Métricas de Weyl

En relatividad general , las métricas de Weyl (nombradas en honor al matemático germano-estadounidense Hermann Weyl ) ^[1] son ​​una clase de soluciones estáticas y axisimétricas de la ecuación de campo de Einstein . Tres miembros de la reconocida familia de soluciones de Kerr-Newman , a saber, las métricas de Schwarzschild , Reissner-Nordström no extrema y Reissner-Nordström extrema, pueden identificarse como métricas de tipo Weyl.

Métricas estándar de Weyl

La clase de soluciones de Weyl tiene la forma genérica ^{[2] [3]}

donde y son dos potenciales métricos que dependen de las coordenadas canónicas de Weyl . El sistema de coordenadas sirve mejor para las simetrías del espacio-tiempo de Weyl (con dos campos vectoriales de Killing siendo y ) y a menudo actúa como coordenadas cilíndricas , ^[2] pero es incompleto cuando se describe un agujero negro que solo cubre el horizonte y sus exteriores. ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \{\rho \,,z\}}$ ${\displaystyle \{t,\rho ,z,\phi \}}$ ${\displaystyle \xi ^{t}=\partial _{t}}$ ${\displaystyle \xi ^{\phi }=\partial _{\phi }}$ ${\displaystyle \{\rho \,,z\}}$

Por lo tanto, para determinar una solución axisimétrica estática correspondiente a un tensor de tensión-energía específico , solo necesitamos sustituir la métrica de Weyl Eq(1) en la ecuación de Einstein (con c = G =1): ${\displaystyle T_{ab}}$

y calcular las dos funciones y . ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$

Ecuaciones de campo reducidas para soluciones de Weyl de electrovac

Una de las soluciones de Weyl mejor investigadas y más útiles es el caso electrovac, donde se parte de la existencia de un campo electromagnético (tipo Weyl) (sin flujos de materia y corriente). Como sabemos, dado el potencial electromagnético 4 , el campo electromagnético antisimétrico y el tensor de tensión-energía sin trazas estarán determinados respectivamente por ${\displaystyle T_{ab}}$ ${\displaystyle A_{a}}$ ${\displaystyle F_{ab}}$ ${\displaystyle T_{ab}}$ ${\displaystyle (T=g^{ab}T_{ab}=0)}$

que respeta las ecuaciones de Maxwell covariantes libres de fuente:

La ecuación (5.a) se puede simplificar a:

en los cálculos como . Además, dado que para el electrovacío, la ecuación (2) se reduce a ${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}}$ ${\displaystyle R=-8\pi T=0}$

Ahora, supongamos que el potencial electrostático axisimétrico de tipo Weyl es (el componente es en realidad el potencial escalar electromagnético ), y junto con la métrica de Weyl Eq(1), Eqs(3)(4)(5)(6) implican que ${\displaystyle A_{a}=\Phi (\rho ,z)[dt]_{a}}$ ${\displaystyle \Phi }$

donde se obtiene la ecuación (7.a), o se obtiene la ecuación (7.b), o se obtiene la ecuación (7.c), se obtiene la ecuación (7.d), y la ecuación (5.b) se obtiene la ecuación (7.e). Aquí y son respectivamente los operadores de Laplace y de gradiente . Además, si suponemos en el sentido de interacción materia-geometría y asumimos una planitud asintótica, encontraremos que la ecuación (7.ae) implica una relación característica que ${\displaystyle R=0}$ ${\displaystyle R_{tt}=8\pi T_{tt}}$ ${\displaystyle R_{\varphi \varphi }=8\pi T_{\varphi \varphi }}$ ${\displaystyle R_{\rho \rho }=8\pi T_{\rho \rho }}$ ${\displaystyle R_{zz}=8\pi T_{zz}}$ ${\displaystyle R_{\rho z}=8\pi T_{\rho z}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\,\partial _{\rho }+\partial _{zz}}$ ${\displaystyle \nabla =\partial _{\rho }\,{\hat {e}}_{\rho }+\partial _{z}\,{\hat {e}}_{z}}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\Phi )}$

Específicamente, en el caso de vacío más simple con y , las ecuaciones (7.a-7.e) se reducen a ^[4] ${\displaystyle \Phi =0}$ ${\displaystyle T_{ab}=0}$

Podemos obtener primero resolviendo la ecuación (8.b) y luego integrando las ecuaciones (8.c) y (8.d) para . En la práctica, la ecuación (8.a) que surge de simplemente funciona como una relación de consistencia o condición de integrabilidad . ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$ ${\displaystyle R=0}$

A diferencia de la ecuación no lineal de Poisson Eq(7.b), Eq(8.b) es la ecuación lineal de Laplace ; es decir, la superposición de soluciones de vacío dadas a Eq(8.b) sigue siendo una solución. Este hecho tiene una amplia aplicación, por ejemplo, para distorsionar analíticamente un agujero negro de Schwarzschild .

Utilizamos los operadores de gradiente y de Laplace axisimétricos para escribir las ecuaciones (7.a-7.e) y (8.a-8.d) de forma compacta, lo que resulta muy útil para la derivación de la relación característica (7.f). En la literatura, las ecuaciones (7.a-7.e) y (8.a-8.d) también suelen escribirse de las siguientes formas:

y

Considerando la interacción entre la geometría del espacio-tiempo y las distribuciones de energía-materia, es natural suponer que en las ecuaciones (7.a-7.e) la función métrica se relaciona con el potencial escalar electrostático a través de una función (lo que significa que la geometría depende de la energía), y se deduce que ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \Phi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\Phi )}$

La ecuación (B.1) convierte inmediatamente la ecuación (7.b) y la ecuación (7.e) respectivamente en

que dan lugar a

Ahora reemplace la variable por , y la ecuación (B.4) se simplifica a ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \zeta :=e^{2\psi }}$

La cuadratura directa de la ecuación (B.5) da como resultado , y son constantes integrales. Para reanudar la planitud asintótica en el infinito espacial, necesitamos y , por lo que debería haber . Además, reescribimos la constante como para conveniencia matemática en cálculos posteriores y finalmente obtenemos la relación característica implícita en las ecuaciones (7.a-7.e) que ${\displaystyle \zeta =e^{2\psi }=\Phi ^{2}+{\tilde {C}}\Phi +B}$ ${\displaystyle \{B,{\tilde {C}}\}}$ ${\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }\Phi =0}$ ${\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }e^{2\psi }=1}$ ${\displaystyle B=1}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ ${\displaystyle -2C}$

Esta relación es importante para linealizar las ecuaciones (7.a-7.f) y superponer soluciones de electrovac Weyl.

Análogo newtoniano del potencial métrico Ψ(ρ,z)

En la métrica de Weyl Eq(1), ; por lo tanto, en la aproximación para el límite de campo débil , se tiene ${\textstyle e^{\pm 2\psi }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\pm 2\psi )^{n}}{n!}}}$ ${\displaystyle \psi \to 0}$

y por lo tanto

Esto es bastante análogo a la conocida métrica aproximada para campos gravitacionales estáticos y débiles generados por cuerpos celestes de baja masa como el Sol y la Tierra, ^[5]

donde es el potencial newtoniano usual que satisface la ecuación de Poisson , al igual que Eq(3.a) o Eq(4.a) para el potencial métrico de Weyl . Las similitudes entre y inspiran a las personas a encontrar el análogo newtoniano de al estudiar la clase de soluciones de Weyl; es decir, reproducir de manera no relativista mediante cierto tipo de fuentes newtonianas. El análogo newtoniano de resulta bastante útil para especificar soluciones particulares de tipo Weyl y extender soluciones de tipo Weyl existentes. ^[2] ${\displaystyle \Phi _{N}(\rho ,z)}$ ${\displaystyle \nabla _{L}^{2}\Phi _{N}=4\pi \varrho _{N}}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \Phi _{N}(\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$

Solución de Schwarzschild

Los potenciales de Weyl que generan la métrica de Schwarzschild como soluciones a las ecuaciones de vacío Eq( 8 ) se dan por ^{[2] [3] [4]}

dónde

Desde la perspectiva del análogo newtoniano, es igual al potencial gravitatorio producido por una varilla de masa y longitud colocada simétricamente sobre el eje ; es decir, por una masa lineal de densidad uniforme incrustada en el intervalo . (Nota: Basándose en este análogo, se han desarrollado extensiones importantes de la métrica de Schwarzschild, como se analiza en la referencia ^[2] ) ${\displaystyle \psi _{SS}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 2M}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \sigma =1/2}$ ${\displaystyle z\in [-M,M]}$

Dados y , la métrica de Weyl Eq( 1 ) se convierte en ${\displaystyle \psi _{SS}}$ ${\displaystyle \gamma _{SS}}$

y después de sustituir las siguientes relaciones mutuamente consistentes

se puede obtener la forma común de la métrica de Schwarzschild en las coordenadas habituales, ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$

La métrica Eq( 14 ) no se puede transformar directamente en Eq( 16 ) realizando la transformación cilíndrica-esférica estándar , porque es completa mientras que es incompleta. Es por eso que llamamos a Eq( 1 ) como coordenadas canónicas de Weyl en lugar de coordenadas cilíndricas, aunque tienen mucho en común; por ejemplo, el Laplaciano en Eq( 7 ) es exactamente el Laplaciano geométrico bidimensional en coordenadas cilíndricas. ${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )=(t,r\sin \theta ,r\cos \theta ,\phi )}$ ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$ ${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )}$ ${\displaystyle \{t,\rho ,z,\phi \}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}:=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\partial _{\rho }+\partial _{zz}}$

Solución no extrema de Reissner-Nordström

Los potenciales de Weyl que generan la solución de Reissner–Nordström no extrema ( ) como soluciones a las ecuaciones ( 7 ) se dan por ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle M>|Q|}$

dónde

Por lo tanto, dados y , la métrica de Weyl se convierte en ${\displaystyle \psi _{RN}}$ ${\displaystyle \gamma _{RN}}$

y empleando las siguientes transformaciones

se puede obtener la forma común de la métrica de Reissner-Nordström no extrema en las coordenadas habituales, ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$

Solución extrema de Reissner-Nordström

Los potenciales que generan la solución extremal de Reissner–Nordström ( ) como soluciones de las ecuaciones ( 7 ) están dados por ^[4] (Nota: tratamos la solución extremal por separado porque es mucho más que el estado degenerado de la contraparte no extremal). ${\displaystyle M=|Q|}$

Por lo tanto, la métrica extremal de Reissner-Nordström se lee

y sustituyendo

obtenemos la métrica extremal de Reissner-Nordström en las coordenadas habituales, ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$

Matemáticamente, la ecuación extremal de Reissner-Nordström se puede obtener tomando el límite de la ecuación no extrema correspondiente, y mientras tanto necesitamos usar la regla de L'Hospital a veces. ${\displaystyle Q\to M}$

Observaciones: Las métricas de Weyl Eq( 1 ) con potencial nulo (como la métrica extremal de Reissner–Nordström) constituyen una subclase especial que tiene solo un potencial métrico a identificar. Extendiendo esta subclase cancelando la restricción de axisimetría, se obtiene otra clase útil de soluciones (que todavía utilizan las coordenadas de Weyl), a saber, las métricas conformastaticas , ^{[6] [7]} ${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$

donde usamos en la ecuación ( 22 ) como la función métrica única en lugar de en la ecuación ( 1 ) para enfatizar que son diferentes por simetría axial ( -dependencia). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$

Soluciones de vacío de Weyl en coordenadas esféricas

La métrica de Weyl también se puede expresar en coordenadas esféricas que

que es igual a Eq( 1 ) a través de la transformación de coordenadas (Nota: Como se muestra en Eqs( 15 )( 21 )( 24 ), esta transformación no siempre es aplicable). En el caso del vacío, Eq( 8.b ) para se convierte en ${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )\mapsto (t,r\sin \theta ,r\cos \theta ,\phi )}$ ${\displaystyle \psi (r,\theta )}$

Las soluciones asintóticamente planas de la ecuación ( 28 ) son ^[2]

donde representan polinomios de Legendre y son coeficientes multipolares . El otro potencial métrico viene dado por ^[2] ${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \gamma (r,\theta )}$

Véase también

• Métrica de Schwarzschild
• Métrica de Reissner-Nordström
• Métrica de Schwarzschild distorsionada

Referencias

1. Weyl, H., "Zur Gravitationstheorie", Ann. der Physik 54 (1917), 117-145.
2. Jeremy Bransom Griffiths, Jiri Podolsky. Espacio-tiempo exactos en la relatividad general de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Capítulo 10.
3. Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herlt. Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press, 2003. Capítulo 20.
4. R Gautreau, RB Hoffman, A Armenti. Sistemas estáticos multipartículas en relatividad general . IL NUOVO CIMENTO B, 1972, 7 (1): 71-98.
5. James B Hartle. Gravedad: una introducción a la relatividad general de Einstein. San Francisco: Addison Wesley, 2003. Ecuación (6.20) transformada en coordenadas cilíndricas de Lorentz.
6. Guillermo A Gonzalez, Antonio C Gutierrez-Pineres, Paolo A Ospina. Discos finitos axisimétricos de polvo cargado en espacios-tiempos conformastásicos . Physical Review D, 2008, 78 (6): 064058. arXiv:0806.4285v1
7. Antonio C Gutierrez-Pineres, Guillermo A Gonzalez, Hernando Quevedo. Halos de discos conformásicos en la gravedad de Einstein-Maxwell . Physical Review D, 2013, 87 (4): 044010. [1]