite partículas energéticas a costa de su propia energía total. La posibilidad de extraer energía de espín de un agujero negro giratorio fue propuesta por primera vez por el matemático Roger Penrose en 1969 y, por lo tanto, se llama proceso de Penrose . Los agujeros negros giratorios en astrofísica son una fuente potencial de grandes cantidades de energía y se utilizan para explicar fenómenos energéticos, como los estallidos de rayos gamma .

Características de la geometría de Kerr

La geometría de Kerr exhibe muchas características notables: la extensión analítica máxima incluye una secuencia de regiones exteriores asintóticamente planas , cada una asociada con una ergosfera , superficies límite estacionarias, horizontes de eventos , horizontes de Cauchy , curvas cerradas de tipo temporal y una singularidad de curvatura en forma de anillo . La ecuación geodésica se puede resolver exactamente en forma cerrada. Además de dos campos vectoriales de Killing (correspondientes a la traslación temporal y la axisimetría ), la geometría de Kerr admite un notable tensor de Killing . Hay un par de congruencias nulas principales (una entrante y otra saliente ). El tensor de Weyl es algebraicamente especial , de hecho tiene tipo Petrov D. La estructura global es conocida. Topológicamente, el tipo de homotopía del espacio-tiempo de Kerr se puede caracterizar simplemente como una línea con círculos unidos en cada punto entero.

Obsérvese que la geometría interna de Kerr es inestable con respecto a las perturbaciones en la región interior. Esta inestabilidad significa que, aunque la métrica de Kerr es simétrica respecto del eje, un agujero negro creado a través de un colapso gravitacional puede no serlo. ^[13] Esta inestabilidad también implica que muchas de las características de la geometría de Kerr descritas anteriormente pueden no estar presentes dentro de un agujero negro de este tipo. ^{[27] [28]}

Una superficie en la que la luz puede orbitar un agujero negro se llama esfera de fotones. La solución de Kerr tiene infinitas esferas de fotones , que se encuentran entre una interna y una externa. En la solución no giratoria de Schwarzschild, con ⁠ ⁠ ${\displaystyle a=0}$ , las esferas de fotones interna y externa se degeneran, de modo que solo hay una esfera de fotones en un solo radio. Cuanto mayor sea el giro de un agujero negro, más se alejan entre sí las esferas de fotones interna y externa. Un haz de luz que viaja en una dirección opuesta al giro del agujero negro orbitará circularmente el agujero en la esfera de fotones externa. Un haz de luz que viaja en la misma dirección que el giro del agujero negro orbitará circularmente en la esfera de fotones interna. Las geodésicas en órbita con algún momento angular perpendicular al eje de rotación del agujero negro orbitarán en esferas de fotones entre estos dos extremos. Debido a que el espacio-tiempo está rotando, dichas órbitas exhiben una precesión, ya que hay un desplazamiento en la variable después ${\displaystyle \phi }$ de completar un período en la variable ${\displaystyle \theta }$ .

Ecuaciones de trayectoria

Animación de la órbita de una partícula de prueba alrededor de un agujero negro giratorio. Izquierda: vista superior, derecha: vista lateral.

Otra trayectoria de una masa de prueba alrededor de un agujero negro giratorio (Kerr). A diferencia de las órbitas alrededor de un agujero negro de Schwarzschild, la órbita no está confinada a un solo plano, sino que llenará ergódicamente una región similar a un toro alrededor del ecuador.

Las ecuaciones de movimiento para partículas de prueba en el espacio-tiempo de Kerr están gobernadas por cuatro constantes de movimiento . ^[29] La primera es la masa invariante ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mu }$ de la partícula de prueba, definida por la relación donde ⁠ ⁠ es el cuadri-momento de la partícula. Además, hay dos constantes de movimiento dadas por las simetrías de traslación y rotación del tiempo del espacio-tiempo de Kerr, la energía ⁠ ⁠ y el componente del momento angular orbital paralelo al giro del agujero negro ⁠ ⁠ . ^{[21] [30]} y $${\displaystyle -\mu ^{2}=p^{\alpha }g_{\alpha \beta }p^{\beta },}$$ ${\displaystyle p^{\alpha }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L_{z}}$ $${\displaystyle E=-p_{t},}$$ $${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }}$$

Utilizando la teoría de Hamilton-Jacobi , Brandon Carter demostró que existe una cuarta constante de movimiento, ⁠ ⁠ ${\displaystyle Q}$ , ^[29] ahora denominada constante de Carter . Está relacionada con el momento angular total de la partícula y se expresa mediante $${\displaystyle Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+\left({\frac {L_{z}}{\sin \theta }}\right)^{2}\right).}$$

Dado que hay cuatro constantes de movimiento (independientes) para los grados de libertad, las ecuaciones de movimiento para una partícula de prueba en el espacio-tiempo de Kerr son integrables .

Usando estas constantes de movimiento, las ecuaciones de trayectoria para una partícula de prueba se pueden escribir (usando unidades naturales de ⁠ ⁠ ${\displaystyle G=M=c=1}$ ), ^[29] con $${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma {\frac {dr}{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {R(r)}}\\\Sigma {\frac {d\theta }{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {\Theta (\theta )}}\\\Sigma {\frac {d\phi }{d\lambda }}&=-\left(aE-{\frac {L_{z}}{\sin ^{2}\theta }}\right)+{\frac {a}{\Delta }}P(r)\\\Sigma {\frac {dt}{d\lambda }}&=-a\left(aE\sin ^{2}\theta -L_{z}\right)+{\frac {r^{2}+a^{2}}{\Delta }}P(r)\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \Theta (\theta )=Q-\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)}$
• ${\displaystyle P(r)=E\left(r^{2}+a^{2}\right)-aL_{z}}$
• ${\displaystyle R(r)=P(r)^{2}-\Delta \left(\mu ^{2}r^{2}+(L_{z}-aE)^{2}+Q\right)}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle \lambda }$ es un parámetro afín tal que ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}=p^{\alpha }}$ . En particular, cuando ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mu >0}$ el parámetro afín ⁠ ⁠ ${\displaystyle \lambda }$ , está relacionado con el tiempo propio ⁠ ⁠ ${\displaystyle \tau }$ a través de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \lambda =\tau /\mu }$ .

Debido al efecto de arrastre de marco , un observador de momento angular cero (ZAMO) está corrotando con la velocidad angular ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Omega }$ que se define con respecto al tiempo de coordenadas del contable ⁠ ⁠ ${\displaystyle t}$ . ^[31] La velocidad local ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ de la partícula de prueba se mide en relación con una sonda que corrota con ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Omega }$ . La dilatación temporal gravitacional entre un ZAMO en fijo ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ y un observador estacionario lejos de la masa es En coordenadas cartesianas de Kerr-Schild, las ecuaciones para un fotón son ^[32] donde ⁠ ⁠ es análoga a la constante de Carter y ⁠ ⁠ es una cantidad útil $${\displaystyle {\frac {t}{\tau }}={\sqrt {\frac {\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\theta }{\Delta \ \Sigma }}}.}$$ $${\displaystyle {\ddot {x}}+i{\ddot {y}}=4iMa{\frac {r}{\Sigma ^{2}}}W\left[{\dot {x}}+i{\dot {y}}-{\frac {x+iy}{r}}{\dot {r}}\right]-M(x+iy)\left({\frac {4r^{2}}{\Sigma }}-1\right){\frac {C-a^{2}W^{2}}{r\Sigma ^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\ddot {z}}=-Mz\left({\frac {4r^{2}}{\Sigma }}-1\right){\frac {C}{r\Sigma ^{2}}}}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\left(aE\sin {\theta }-{\frac {L_{z}}{\sin {\theta }}}\right)^{2}}$$ $${\displaystyle W={\dot {t}}-a\sin ^{2}{\theta }{\dot {\phi }}}$$

Si establecemos ⁠ ⁠ ${\displaystyle a=0}$ , se restauran las geodésicas de Schwarzschild .

Simetrías

El grupo de isometrías de la métrica de Kerr es el subgrupo del grupo de Poincaré decadimensional que toma el lugar geométrico bidimensional de la singularidad para sí mismo. Conserva las traslaciones temporales (una dimensión) y las rotaciones alrededor de su eje de rotación (una dimensión). Por lo tanto, tiene dos dimensiones. Al igual que el grupo de Poincaré, tiene cuatro componentes conectados: el componente de la identidad; el componente que invierte el tiempo y la longitud; el componente que se refleja a través del plano ecuatorial; y el componente que hace ambas cosas.

En física, las simetrías se asocian típicamente con constantes de movimiento conservadas, de acuerdo con el teorema de Noether . Como se muestra arriba, las ecuaciones geodésicas tienen cuatro cantidades conservadas: una de las cuales proviene de la definición de geodésica, y dos de las cuales surgen de la simetría de traslación y rotación temporal de la geometría de Kerr. La cuarta cantidad conservada no surge de una simetría en el sentido estándar y se la conoce comúnmente como simetría oculta.

Soluciones Kerr para situaciones extremas

La ubicación del horizonte de sucesos está determinada por la raíz mayor de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Delta =0}$ . Cuando ⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{\text{s}}/2<a}$ (es decir, ⁠ ⁠ ${\displaystyle GM^{2}<Jc}$ ), no hay soluciones (con valor real) para esta ecuación, y no hay horizonte de sucesos. Sin horizontes de sucesos que lo oculten del resto del universo, el agujero negro deja de ser un agujero negro y, en cambio, será una singularidad desnuda . ^[33]

Los agujeros negros de Kerr como agujeros de gusano

Aunque la solución de Kerr parece ser singular en las raíces de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Delta =0}$ , en realidad son singularidades de coordenadas y, con una elección apropiada de nuevas coordenadas, la solución de Kerr se puede extender suavemente a través de los valores de ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ correspondientes a estas raíces. La mayor de estas raíces determina la ubicación del horizonte de eventos, y la menor determina la ubicación de un horizonte de Cauchy . Una curva (dirigida al futuro, similar al tiempo) puede comenzar en el exterior y pasar por el horizonte de eventos. Una vez que haya pasado por el horizonte de eventos, la coordenada ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ ahora se comporta como una coordenada de tiempo, por lo que debe disminuir hasta que la curva pase por el horizonte de Cauchy. ^[34]

La región más allá del horizonte de Cauchy tiene varias características sorprendentes. La coordenada ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ nuevamente se comporta como una coordenada espacial y puede variar libremente. La región interior tiene una simetría de reflexión, de modo que una curva (similar al tiempo y dirigida al futuro) puede continuar a lo largo de una trayectoria simétrica, que continúa a través de un segundo horizonte de Cauchy, a través de un segundo horizonte de eventos y hacia una nueva región exterior que es isométrica a la región exterior original de la solución de Kerr. La curva podría entonces escapar al infinito en la nueva región o ingresar al horizonte de eventos futuro de la nueva región exterior y repetir el proceso. Este segundo exterior a veces se considera como otro universo. Por otro lado, en la solución de Kerr, la singularidad es un anillo , y la curva puede pasar por el centro de este anillo. La región más allá permite curvas cerradas similares al tiempo. Dado que la trayectoria de los observadores y las partículas en la relatividad general se describe mediante curvas similares al tiempo, es posible que los observadores en esta región regresen a su pasado. ^{[27] [28]} No es probable que esta solución interior sea física y se la considere un artefacto puramente matemático. ^[35]

Si bien se espera que la región exterior de la solución de Kerr sea estable, y que todos los agujeros negros rotatorios eventualmente se acerquen a una métrica de Kerr, la región interior de la solución parece ser inestable, muy similar a un lápiz equilibrado sobre su punta. ^{[36] [13]} Esto está relacionado con la idea de censura cósmica .

Relación con otras soluciones exactas

La geometría de Kerr es un ejemplo particular de una solución de vacío estacionaria y axialmente simétrica para la ecuación de campo de Einstein . La familia de todas las soluciones de vacío estacionarias y axialmente simétricas para la ecuación de campo de Einstein son los vacíos de Ernst.

La solución de Kerr también está relacionada con varias soluciones que no son de vacío y que modelan agujeros negros. Por ejemplo, el electrovacío de Kerr-Newman modela un agujero negro (rotativo) dotado de una carga eléctrica, mientras que el polvo nulo de Kerr-Vaidya modela un agujero (rotativo) con radiación electromagnética entrante.

El caso especial de la ${\displaystyle a=0}$ métrica de Kerr produce la métrica de Schwarzschild , que modela un agujero negro no giratorio que es estático y esféricamente simétrico , en las coordenadas de Schwarzschild . (En este caso, cada momento de Geroch excepto la masa se desvanece).

El interior de la geometría de Kerr, o más bien una parte de ella, es localmente isométrico al vacío CPW de Chandrasekhar-Ferrari, un ejemplo de un modelo de ondas planas en colisión. Esto es particularmente interesante, porque la estructura global de esta solución CPW es bastante diferente de la de la geometría de Kerr y, en principio, un experimentador podría esperar estudiar la geometría de (la parte exterior de) el interior de Kerr organizando la colisión de dos ondas planas gravitacionales adecuadas .

Momentos multipolares

Cada vacío de Ernst asintóticamente plano se puede caracterizar dando la secuencia infinita de momentos multipolares relativistas , los dos primeros de los cuales se pueden interpretar como la masa y el momento angular de la fuente del campo. Hay formulaciones alternativas de momentos multipolares relativistas debido a Hansen, Thorne y Geroch, que resultan concordantes entre sí. Los momentos multipolares relativistas de la geometría de Kerr fueron calculados por Hansen; resultan ser

${\displaystyle M_{n}=M[ia]^{n}}$

Así, el caso especial del vacío de Schwarzschild ( ⁠ ⁠ ) da la " ${\displaystyle a=0}$fuente puntual monopolar " de la relatividad general. ^[a]

Los momentos multipolares de Weyl surgen del tratamiento de una determinada función métrica (formalmente correspondiente al potencial gravitatorio newtoniano) que aparece en el diagrama de Weyl-Papapetrou para la familia Ernst de todas las soluciones de vacío axisimétricas estacionarias utilizando los momentos multipolares escalares euclidianos estándar . Son distintos de los momentos calculados por Hansen, arriba. En cierto sentido, los momentos de Weyl solo caracterizan (indirectamente) la "distribución de masa" de una fuente aislada, y resultan depender solo de los momentos relativistas de orden par . En el caso de soluciones simétricas a través del plano ecuatorial, los momentos de Weyl de orden impar se anulan. Para las soluciones de vacío de Kerr, los primeros momentos de Weyl están dados por

${\displaystyle a_{0}=M,\qquad a_{1}=0,\qquad a_{2}=M\left({\frac {M^{2}}{3}}-a^{2}\right)}$

En particular, vemos que el vacío de Schwarzschild tiene un momento de Weyl de segundo orden distinto de cero, lo que corresponde al hecho de que el "monopolo de Weyl" es la solución de vacío de Chazy-Curzon, no la solución de vacío de Schwarzschild, que surge del potencial newtoniano de una cierta varilla delgada de densidad uniforme de longitud finita .

En la relatividad general de campo débil, es conveniente tratar las fuentes aisladas utilizando otro tipo de multipolos, que generalizan los momentos de Weyl a momentos multipolares de masa y momentos multipolares de momento , caracterizando respectivamente la distribución de masa y de momento de la fuente. Se trata de cantidades multiindexadas cuyas partes adecuadamente simetrizadas y antisimetrizadas pueden relacionarse con las partes reales e imaginarias de los momentos relativistas para la teoría no lineal completa de una manera bastante complicada.

Pérez y Moreschi han dado una noción alternativa de "soluciones monopolares" al expandir la tétrada NP estándar de los vacíos de Ernst en potencias de ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ (la coordenada radial en la carta de Weyl–Papapetrou). Según esta formulación:

• La fuente monopolar de masa aislada con momento angular cero es la familia de vacío de Schwarzschild (un parámetro),
• La fuente monopolar de masa aislada con momento angular radial es la familia de vacío Taub-NUT (dos parámetros; no del todo asintóticamente plana),
• La fuente monopolar de masa aislada con momento angular axial es la familia de vacío Kerr (dos parámetros).

En este sentido, los vacíos de Kerr son las soluciones de vacío asintóticamente planas, axisimétricas y estacionarias más simples en la relatividad general.

Problemas abiertos

La geometría de Kerr se utiliza a menudo como modelo de un agujero negro giratorio , pero si se considera que la solución es válida solo fuera de alguna región compacta (sujeta a ciertas restricciones), en principio, debería poder usarse como una solución exterior para modelar el campo gravitacional alrededor de un objeto masivo giratorio que no sea un agujero negro, como una estrella de neutrones o la Tierra. Esto funciona muy bien para el caso no giratorio, donde el exterior de vacío de Schwarzschild se puede adaptar a un interior de fluido de Schwarzschild y, de hecho, a soluciones de fluidos perfectos, esféricos y estáticos más generales . Sin embargo, el problema de encontrar un interior de fluido perfecto giratorio que se pueda adaptar a un exterior de Kerr, o de hecho a cualquier solución de exterior de vacío asintóticamente plano, ha demostrado ser muy difícil. En particular, se sabe ahora que el fluido de Wahlquist , que alguna vez se pensó que era un candidato para adaptarse a un exterior de Kerr, no admite tal adaptación. En la actualidad, parece que solo se conocen soluciones aproximadas que modelan bolas de fluido que giran lentamente (estas son el análogo relativista de bolas esferoidales achatadas con masa y momento angular distintos de cero pero momentos multipolares más altos que se desvanecen). Sin embargo, el exterior del disco de Neugebauer-Meinel, una solución de polvo exacta que modela un disco delgado giratorio, se aproxima en un caso límite a la geometría de Kerr ${\displaystyle GM^{2}=cJ}$ . También se conocen soluciones físicas de disco delgado obtenidas mediante la identificación de partes del espacio-tiempo de Kerr. ^[37]

Véase también

• Portal de astronomía
• Portal de física

• Métrica de Schwarzschild
• Métrica de Kerr-Newman
• Métrica de Reissner-Nordström
• Métrica Hartle-Thorne
• Giro y voltereta
• Agujero negro giratorio

Notas al pie

1. Advertencia: No confunda los momentos multipolares relativistas calculados por Hansen con los momentos multipolares de Weyl que se analizan a continuación.

Referencias

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Lectura adicional

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• Meinel, Reinhard ; Ansorg, Marco; Kleinwachter, Andreas; Neugebauer, Gernot; Petrov, David (2008). Figuras relativistas de equilibrio. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86383-4.
• O'Neill, Barrett (1995). La geometría de los agujeros negros de Kerr . Wellesley, Massachusetts: AK Peters. ISBN 978-1-56881-019-5.
• D'Inverno, Ray (1992). Introducción a la relatividad de Einstein . Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-859686-8. Consulte el capítulo 19 para obtener una introducción legible a nivel de pregrado avanzado.
• Chandrasekhar, S. (1992). La teoría matemática de los agujeros negros . Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850370-5. Consulte los capítulos 6 al 10 para un estudio muy exhaustivo a nivel de posgrado avanzado.
• Griffiths, JB (1991). Ondas planas en colisión en la relatividad general . Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853209-5. Consulte el capítulo 13 para ver el modelo CPW de Chandrasekhar/Ferrari.
• Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975). Introducción a la relatividad general (segunda edición). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000423-8. Véase el capítulo 7 .
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• Krasiński, Andrzej; Verdaguer, Enric; Kerr, Roy Patrick (2009). "Nota editorial para: RP Kerr y A. Schild, Una nueva clase de soluciones de vacío de las ecuaciones de campo de Einstein". Relatividad general y gravitación . 41 (10): 2469–2484. Código Bibliográfico :2009GReGr..41.2469K. doi : 10.1007/s10714-009-0856-0 ."... Esta nota pretende ser una guía para aquellos lectores que deseen verificar todos los detalles [de la derivación de la solución de Kerr]..."