Transformada de Belinski-Zakharov

Transformación matemática para generar soluciones solitones de las ecuaciones de campo de Einstein

La transformada de Belinski-Zakharov (inversa) es una transformación no lineal que genera nuevas soluciones exactas de la ecuación de campo de Einstein del vacío . Fue desarrollada por Vladimir Belinski y Vladimir Zakharov en 1978. ^[1] La transformada de Belinski-Zakharov es una generalización de la transformada de dispersión inversa . Las soluciones producidas por esta transformada se denominan solitones gravitacionales (gravisolitones). A pesar de que se utiliza el término "solitón" para describir los solitones gravitacionales, su comportamiento es muy diferente al de otros solitones (clásicos). ^[2] En particular, los solitones gravitacionales no conservan su amplitud y forma en el tiempo, y hasta junio de 2012 su interpretación general sigue siendo desconocida. Lo que sí se sabe, sin embargo, es que la mayoría de los agujeros negros (y en particular la métrica de Schwarzschild y la métrica de Kerr ) son casos especiales de solitones gravitacionales.

Introducción

La transformada de Belinski-Zakharov funciona para intervalos de espacio-tiempo de la forma

${\displaystyle ds^{2}=f(-d(x^{0})^{2}+d(x^{1})^{2})+g_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$

donde utilizamos la convención de suma de Einstein para . Se supone que tanto la función como la matriz dependen de las coordenadas y solamente . A pesar de ser una forma específica del intervalo espacio-temporal que depende solamente de dos variables, incluye una gran cantidad de soluciones interesantes como casos especiales, como la métrica de Schwarzschild , la métrica de Kerr , la métrica de Einstein-Rosen y muchas otras. ${\displaystyle a,b=2,3}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=g_{ab}}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle x^{1}}$

En este caso, la ecuación de vacío de Einstein se descompone en dos conjuntos de ecuaciones para la matriz y la función . Utilizando las coordenadas del cono de luz , la primera ecuación para la matriz es ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle g=g_{ab}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \zeta =x^{0}+x^{1},\eta =x^{0}-x^{1}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle (\alpha g_{,\zeta }g^{-1})_{,\eta }+(\alpha g_{,\eta }g^{-1})_{,\zeta }=0}$

donde es la raíz cuadrada del determinante de , es decir ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \det g=\alpha ^{2}}$

El segundo conjunto de ecuaciones es

${\displaystyle (\ln f)_{,\zeta }={\frac {(\ln \alpha )_{,\zeta \zeta }}{(\ln \alpha )_{,\zeta }}}+{\frac {\alpha }{4\alpha _{,\zeta }}}\operatorname {tr} (g_{,\zeta }g^{-1}g_{,\zeta }g^{-1})}$

${\displaystyle (\ln f)_{,\eta }={\frac {(\ln \alpha )_{,\eta \eta }}{(\ln \alpha )_{,\eta }}}+{\frac {\alpha }{4\alpha _{,\eta }}}\operatorname {tr} (g_{,\eta }g^{-1}g_{,\eta }g^{-1})}$

Tomando la traza de la ecuación matricial para revela que de hecho satisface la ecuación de onda ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha _{,\zeta \eta }=0}$

La pareja Lax

Consideremos los operadores lineales definidos por ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$

${\displaystyle D_{1}=\partial _{\zeta }+{\frac {2\alpha _{,\zeta }\lambda }{\lambda -\alpha }}\partial _{\lambda }}$

${\displaystyle D_{2}=\partial _{\eta }-{\frac {2\alpha _{,\eta }\lambda }{\lambda +\alpha }}\partial _{\lambda }}$

donde es un parámetro espectral complejo auxiliar. Un cálculo simple muestra que, dado que satisface la ecuación de onda, . Este par de operadores conmuta, este es el par Lax . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \left[D_{1},D_{2}\right]=0}$

La esencia de la transformación de dispersión inversa es reescribir la ecuación no lineal de Einstein como un sistema de ecuaciones lineal sobredeterminado para una nueva función matricial . Consideremos las ecuaciones de Belinski-Zakharov: ${\displaystyle \psi =\psi (\zeta ,\eta ,\lambda )}$

${\displaystyle D_{1}\psi ={\frac {A}{\lambda -\alpha }}\psi }$

${\displaystyle D_{2}\psi ={\frac {B}{\lambda +\alpha }}\psi }$

Al operar en el lado izquierdo de la primera ecuación con y en el lado izquierdo de la segunda ecuación con y restando los resultados, el lado izquierdo se anula como resultado de la conmutatividad de y . En cuanto al lado derecho, un cálculo breve muestra que, de hecho, también se anula precisamente cuando satisface la ecuación matricial no lineal de Einstein. ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle g}$

Esto significa que las ecuaciones lineales sobredeterminadas de Belinski-Zakharov se pueden resolver simultáneamente exactamente cuando se resuelve la ecuación matricial no lineal . En realidad, se puede restaurar fácilmente a partir de la función matricial mediante un simple proceso de limitación. Tomando el límite en las ecuaciones de Belinski-Zakharov y multiplicando por desde la derecha se obtiene ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lambda \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \psi ^{-1}}$

${\displaystyle \psi _{,\zeta }\psi ^{-1}=g_{,\zeta }g^{-1}}$

${\displaystyle \psi _{,\eta }\psi ^{-1}=g_{,\eta }g^{-1}}$

De esta manera, se obtiene una solución de la ecuación no lineal a partir de una solución de la ecuación lineal de Belinski-Zakharov mediante una evaluación simple. ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(\zeta ,\eta )=\psi (\zeta ,\eta ,0)}$

Referencias

1. Belinskii, V.; Zakharov, V. (1978). "Integración de las ecuaciones de Einstein mediante la técnica del problema de dispersión inversa y construcción de soluciones solitones exactas". Sov. Phys. JETP . 48 (6): 985–994. ISSN  0038-5646.
2. Belinski, V.; Verdaguer, E. (2001). Solitones gravitacionales . Cambridge Monographs on Mathematical Physics.