Espacio-tiempo asintóticamente plano

Un espaciotiempo asintóticamente plano es una variedad lorentziana en la que, en términos generales, la curvatura desaparece a grandes distancias de alguna región, de modo que a grandes distancias la geometría se vuelve indistinguible de la del espaciotiempo de Minkowski .

Si bien esta noción tiene sentido para cualquier variedad lorentziana, se aplica con mayor frecuencia a un espacio-tiempo que se presenta como una solución a las ecuaciones de campo de alguna teoría métrica de la gravitación , particularmente la relatividad general . En este caso, podemos decir que un espacio-tiempo asintóticamente plano es aquel en el que el campo gravitacional , así como cualquier materia u otros campos que puedan estar presentes, se vuelven insignificantes en magnitud a grandes distancias de alguna región. En particular, en una solución de vacío asintóticamente plana , el campo gravitacional (curvatura) se vuelve insignificante a grandes distancias de la fuente del campo (típicamente algún objeto masivo aislado como una estrella). ^[1]

Significado intuitivo

La condición de planitud asintótica es análoga a condiciones similares en matemáticas y en otras teorías físicas. Dichas condiciones indican que algún campo físico o función matemática se desvanece asintóticamente en un sentido adecuado. ^{[ cita requerida ]}

En la relatividad general, una solución de vacío asintóticamente plana modela el campo gravitatorio exterior de un objeto masivo aislado. Por lo tanto, dicho espacio-tiempo puede considerarse como un sistema aislado : un sistema en el que las influencias externas pueden despreciarse . De hecho, los físicos rara vez imaginan un universo que contenga una sola estrella y nada más cuando construyen un modelo asintóticamente plano de una estrella. ^{[ cita requerida ]} Más bien, están interesados ​​en modelar el interior de la estrella junto con una región exterior en la que los efectos gravitacionales debidos a la presencia de otros objetos pueden despreciarse. Dado que las distancias típicas entre los cuerpos astrofísicos tienden a ser mucho mayores que el diámetro de cada cuerpo, a menudo podemos salirnos con la nuestra con esta idealización, que generalmente ayuda a simplificar en gran medida la construcción y el análisis de soluciones.

Definiciones formales

Una variedad es asintóticamente simple si admite una compactificación conforme tal que cada geodésica nula en tiene puntos finales futuros y pasados ​​en el límite de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$

Dado que este último excluye los agujeros negros, se define una variedad débilmente asintóticamente simple como una variedad con un conjunto abierto isométrico a un vecindario del límite de , donde es la compactificación conforme de alguna variedad asintóticamente simple. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$

Una variedad es asintóticamente plana si es débilmente asintóticamente simple y asintóticamente vacía en el sentido de que su tensor de Ricci se desvanece en una vecindad del límite de . ${\displaystyle {\tilde {M}}}$

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Algunos ejemplos y no ejemplos

Sólo los espacio-tiempos que modelan un objeto aislado son asintóticamente planos. Muchas otras soluciones exactas conocidas, como los modelos FRW , no lo son.

Un ejemplo simple de un espacio-tiempo asintóticamente plano es la solución métrica de Schwarzschild . De manera más general, la métrica de Kerr también es asintóticamente plana. Pero otra generalización bien conocida del vacío de Schwarzschild, el espacio Taub-NUT , no es asintóticamente plano. Una generalización aún más simple, la solución métrica de De Sitter-Schwarzschild , que modela un objeto masivo esféricamente simétrico inmerso en un universo de De Sitter , es un ejemplo de un espacio-tiempo asintóticamente simple que no es asintóticamente plano.

Por otra parte, existen grandes e importantes familias de soluciones que son asintóticamente planas, como las métricas AF Weyl y sus generalizaciones rotatorias, los vacíos AF Ernst (la familia de todas las soluciones de vacío estacionarias axisimétricas y asintóticamente planas). Estas familias están dadas por el espacio de soluciones de una familia mucho más simplificada de ecuaciones diferenciales parciales, y sus tensores métricos pueden escribirse en términos de una expansión multipolar explícita .

Una definición dependiente de coordenadas

La forma más simple (e históricamente la primera) de definir un espacio-tiempo asintóticamente plano supone que tenemos un gráfico de coordenadas, con coordenadas , que lejos del origen se comporta de forma muy similar a un gráfico cartesiano en el espacio-tiempo de Minkowski, en el siguiente sentido. Escribimos el tensor métrico como la suma de un fondo de Minkowski (físicamente inobservable) más un tensor de perturbación, , y establecemos . Entonces necesitamos: ${\displaystyle t,x,y,z}$ ${\displaystyle g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}}$ ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

• ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }h_{ab}=O(1/r)}$
• ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }h_{ab,p}=O(1/r^{2})}$
• ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }h_{ab,pq}=O(1/r^{3})}$

Una razón por la que necesitamos que las derivadas parciales de la perturbación decaigan tan rápidamente es que estas condiciones implican que la densidad de energía del campo gravitacional (en la medida en que esta noción algo nebulosa tiene sentido en una teoría métrica de la gravitación) decae como , lo que sería físicamente sensato. (En el electromagnetismo clásico , la energía del campo electromagnético de una carga puntual decae como ). ${\displaystyle O(1/r^{4})}$ ${\displaystyle O(1/r^{4})}$

Una definición sin coordenadas

Alrededor de 1962, Hermann Bondi , Rainer K. Sachs y otros comenzaron a estudiar el fenómeno general de la radiación de una fuente compacta en la relatividad general, lo que requiere definiciones más flexibles de planitud asintótica. En 1963, Roger Penrose importó de la geometría algebraica la innovación esencial, ahora llamada compactificación conforme , y en 1972, Robert Geroch la utilizó para eludir el complicado problema de definir y evaluar adecuadamente los límites adecuados para formular una definición verdaderamente libre de coordenadas de planitud asintótica. En el nuevo enfoque, una vez que todo está configurado correctamente, solo se necesitan evaluar funciones en un lugar geométrico para verificar la planitud asintótica.

Aplicaciones

La noción de planitud asintótica es extremadamente útil como condición técnica en el estudio de soluciones exactas en relatividad general y teorías afines. Existen varias razones para ello:

• Los modelos de fenómenos físicos en la relatividad general (y teorías físicas afines) generalmente surgen como la solución de sistemas apropiados de ecuaciones diferenciales , y suponer una planitud asintótica proporciona condiciones de contorno que ayudan a establecer e incluso a resolver el problema de valor de contorno resultante .
• En las teorías métricas de la gravitación, como la relatividad general, normalmente no es posible dar definiciones generales de conceptos físicos importantes como la masa y el momento angular; sin embargo, suponer una planicidad asintótica permite emplear definiciones convenientes que sí tienen sentido para soluciones asintóticamente planas.
• Si bien esto es menos obvio, resulta que invocar la planitud asintótica permite a los físicos importar conceptos matemáticos sofisticados de la geometría algebraica y la topología diferencial para definir y estudiar características importantes como horizontes de eventos que pueden o no estar presentes.

Véase también

• Solución fluida
• Ecuaciones de campo de Einstein

Referencias

• Hawking, SW y Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09906-6. Consulte la Sección 6.9 para una discusión de los espaciotiempos asintóticamente simples.
• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5. Véase el capítulo 11 .
• Frauendiener, Jörg. "Conformal Infinity". Living Reviews in Relativity . Archivado desde el original el 31 de diciembre de 2005. Consultado el 23 de enero de 2004 .
• Mars, M. y Senovilla, JMM (1998). "Sobre la construcción de modelos globales que describen cuerpos en rotación; unicidad del campo gravitacional exterior". Modern Physics Letters A . 13 (19): 1509–1519. arXiv : gr-qc/9806094 . Bibcode :1998MPLA...13.1509M. doi :10.1142/S0217732398001583. S2CID  5289048.Los autores sostienen que los problemas de valores de contorno en la relatividad general, como el problema de hacer coincidir un fluido interior perfecto dado con un vacío exterior asintóticamente plano, están sobredeterminados . Esto no implica que no existan modelos de una estrella rotatoria, pero ayuda a explicar por qué parecen ser difíciles de construir.
• Mark D. Roberts, Spacetime Exterior to a Star: Against Asymptotic Flatness. Versión del 16 de mayo de 2002. Roberts intenta argumentar que la solución exterior en un modelo de una estrella rotatoria debería ser un fluido perfecto o polvo en lugar de un vacío, y luego argumenta que no existen soluciones fluidas perfectas rotatorias asintóticamente planas en la relatividad general. ( Nota: Mark Roberts es un colaborador ocasional de Wikipedia, incluido este artículo.
• Mars, Marc (1998). "La solución Wahlquist-Newman". Phys. Rev. D . 63 (6): 064022. arXiv : gr-qc/0101021 . Código Bibliográfico :2001PhRvD..63f4022M. CiteSeerX  10.1.1.339.8609 . doi :10.1103/PhysRevD.63.064022. S2CID  1644106.eprint Mars presenta un espaciotiempo rotatorio de tipo D de Petrov que incluye las conocidas soluciones de fluido Wahlquist y electrovacío de Kerr-Newman como caso especial.
• MacCallum, MAH; Mars, M.; y Vera, R. Perturbaciones de segundo orden de cuerpos rotatorios en equilibrio: el problema del vacío exterior Esta es una breve revisión por parte de tres expertos líderes del estado actual del arte en la construcción de soluciones exactas que modelan cuerpos rotatorios aislados (con un exterior de vacío asintóticamente plano ).

Enlaces externos

• Las ecuaciones de campo de Einstein y sus implicaciones físicas

Notas

1. "Física" (PDF) .
2. Townsend, P. K (1997). "Agujeros negros". arXiv : gr-qc/9707012 .