Espacio-tiempo estacionario

Espacio-tiempo que admite un vector de Asesinato que es asintóticamente temporal

En la relatividad general , específicamente en las ecuaciones de campo de Einstein , se dice que un espacio-tiempo es estacionario si admite un vector de Killing que es asintóticamente temporal . ^[1]

Descripción y análisis

En un espacio-tiempo estacionario, los componentes del tensor métrico, , pueden elegirse de modo que sean todos independientes de la coordenada temporal. El elemento de línea de un espacio-tiempo estacionario tiene la forma ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle (i,j=1,2,3)}$

${\displaystyle ds^{2}=\lambda (dt-\omega _{i}\,dy^{i})^{2}-\lambda ^{-1}h_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j},}$

donde es la coordenada temporal, son las tres coordenadas espaciales y es el tensor métrico del espacio tridimensional. En este sistema de coordenadas, el campo vectorial de Killing tiene las componentes . es un escalar positivo que representa la norma del vector de Killing, es decir, , y es un 3-vector, llamado vector de torsión, que se desvanece cuando el vector de Killing es ortogonal a la hipersuperficie. Este último surge como los componentes espaciales del 4-vector de torsión (véase, por ejemplo, ^[2] p. 163) que es ortogonal al vector de Killing , es decir, satisface . El vector de torsión mide el grado en el que el vector de Killing no es ortogonal a una familia de 3-superficies. Una torsión distinta de cero indica la presencia de rotación en la geometría del espacio-tiempo. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y^{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }=(1,0,0,0)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =g_{\mu \nu }\xi ^{\mu }\xi ^{\nu }}$ ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle \omega _{\mu }=e_{\mu \nu \rho \sigma }\xi ^{\nu }\nabla ^{\rho }\xi ^{\sigma }}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \omega _{\mu }\xi ^{\mu }=0}$

La representación de coordenadas descrita anteriormente tiene una interpretación geométrica interesante. ^[3] El vector de Killing de traslación temporal genera un grupo de un parámetro de movimiento en el espacio-tiempo . Al identificar los puntos del espacio-tiempo que se encuentran en una trayectoria particular (también llamada órbita) se obtiene un espacio tridimensional (la variedad de trayectorias de Killing) , el espacio cociente. Cada punto de representa una trayectoria en el espacio-tiempo . Esta identificación, llamada proyección canónica, es una aplicación que envía cada trayectoria en sobre un punto en e induce una métrica en a través del pullback. Las cantidades , y son todas campos en y son, en consecuencia, independientes del tiempo. Por lo tanto, la geometría de un espacio-tiempo estacionario no cambia en el tiempo. En el caso especial , se dice que el espacio-tiempo es estático . Por definición, todo espacio-tiempo estático es estacionario, pero lo inverso no es generalmente cierto, ya que la métrica de Kerr proporciona un contraejemplo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V=M/G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi :M\rightarrow V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h=-\lambda \pi *g}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \omega _{i}=0}$

Utilizar como punto de partida para ecuaciones de campo de vacío

En un espacio-tiempo estacionario que satisface las ecuaciones de Einstein del vacío fuera de las fuentes, el 4-vector de torsión no tiene rizos, ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle \omega _{\mu }}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }\omega _{\nu }-\nabla _{\nu }\omega _{\mu }=0,\,}$

y por lo tanto es localmente el gradiente de un escalar (llamado escalar de torsión): ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega _{\mu }=\nabla _{\mu }\omega .\,}$

En lugar de los escalares , es más conveniente utilizar los dos potenciales de Hansen, los potenciales de masa y momento angular, y , definidos como ^[4] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Phi _{M}}$ ${\displaystyle \Phi _{J}}$

${\displaystyle \Phi _{M}={\frac {1}{4}}\lambda ^{-1}(\lambda ^{2}+\omega ^{2}-1),}$

${\displaystyle \Phi _{J}={\frac {1}{2}}\lambda ^{-1}\omega .}$

En la relatividad general, el potencial de masa desempeña el papel del potencial gravitatorio newtoniano. Un potencial de momento angular no trivial surge para fuentes rotatorias debido a la energía cinética rotacional que, debido a la equivalencia masa-energía, también puede actuar como fuente de un campo gravitatorio. La situación es análoga a un campo electromagnético estático donde uno tiene dos conjuntos de potenciales, eléctrico y magnético. En la relatividad general, las fuentes rotatorias producen un campo gravitomagnético que no tiene análogo newtoniano. ${\displaystyle \Phi _{M}}$ ${\displaystyle \Phi _{J}}$

Por lo tanto, una métrica de vacío estacionaria se puede expresar en términos de los potenciales de Hansen ( , ) y la métrica 3. En términos de estas cantidades, las ecuaciones de campo de vacío de Einstein se pueden expresar en la forma ^[4] ${\displaystyle \Phi _{A}}$ ${\displaystyle A=M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle h_{ij}}$

${\displaystyle (h^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}-2R^{(3)})\Phi _{A}=0,\,}$

${\displaystyle R_{ij}^{(3)}=2[\nabla _{i}\Phi _{A}\nabla _{j}\Phi _{A}-(1+4\Phi ^{2})^{-1}\nabla _{i}\Phi ^{2}\nabla _{j}\Phi ^{2}],}$

donde , y es el tensor de Ricci de la métrica espacial y el escalar de Ricci correspondiente. Estas ecuaciones forman el punto de partida para investigar métricas de vacío estacionarias exactas. ${\displaystyle \Phi ^{2}=\Phi _{A}\Phi _{A}=(\Phi _{M}^{2}+\Phi _{J}^{2})}$ ${\displaystyle R_{ij}^{(3)}}$ ${\displaystyle R^{(3)}=h^{ij}R_{ij}^{(3)}}$

Véase también

• Espacio-tiempo estático
• Espacio-tiempo simétrico esférico

Referencias

1. Ludvigsen, M., Relatividad general: un enfoque geométrico, Cambridge University Press, 1999 ISBN  052163976X
2. Wald, RM, (1984). Relatividad general, (U. Chicago Press)
3. Geroch, R., (1971). J. Matemáticas. Física. 12, 918
4. Hansen, RO (1974). J. Math. Phys. 15, 46.