En relatividad general , una solución exacta es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein cuya derivación no invoca suposiciones simplificadoras, aunque el punto de partida para esa derivación puede ser un caso idealizado como una forma perfectamente esférica de materia. Matemáticamente, encontrar una solución exacta significa encontrar una variedad lorentziana equipada con campos tensoriales que modelen estados de materia ordinaria, como un fluido , o campos no gravitacionales clásicos como el campo electromagnético .
Estos campos tensoriales deben obedecer a cualquier ley física relevante (por ejemplo, cualquier campo electromagnético debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell ). Siguiendo una receta estándar que se usa ampliamente en física matemática , estos campos tensoriales también deberían dar lugar a contribuciones específicas al tensor de tensión-energía . [1] (Un campo se describe mediante un lagrangiano , variando con respecto al campo deberían dar las ecuaciones de campo y variando con respecto a la métrica debería dar la contribución de tensión-energía debido al campo).
Finalmente, cuando se suman todas las contribuciones al tensor de tensión-energía, el resultado debe ser una solución de las ecuaciones de campo de Einstein.
En las ecuaciones de campo anteriores, es el tensor de Einstein , calculado únicamente a partir del tensor métrico que forma parte de la definición de una variedad de Lorentz. Dado que dar el tensor de Einstein no determina completamente el tensor de Riemann , sino que deja sin especificar el tensor de Weyl (véase la descomposición de Ricci ), la ecuación de Einstein puede considerarse una especie de condición de compatibilidad: la geometría del espacio-tiempo debe ser consistente con la cantidad y el movimiento de cualquier materia o campos no gravitacionales, en el sentido de que la presencia inmediata "aquí y ahora" de energía-momento no gravitacional causa una cantidad proporcional de curvatura de Ricci "aquí y ahora". Además, tomando derivadas covariantes de las ecuaciones de campo y aplicando las identidades de Bianchi , se encuentra que una cantidad/movimiento adecuadamente variable de energía-momento no gravitacional puede causar que las ondulaciones en la curvatura se propaguen como radiación gravitacional , incluso a través de regiones de vacío , que no contienen materia ni campos no gravitacionales.
Cualquier variedad lorentziana es una solución de la ecuación de campo de Einstein para algún miembro derecho. Esto se ilustra con el siguiente procedimiento:
Esto demuestra que hay dos formas complementarias de utilizar la relatividad general:
En el primer enfoque, el supuesto tensor de tensión-energía debe surgir de la forma estándar a partir de una distribución de materia "razonable" o un campo no gravitacional. En la práctica, esta noción es bastante clara, especialmente si restringimos los campos no gravitacionales admisibles al único conocido en 1916, el campo electromagnético . Pero idealmente nos gustaría tener alguna caracterización matemática que establezca alguna prueba puramente matemática que podamos aplicar a cualquier supuesto "tensor de tensión-energía", que supere todo lo que pueda surgir de un escenario físico "razonable" y rechace todo lo demás. No se conoce tal caracterización. En cambio, tenemos pruebas rudimentarias conocidas como condiciones de energía , que son similares a imponer restricciones a los valores propios y vectores propios de un operador lineal . Por un lado, estas condiciones son demasiado permisivas: admitirían "soluciones" que casi nadie cree que sean físicamente razonables. Por otro lado, pueden ser demasiado restrictivas: las condiciones de energía más populares aparentemente son violadas por el efecto Casimir .
Einstein también reconoció otro elemento de la definición de una solución exacta: debería ser una variedad lorentziana (que cumpla criterios adicionales), es decir, una variedad lisa . Pero al trabajar con la relatividad general, resulta muy útil admitir soluciones que no son lisas en todas partes; los ejemplos incluyen muchas soluciones creadas al hacer coincidir una solución interior fluida perfecta con una solución exterior de vacío y ondas planas impulsivas. Una vez más, la tensión creativa entre elegancia y conveniencia, respectivamente, ha demostrado ser difícil de resolver satisfactoriamente.
Además de estas objeciones locales , tenemos el problema mucho más desafiante de que hay muchísimas soluciones exactas que son inobjetables localmente, pero que exhiben globalmente características causalmente sospechosas, como curvas temporales cerradas o estructuras con puntos de separación ("mundos de pantalones"). Algunas de las soluciones exactas más conocidas, de hecho, tienen un carácter globalmente extraño.
Muchas soluciones exactas conocidas pertenecen a uno de varios tipos, dependiendo de la interpretación física prevista del tensor de tensión-energía:
Además de fenómenos bien establecidos como los fluidos o las ondas electromagnéticas, se pueden contemplar modelos en los que el campo gravitacional es producido enteramente por la energía de campo de varios campos hipotéticos exóticos:
Una posibilidad a la que se le ha prestado poca atención (quizás porque las matemáticas son muy complejas) es el problema de modelar un sólido elástico . Actualmente, parece que no se conocen soluciones exactas para este tipo específico.
A continuación hemos esbozado una clasificación por interpretación física. Las soluciones también se pueden organizar utilizando la clasificación de Segre de las posibles simetrías algebraicas del tensor de Ricci :
Los tipos Segre restantes no tienen una interpretación física particular y la mayoría de ellos no pueden corresponder a ningún tipo conocido de contribución al tensor tensión-energía.
En artículos especializados (ver más abajo) se enumeran ejemplos notables de soluciones de vacío, soluciones de electrovacío, etc. Estas soluciones contienen como máximo una contribución al tensor de energía-momento , debido a un tipo específico de materia o campo. Sin embargo, hay algunas soluciones exactas notables que contienen dos o tres contribuciones, entre ellas:
Las ecuaciones de campo de Einstein son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineales acopladas . En general, esto hace que sean difíciles de resolver. No obstante, se han establecido varias técnicas eficaces para obtener soluciones exactas.
La más simple implica imponer condiciones de simetría al tensor métrico , como la estacionariedad (simetría bajo traslación temporal ) o la axisimetría (simetría bajo rotación alrededor de algún eje de simetría ). Con suposiciones suficientemente inteligentes de este tipo, a menudo es posible reducir la ecuación de campo de Einstein a un sistema de ecuaciones mucho más simple, incluso una única ecuación diferencial parcial (como sucede en el caso de soluciones de vacío axisimétricas estacionarias, que se caracterizan por la ecuación de Ernst ) o un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (como sucede en el caso del vacío de Schwarzschild ).
Este enfoque ingenuo generalmente funciona mejor si se utiliza un campo de marco en lugar de una base de coordenadas.
Una idea relacionada implica imponer condiciones de simetría algebraica al tensor de Weyl , al tensor de Ricci o al tensor de Riemann . Estas condiciones se suelen expresar en términos de la clasificación de Petrov de las posibles simetrías del tensor de Weyl o de la clasificación de Segre de las posibles simetrías del tensor de Ricci. Como se desprende de la discusión anterior, estos Ansätze suelen tener algún contenido físico, aunque esto podría no resultar evidente a partir de su forma matemática.
Este segundo tipo de enfoque de simetría se ha utilizado a menudo con el formalismo de Newman-Penrose , que utiliza cantidades espinoriales para una contabilidad más eficiente.
Incluso después de tales reducciones de simetría, el sistema reducido de ecuaciones suele ser difícil de resolver. Por ejemplo, la ecuación de Ernst es una ecuación diferencial parcial no lineal que se parece un poco a la ecuación no lineal de Schrödinger (NLS).
Pero recordemos que el grupo conforme en el espacio-tiempo de Minkowski es el grupo de simetría de las ecuaciones de Maxwell . Recordemos también que las soluciones de la ecuación del calor se pueden encontrar suponiendo un Ansatz de escala . Estas nociones son simplemente casos especiales de la noción de Sophus Lie de la simetría puntual de una ecuación diferencial (o sistema de ecuaciones), y como mostró Lie, esto puede proporcionar una vía de ataque a cualquier ecuación diferencial que tenga un grupo de simetría no trivial. De hecho, tanto la ecuación de Ernst como la NLS tienen grupos de simetría no triviales, y algunas soluciones se pueden encontrar aprovechando sus simetrías. Estos grupos de simetría suelen ser de dimensión infinita, pero esta no siempre es una característica útil.
Emmy Noether demostró que una generalización ligera pero profunda de la noción de simetría de Lie puede dar como resultado un método de ataque aún más poderoso. Esto resulta estar estrechamente relacionado con el descubrimiento de que algunas ecuaciones, que se dice que son completamente integrables , disfrutan de una secuencia infinita de leyes de conservación . Es bastante notable que tanto la ecuación de Ernst (que surge de varias maneras en los estudios de soluciones exactas) como la NLS resulten ser completamente integrables. Por lo tanto, son susceptibles de solución mediante técnicas que se asemejan a la transformada de dispersión inversa que se desarrolló originalmente para resolver la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV) , una ecuación diferencial parcial no lineal que surge en la teoría de solitones y que también es completamente integrable. Desafortunadamente, las soluciones obtenidas por estos métodos a menudo no son tan buenas como uno desearía. Por ejemplo, de manera análoga a la forma en que se obtiene una solución de solitones múltiples del KdV a partir de la solución de solitón único (que se puede encontrar a partir de la noción de simetría puntual de Lie), se puede obtener una solución de objetos Kerr múltiples, pero desafortunadamente, esto tiene algunas características que lo hacen físicamente inverosímil. [2]
Existen también diversas transformaciones (véase la transformada de Belinski-Zakharov ) que pueden transformar (por ejemplo) una solución de vacío encontrada por otros medios en una nueva solución de vacío, o en una solución de electrovacío, o en una solución de fluido. Estas son análogas a las transformaciones de Bäcklund conocidas a partir de la teoría de ciertas ecuaciones diferenciales parciales , incluyendo algunos ejemplos famosos de ecuaciones de solitones . Esto no es casualidad, ya que este fenómeno también está relacionado con las nociones de Noether y Lie sobre simetría. Desafortunadamente, incluso cuando se aplican a una solución "bien entendida", admisible globalmente, estas transformaciones a menudo producen una solución que es poco entendida y su interpretación general aún es desconocida.
Dada la dificultad de construir familias pequeñas y explícitas de soluciones, y mucho menos de presentar algo así como una solución "general" a la ecuación de campo de Einstein, o incluso una solución "general" a la ecuación de campo del vacío , un enfoque muy razonable es tratar de encontrar propiedades cualitativas que se cumplan para todas las soluciones, o al menos para todas las soluciones del vacío . Una de las preguntas más básicas que uno puede hacerse es: ¿existen soluciones y, si es así, cuántas ?
Para empezar, debemos adoptar una formulación de valor inicial adecuada de la ecuación de campo, que dé dos nuevos sistemas de ecuaciones, uno que dé una restricción sobre los datos iniciales y el otro que dé un procedimiento para convertir estos datos iniciales en una solución. Entonces, se puede demostrar que existen soluciones al menos localmente , utilizando ideas no muy diferentes de las que se encuentran al estudiar otras ecuaciones diferenciales.
Para tener una idea de "cuántas" soluciones podemos esperar de manera optimista, podemos recurrir al método de recuento de restricciones de Einstein. Una conclusión típica de este tipo de argumento es que se puede especificar una solución genérica de vacío para la ecuación de campo de Einstein dando cuatro funciones arbitrarias de tres variables y seis funciones arbitrarias de dos variables. Estas funciones especifican datos iniciales, a partir de los cuales se puede desarrollar una solución de vacío única . (En contraste, los vacíos de Ernst, la familia de todas las soluciones de vacío axisimétricas estacionarias, se especifican dando sólo dos funciones de dos variables, que ni siquiera son arbitrarias, sino que deben satisfacer un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales no lineales acopladas. Esto puede dar una idea de lo diminuta que es realmente una típica "gran" familia de soluciones exactas, en el gran esquema de las cosas).
Sin embargo, este análisis burdo no aborda la cuestión mucho más difícil de la existencia global de soluciones. Los resultados de existencia global que se conocen hasta ahora implican otra idea.
Podemos imaginar "perturbar" el campo gravitatorio fuera de algún objeto masivo aislado "enviando algo de radiación desde el infinito". Podemos preguntar: ¿qué sucede cuando la radiación entrante interactúa con el campo ambiental? En el enfoque de la teoría de perturbaciones clásica , podemos comenzar con el vacío de Minkowski (u otra solución muy simple, como el lambdavacuum de De Sitter), introducir perturbaciones métricas muy pequeñas y retener solo términos hasta cierto orden en una expansión de perturbación adecuada, algo así como evaluar una especie de serie de Taylor para la geometría de nuestro espacio-tiempo. Este enfoque es esencialmente la idea detrás de las aproximaciones post-newtonianas utilizadas en la construcción de modelos de un sistema gravitatorio como un púlsar binario . Sin embargo, las expansiones de perturbaciones generalmente no son confiables para cuestiones de existencia y estabilidad a largo plazo, en el caso de ecuaciones no lineales.
La ecuación de campo completa es altamente no lineal, por lo que realmente queremos demostrar que el vacío de Minkowski es estable bajo pequeñas perturbaciones que se tratan utilizando la ecuación de campo completamente no lineal. Esto requiere la introducción de muchas ideas nuevas. El resultado deseado, a veces expresado por el eslogan de que el vacío de Minkowski es no linealmente estable, fue finalmente demostrado por Demetrios Christodoulou y Sergiu Klainerman recién en 1993. [3] Se conocen resultados análogos para perturbaciones lambdavac del lambdavac de Sitter (Helmut Friedrich) y para perturbaciones electrovacío del vacío de Minkowski (Nina Zipser). En contraste, se sabe que el espacio-tiempo anti -de Sitter es inestable bajo ciertas condiciones. [4] [5]
Otra cuestión que podría preocuparnos es si la masa-energía neta de una concentración aislada de densidad (y momento) de masa-energía positiva siempre produce una masa neta bien definida (y no negativa). Este resultado, conocido como el teorema de la energía positiva, fue finalmente demostrado por Richard Schoen y Shing-Tung Yau en 1979, quienes hicieron una suposición técnica adicional sobre la naturaleza del tensor de tensión-energía. La prueba original es muy difícil; Edward Witten pronto presentó una "prueba del físico" mucho más corta, que ha sido justificada por los matemáticos, utilizando argumentos adicionales muy difíciles. Roger Penrose y otros también han ofrecido argumentos alternativos para variantes del teorema original de la energía positiva.
